Fuerzas Conservadoras vs No Conservadoras: Las Diferencias clave

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En física newtoniana, generalmente hay dos tipos de fuerzas; fuerzas conservadoras y fuerzas no conservadoras. Esta clasificación entre los dos tipos de fuerzas se hace debido a algunas diferencias clave entre ellos.

En resumen, las fuerzas conservadoras se derivan de un potencial, mientras que las fuerzas no conservadoras no lo son. Las fuerzas conservadoras también son independientes de la trayectoria y conservan la energía mecánica (de ahí el nombre de fuerza conservadora), mientras que las fuerzas no conservadoras dependen de la trayectoria y no conservan la energía mecánica.

Aquí hay una pequeña tabla de comparación de las dos fuerzas:

En las siguientes secciones, cada una de estas diferencias se explicará con mucho más detalle.

Derivación a través de una energía potencial

Una de las diferencias clave entre las fuerzas conservadoras y no conservadoras es la forma en que se definen, en particular sus significados matemáticos.

Una fuerza conservadora siempre puede asociarse con una energía potencial, por supuesto, la forma específica de la energía potencial siempre dependiendo de la situación.

En particular, las fuerzas conservadoras se definen como gradientes negativos de un potencial. El degradado suele escribirse como una especie de símbolo delta invertido y el potencial que denotaremos por V (x), ya que depende de la posición:

Si bien esto puede parecer un poco avanzado, un gradiente simplemente significa la derivada parcial con respecto a cada uno de los componentes de la cantidad particular en cuestión.

En nuestro caso, la cantidad es alguna función de energía potencial y las energías potenciales generalmente dependen de la posición. En resumen, las fuerzas conservadoras son simplemente derivadas negativas de un potencial con respecto a la posición:

Intuitivamente, puede ver cómo esta definición tiene sentido. Piense en una situación en la que esté en una posición en la que tenga una cierta cantidad de energía potencial.

Por ejemplo, esto podría estar en el campo gravitacional de la Tierra flotando en algún lugar del espacio por encima de la Tierra. Ahora piensen en lo que sucede cuando la fuerza gravitacional de la Tierra está actuando sobre ustedes.

Su posición obviamente va a cambiar, y también lo hará su energía potencial a medida que se acerque más a la Tierra. Esto significa que la fuerza que actúa sobre ti está conectada con el cambio de tu posición y energía potencial, lo cual tiene perfecto sentido.

De forma equivalente, la energía potencial se puede definir simplemente sumando todas las fuerzas conservadoras que actúan sobre un objeto en cada punto durante un camino determinado.

Matemáticamente esto significa que la energía potencial total es la integral (i. e. una suma continua o una suma de incrementos realmente muy pequeños) de la fuerza conservadora en cuestión con respecto al camino.

Esto también es fácil de entender a partir de la definición de una fuerza conservadora simplemente moviéndose alrededor de los términos e integrando ambos lados:

Estas definiciones se pueden usar fácilmente para encontrar fuerzas conservadoras y funciones energéticas potenciales que coincidan entre sí.

Usemos de nuevo el ejemplo del campo gravitacional. Si conocemos la fuerza o la energía potencial, podemos derivar la fuerza o el potencial correspondiente para ese caso.

digamos que sabemos que la energía potencial gravitacional a ser (en sustitución de x por r, siendo r es la posición en este caso):

La fuerza gravitacional es entonces simplemente el negativo derivado de la this:

Y viceversa, si sabemos que la fuerza de gravedad a ser:

Entonces podríamos encontrar la energía potencial integrando esto:

Ahora, estas ecuaciones funcionan porque las fuerzas gravitacionales son fuerzas conservadoras, lo que significa que pueden asociarse con una energía potencial.

Por otro lado, considere algo como la fuerza de arrastre viscosa, que es una fuerza que actúa sobre un objeto que se mueve a través de algún tipo de líquido. La fuerza de arrastre es en realidad una fuerza dependiente de la velocidad, lo que significa que hay una fuerza mayor en un objeto que se mueve a mayor velocidad.

Esto, por supuesto, tiene sentido si piensas en un objeto que se mueve a través de un fluido. La definición matemática de la fuerza de arrastre es la siguiente:

Aquí C es el coeficiente de arrastre que depende del fluido en cuestión, A es el área de superficie del fluido que se mueve, ρ es la densidad del fluido y v es la velocidad del objeto.

Sin embargo, la razón por la que esta fuerza de arrastre es notable es porque no tiene ninguna energía potencial particular asociada con ella. Por lo tanto, no es una fuerza conservadora.

Esta misma idea también se aplica a cosas como la fricción y la resistencia al aire (también vale la pena señalar que la fuerza de arrastre y la resistencia al aire son solo diferentes formas de fricción).

Todas las fuerzas de fricción son fuerzas no conservadoras, porque no se derivan de un potencial. Sin embargo, en última instancia, esta definición proviene de cómo estas fuerzas conservan la energía.

Esta idea tiene un significado particular en la mecánica lagrangiana, que se basa en la noción de fuerzas conservadoras. Entro en más detalles sobre este concepto en este artículo.

Conservación de la energía mecánica

Otra característica clave de las fuerzas conservadoras es que conservan la energía mecánica de un sistema u objeto. Energía mecánica simplemente significa el total de energía cinética y potencial.

Las fuerzas no conservadoras, por otro lado, no lo hacen. Más bien, disipan la energía fuera del sistema (convirtiendo la energía en calor/otras formas de energía que generalmente se consideran irrelevantes en un problema, lo que significa que la energía se «pierde»).

De hecho, esta propiedad de la conservación de energía es de donde provienen los nombres de las fuerzas conservadoras y no conservadoras.

Esto tiene sentido si se piensa, por ejemplo, en la fuerza gravitacional de nuevo. Un objeto que cae en el espacio debido a la gravedad, donde no hay resistencia al aire ni nada, no perderá energía mientras viaja en el espacio vacío.

Sin embargo, tan pronto como el objeto cae en, por ejemplo, la atmósfera de un planeta, comenzará a experimentar fuerzas de resistencia del aire y perderá energía y, por lo tanto, también disminuirá la velocidad.

Esta conservación de la energía mecánica también conduce a una propiedad importante de las fuerzas conservadoras llamada independencia del camino.

También vale la pena señalar que la energía no se «pierde» de ninguna manera si tiene en cuenta todas las variables posibles en un sistema. La energía simplemente se convierte en otras formas, por ejemplo, la energía cinética se convierte en energía térmica.

Por ejemplo, en el caso de un objeto que cae en la atmósfera de un planeta, puede parecer que se pierde cierta energía en el proceso a medida que el objeto se ralentiza, pero eso es solo si se tiene en cuenta solo el objeto en sí.

En realidad, si tuviera en cuenta realmente todo el sistema, eso incluiría todas las moléculas de aire también, entonces no se perdería ninguna energía.

La energía que parecía estar «perdida» en realidad solo se convertiría en la energía cinética de las moléculas de aire, que a mayor escala, aparecerían como calor.

Dependencia e independencia del camino

Un factor más donde las fuerzas conservadoras difieren de las no conservadoras es el camino que toma un objeto y cómo la fuerza se ve afectada por esa elección del camino.

Lo que quiero decir con esto es que en el caso de las fuerzas conservadoras, el camino que toma un objeto no importa en términos de la energía mecánica total.

Este concepto podría explicarse mejor a través de un ejemplo. Considere este escenario; usted está en el espacio sobre la Tierra a una distancia r1 del centro de la Tierra.

A medida que la fuerza gravitacional de la Tierra comienza a arrastrarte hacia la Tierra, naturalmente sigues un camino recto y tu energía potencial gravitacional es diferente en algún otro punto del camino a medida que te acercas a la Tierra (ahora a una distancia r2 del centro de la Tierra). Esto es lo que quiero decir:

Aquí, el cambio en su energía potencial gravitacional es simplemente:

Debido a que la gravedad es fundamentalmente una fuerza conservadora si no se tiene en cuenta la resistencia del aire u otras fuerzas, no se pierde energía mecánica total durante este camino. Por lo tanto, el cambio total en la energía mecánica es simplemente (ΔT es cualquier cambio en la energía cinética):

Ahora, imagina que la gravedad no te estaba tirando en línea recta. ¿Y si te arrastró por un extraño camino curvo, pero aún así terminaste en el mismo punto final? Esto es lo que pasaría:

Está claro que si el punto de inicio y el punto final son los mismos, entonces el camino que tomes no importa. El cambio total en la energía mecánica sigue siendo el mismo. Esta idea se llama independencia del camino, y las fuerzas conservadoras son fuerzas independientes del camino.

La independencia de la trayectoria es el resultado directo de las fuerzas conservadoras que conservan la energía mecánica total.

Piénsalo. Si durante un cierto camino, no «pierdes» energía, entonces el trabajo realizado por la fuerza conservadora (cambio en la energía mecánica debido a esa fuerza) puede determinarse completamente solo por los puntos de inicio y final de ese camino. Lo que sucede entre el punto de inicio y el punto final no importa mientras no se pierda energía durante el camino.

Si ahora pensaras en el escenario opuesto, donde en lugar de una fuerza conservadora, tienes una fuerza no conservadora actuando sobre ti.

Por ejemplo, imagine que está volando por el aire (en la Tierra, por lo que podemos usar V=mgh) y, obviamente, la fuerza de la resistencia del aire está actuando sobre usted.

Ahora, primero piense en volar en línea recta:

Aquí, el cambio en la energía potencial es simplemente:

Hasta ahora nada sorprendente aquí. El problema aquí es que debido a que la resistencia del aire es una fuerza no conservadora, se pierde cierta energía cinética durante el recorrido, lo que significa que el cambio total en la energía mecánica no es simplemente ΔT + ΔV.

Por lo tanto, el cambio en la energía mecánica no puede determinarse simplemente por los puntos de inicio y final de la ruta. También tienes que tener en cuenta el camino en sí, y esto se llama dependencia del camino.

Esto es lo que quiero decir; toma el mismo escenario (estás volando por el aire) y cambia el camino que recorres a otra cosa. Puede mantener los puntos de inicio y final iguales si lo desea:

Ahora, a medida que su camino cambia, la resistencia del aire que actúa sobre usted durante el camino también cambia. En este caso, su camino es más largo, por lo que la fuerza de la resistencia del aire actúa sobre usted durante un período más largo y, por lo tanto, pierde más energía cinética.

Esto significa que el cambio total en la energía mecánica también es diferente a medida que cambiamos el camino, lo que significa que el trabajo realizado por la fuerza no conservadora es diferente como en el caso del camino en línea recta.

Ahora, si te gustó lo que leíste aquí, entonces considera revisar algunos de mis otros artículos, especialmente los de mecánica clásica.

Estos incluyen, por ejemplo, una introducción a la mecánica lagrangiana, una introducción a la mecánica hamiltoniana (una versión condensada se puede encontrar aquí), así como una comparación de estas dos formulaciones.

También tengo un artículo bastante completo que compara la mecánica newtoniana y lagrangiana, que se puede encontrar aquí.