Velocidad de escape

En mecánica celeste, la velocidad de escape o velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto libre y no propulsado escape de la influencia gravitacional de un cuerpo primario, alcanzando así una distancia infinita de él. Normalmente se indica como una velocidad ideal, ignorando la fricción atmosférica. Aunque el término «velocidad de escape» es común, se describe con mayor precisión como una velocidad que como una velocidad porque es independiente de la dirección; la velocidad de escape aumenta con la masa del cuerpo primario y disminuye con la distancia desde el cuerpo primario. Por lo tanto, la velocidad de escape depende de la distancia que el objeto ya haya viajado, y su cálculo a una distancia dada tiene en cuenta el hecho de que sin una nueva aceleración, se ralentizará a medida que viaja, debido a la gravedad masiva del cuerpo, pero nunca se detendrá.

Un cohete, acelerado continuamente por su escape, puede escapar sin alcanzar la velocidad de escape, ya que continúa agregando energía cinética de sus motores. Puede lograr escapar a cualquier velocidad, con suficiente propulsor para proporcionar una nueva aceleración al cohete para contrarrestar la desaceleración de la gravedad y así mantener su velocidad.

Más generalmente, la velocidad de escape es la velocidad a la que la suma de la energía cinética de un objeto y su energía potencial gravitacional es igual a cero; un objeto que ha alcanzado la velocidad de escape no está en la superficie ni en una órbita cerrada (de cualquier radio). Con la velocidad de escape en una dirección que apunta lejos del suelo de un cuerpo masivo, el objeto se alejará del cuerpo, desacelerándose para siempre y acercándose, pero nunca alcanzando, la velocidad cero. Una vez que se alcanza la velocidad de escape, no es necesario aplicar más impulso para que continúe en su escape. En otras palabras, si se le da velocidad de escape, el objeto se alejará del otro cuerpo, se ralentizará continuamente y se acercará asintóticamente a la velocidad cero a medida que la distancia del objeto se aproxima al infinito, para nunca regresar. Las velocidades más altas que la velocidad de escape retienen una velocidad positiva a una distancia infinita. Tenga en cuenta que la velocidad de escape mínima asume que no hay fricción (por ejemplo, arrastre atmosférico), lo que aumentaría la velocidad instantánea requerida para escapar de la influencia gravitacional, y que no habrá aceleración futura o desaceleración extraña (por ejemplo, de empuje o de la gravedad de otros cuerpos), lo que cambiaría la velocidad instantánea requerida.

La velocidad de escape a una distancia d del centro de un cuerpo primario esféricamente simétrico (como una estrella o un planeta) con masa M viene dada por la fórmula

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM} {d}}}}

donde G es la constante gravitacional universal (G ≈ 6,67×10-11 m3 * kg-1 * s-2). La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto de escape. Por ejemplo, la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es de aproximadamente 11,186 km/s (40,270 km/h; 25,020 mph; 36,700 pies / s).

Cuando se le da una velocidad inicial V {\displaystyle V} mayor que la velocidad de escape v e , {\displaystyle v_{e},} el objeto asintóticamente enfoque de la hiperbólico exceso de velocidad v ∞ , {\displaystyle v_{\infty },} que satisface la ecuación:

v ∞ 2 = V 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.}

En estas ecuaciones no se tiene en cuenta la fricción atmosférica (arrastre de aire).

Descripción general

El Luna 1, lanzado en 1959, fue el primer objeto artificial en alcanzar velocidad de escape de la Tierra (ver tabla inferior).

La existencia de la velocidad de escape es una consecuencia de la conservación de la energía y de un campo de energía de profundidad finita. Para un objeto con una energía total dada, que se está moviendo sujeto a fuerzas conservadoras (como un campo de gravedad estático), solo es posible que el objeto alcance combinaciones de ubicaciones y velocidades que tengan esa energía total; y los lugares que tienen una energía potencial más alta que esta no se pueden alcanzar en absoluto. Al agregar velocidad (energía cinética) al objeto, expande las posibles ubicaciones a las que se puede llegar, hasta que, con suficiente energía, se vuelven infinitas.

Para una energía potencial gravitacional dada en una posición dada, la velocidad de escape es la velocidad mínima que un objeto sin propulsión necesita para poder «escapar» de la gravedad (es decir, para que la gravedad nunca logre retirarlo). La velocidad de Escape es en realidad una velocidad (no velocidad), porque no especifica una dirección: no importa cuál sea la dirección de viaje, el objeto puede escapar del campo gravitacional (siempre que su trayectoria no se cruce con el planeta).

Una forma elegante de derivar la fórmula para la velocidad de escape es usar el principio de conservación de energía (para otra forma, basada en el trabajo, ver a continuación). En aras de la simplicidad, a menos que se indique lo contrario, asumimos que un objeto escapará del campo gravitatorio de un planeta esférico uniforme al alejarse de él y que la única fuerza significativa que actúa sobre el objeto en movimiento es la gravedad del planeta. Imagine que una nave espacial de masa m está inicialmente a una distancia r del centro de masa del planeta, cuya masa es M, y su velocidad inicial es igual a su velocidad de escape, v e {\displaystyle v_{e}} . En su estado final, estará a una distancia infinita del planeta, y su velocidad será insignificante. La energía cinética K y la energía potencial gravitacional Ug son los únicos tipos de energía con los que trataremos (ignoraremos el arrastre de la atmósfera), por lo que por la conservación de la energía,

( K + U g ) initial = ( K + U g ) final {\displaystyle (K+U_{g})_{\text{inicial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}

Podemos establecer Kfinal = 0 porque la velocidad final es arbitrariamente pequeña, y Ugfinal = 0 porque la distancia final es infinita, por lo que

⇒ 1 2 m v e 2 + − G M m r = 0 + 0 ⇒ v e = 2 G M r = 2 μ r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}}

donde µ es el estándar gravitacional parámetro.

El mismo resultado se obtiene mediante un cálculo relativista, en cuyo caso la variable r representa la coordenada radial o circunferencia reducida de la métrica de Schwarzschild.

Definida un poco más formalmente ,la «velocidad de escape» es la velocidad inicial requerida para pasar de un punto inicial en un campo de potencial gravitacional al infinito y terminar en el infinito con una velocidad residual de cero, sin ninguna aceleración adicional. Todas las velocidades y velocidades se miden con respecto al campo. Además, la velocidad de escape en un punto en el espacio es igual a la velocidad que tendría un objeto si comenzara en reposo desde una distancia infinita y fuera arrastrado por la gravedad hasta ese punto.

En el uso común, el punto inicial está en la superficie de un planeta o luna. En la superficie de la Tierra, la velocidad de escape es de aproximadamente 11,2 km/s, que es aproximadamente 33 veces la velocidad del sonido (Mach 33) y varias veces la velocidad de salida de una bala de rifle (hasta 1,7 km/s). Sin embargo, a 9.000 km de altitud en el «espacio», es un poco menos de 7,1 km / s. Tenga en cuenta que esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o la luna (ver más abajo).

La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto de escape. No importa si la masa es de 1 kg o 1.000 kg; lo que difiere es la cantidad de energía requerida. Para un objeto de masa m {\displaystyle m} la energía requerida para escapar del campo gravitatorio de la Tierra es GMm / r, una función de la masa del objeto (donde r es el radio de la Tierra, nominalmente 6.371 kilómetros (3.959 millas), G es la constante gravitacional, y M es la masa de la Tierra, M = 5,9736 × 1024 kg). Una cantidad relacionada es la energía orbital específica que es esencialmente la suma de la energía cinética y potencial dividida por la masa. Un objeto ha alcanzado la velocidad de escape cuando la energía orbital específica es mayor o igual a cero.

Escenarios

Desde la superficie de un cuerpo

Una expresión alternativa para la velocidad de escape v e {\displaystyle v_{e}} particularmente útil en la superficie del cuerpo es:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e} = {\sqrt {2gr\,}}}

donde r es la distancia entre el centro del cuerpo y el punto en el que se calcula la velocidad de escape y g es la aceleración gravitacional a esa distancia (es decir, la gravedad de la superficie).

Para un cuerpo con una distribución esférica simétrica de masa, la velocidad de escape v e {\displaystyle v_{e}} de la superficie es proporcional al radio asumiendo densidad constante, y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad media ρ.

v e = K r ρ {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}

donde K = 8 3 π G ≈ 2.364 × 10 − 5 m 1,5 kg − 0.5 s − 1 {\estilo de texto K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\aprox 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5} {\text {s}}^{-1}}

Tenga en cuenta que esta velocidad de escape es relativa a un marco de referencia no giratorio, no relativa a la superficie en movimiento del planeta o la luna, como explicamos ahora.

De un cuerpo giratorio

La velocidad de escape relativa a la superficie de un cuerpo giratorio depende de la dirección en la que viaja el cuerpo de escape. Por ejemplo, como la velocidad de rotación de la Tierra es de 465 m/s en el ecuador, un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el este requiere una velocidad inicial de aproximadamente 10,735 km/s en relación con la superficie en movimiento en el punto de lanzamiento para escapar, mientras que un cohete lanzado tangencialmente desde el ecuador de la Tierra hacia el oeste requiere una velocidad inicial de aproximadamente 11,665 km / s en relación con esa superficie en movimiento. La velocidad de la superficie disminuye con el coseno de la latitud geográfica, por lo que las instalaciones de lanzamiento espacial a menudo se encuentran lo más cerca posible del ecuador, p.ej. el Cabo Cañaveral americano (latitud 28°28 ‘N) y el Centro Espacial de la Guayana Francesa (latitud 5°14’ N).

Consideraciones prácticas

En la mayoría de las situaciones no es práctico alcanzar la velocidad de escape casi instantáneamente, debido a la aceleración implícita, y también porque si hay una atmósfera, las velocidades hipersónicas involucradas (en la Tierra una velocidad de 11,2 km/s, o 40.320 km/h) causarían que la mayoría de los objetos se quemaran debido al calentamiento aerodinámico o se rompieran por la resistencia atmosférica. Para una órbita de escape real, una nave espacial acelerará constantemente fuera de la atmósfera hasta que alcance la velocidad de escape apropiada para su altitud (que será menor que en la superficie). En muchos casos, la nave espacial puede colocarse primero en una órbita de estacionamiento (por ejemplo,una órbita terrestre baja a 160-2.000 km) y luego acelerarse a la velocidad de escape a esa altitud, que será ligeramente inferior (unos 11,0 km/s en una órbita terrestre baja de 200 km). Sin embargo, el cambio adicional requerido en la velocidad es mucho menor porque la nave espacial ya tiene una velocidad orbital significativa (en órbita terrestre baja la velocidad es de aproximadamente 7,8 km/s, o 28.080 km/h).

De un cuerpo en órbita

La velocidad de escape a una altura dada es 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} veces la velocidad en una órbita circular a la misma altura, (compare esto con la ecuación de velocidad en órbita circular). Esto corresponde al hecho de que la energía potencial con respecto a la infinidad de un objeto en tal órbita es menos dos veces su energía cinética, mientras que para escapar, la suma de energía potencial y cinética debe ser al menos cero. La velocidad correspondiente a la órbita circular a veces se llama la primera velocidad cósmica, mientras que en este contexto la velocidad de escape se conoce como la segunda velocidad cósmica.

Para un cuerpo en una órbita elíptica que desee acelerar a una órbita de escape, la velocidad requerida variará, y será mayor en el periapsis cuando el cuerpo esté más cerca del cuerpo central. Sin embargo, la velocidad orbital del cuerpo también estará en su punto más alto en este punto, y el cambio en la velocidad requerida estará en su punto más bajo, como se explica por el efecto Oberth.

Velocidad de escape baricéntrica

Técnicamente, la velocidad de escape puede medirse en relación con el otro cuerpo central o en relación con el centro de masa o el baricentro del sistema de cuerpos. Por lo tanto, para sistemas de dos cuerpos, el término velocidad de escape puede ser ambiguo, pero generalmente se pretende que signifique la velocidad de escape baricéntrica del cuerpo menos masivo. En campos gravitacionales, la velocidad de escape se refiere a la velocidad de escape de partículas de prueba de masa cero en relación con el baricentro de las masas que generan el campo. En la mayoría de las situaciones que involucran naves espaciales, la diferencia es insignificante. Para una masa igual a un cohete Saturno V, la velocidad de escape relativa a la plataforma de lanzamiento es de 253,5 am/s (8 nanómetros por año) más rápida que la velocidad de escape relativa al centro de masa mutuo.

Altura de las trayectorias de menor velocidad

Ignorando todos los factores que no sean la fuerza gravitacional entre el cuerpo y el objeto, un objeto proyectado verticalmente a velocidad v {\displaystyle v} desde la superficie de un cuerpo esférico con velocidad de escape v e {\displaystyle v_{e}} y radio R {\displaystyle R} alcanzará un altura máxima h {\displaystyle h} que satisface la ecuación

v = v e h R + h , {\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}

que, la solución para h resultados en

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}

donde x = v / v e {\estilo de texto x=v/v_{e}} es la relación de la velocidad original, v {\displaystyle v} a la velocidad de escape a la v e . {\displaystyle v_{e}.}

A diferencia de la velocidad de escape, la dirección (verticalmente hacia arriba) es importante para alcanzar la altura máxima.

Trayectoria

Si un objeto alcanza exactamente la velocidad de escape, pero no se dirige directamente desde el planeta, entonces seguirá una trayectoria curva. Aunque esta trayectoria no forma una forma cerrada, puede ser referida como una órbita. Suponiendo que la gravedad es la única fuerza significativa en el sistema, la velocidad de este objeto en cualquier punto de la trayectoria será igual a la velocidad de escape en ese punto debido a la conservación de energía, su energía total siempre debe ser 0, lo que implica que siempre tiene velocidad de escape; consulte la derivación anterior. La forma de la trayectoria será una parábola cuyo foco se encuentra en el centro de masa del planeta. Un verdadero escape requiere un curso con una trayectoria que no se intersectan con el planeta, su atmósfera, ya que esto provocaría que el objeto de bloqueo. Al alejarse de la fuente, este camino se llama órbita de escape. Las órbitas de escape se conocen como órbitas C3 = 0. C3 es la energía característica, = – GM / 2a, donde a es el semieje mayor, que es infinito para trayectorias parabólicas.

Si el cuerpo tiene una velocidad mayor que la velocidad de escape, su trayectoria formará una trayectoria hiperbólica y tendrá un exceso de velocidad hiperbólica, equivalente a la energía extra que tiene el cuerpo. Un delta-v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar a la velocidad de escape puede resultar en una velocidad relativamente grande en el infinito. Algunas maniobras orbitales hacen uso de este hecho. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2 km/s, la adición de 0,4 km/s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3,02 km/s:

v ∞ = V 2 − v e 2 = ( 11,6 km/s ) 2 − ( 11,2 km/s ) 2 ≈ 3.02 km / s. {\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\aprox 3.02{\text{ km/s}}.}

Si un cuerpo en órbita circular (o en el periapsis de una órbita elíptica) acelera a lo largo de su dirección de viaje a la velocidad de escape, el punto de aceleración formará el periapsis de la trayectoria de escape. La dirección de desplazamiento final será de 90 grados a la dirección en el punto de aceleración. Si el cuerpo acelera más allá de la velocidad de escape, la dirección final de viaje estará en un ángulo más pequeño, e indicada por una de las asíntotas de la trayectoria hiperbólica que está tomando ahora. Esto significa que la sincronización de la aceleración es crítica si la intención es escapar en una dirección en particular.

Si la velocidad en el periapsis es v, entonces la excentricidad de la trayectoria está dada por:

e = 2 ( v / v e ) 2 − 1 {\displaystyle e=2(v/v_{e})^{2}-1}

Esto es válido para el elípticas, parabólicas, hiperbólicas trayectorias. Si la trayectoria es hiperbólica o parabólica, se acercará asintóticamente a un ángulo θ {\displaystyle \theta } desde la dirección en el periapsis, con

sin ⁡ θ = 1 / e . {\displaystyle \sin \theta =1/e.}

La velocidad será asintóticamente enfoque

v 2 − v e 2 . {\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}

Lista de velocidades de escape

En esta tabla, la mitad izquierda da la velocidad de escape desde la superficie visible (que puede ser gaseosa como en Júpiter, por ejemplo), en relación con el centro del planeta o la luna (es decir, no en relación con su superficie en movimiento). En la mitad derecha, Ve se refiere a la velocidad relativa al cuerpo central (por ejemplo, el sol), mientras que Vte es la velocidad (en la superficie visible del cuerpo más pequeño) relativa al cuerpo más pequeño (planeta o luna).

Las dos últimas columnas dependerán con precisión de dónde se alcance la velocidad de escape en órbita, ya que las órbitas no son exactamente circulares (particularmente Mercurio y Plutón).

Derivando la velocidad de escape usando cálculo

Sea G la constante gravitacional y sea M la masa de la tierra (u otro cuerpo gravitante) y sea m la masa del cuerpo o proyectil que escapa. A una distancia r del centro de gravitación, el cuerpo siente una fuerza de atracción

F = G M m r 2 . {\displaystyle F = G {\frac {Mm}{r^{2}}}.}

El trabajo necesario para mover el cuerpo a una pequeña distancia dr contra esta fuerza viene dado por

d W = F d r = G M M r 2 d r . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

El total de trabajo necesario para mover el cuerpo desde la superficie r0 de la gravitando cuerpo hasta el infinito es entonces

W = ∫ r 0 ∞ G M m r 2 d r = G M m r 0 = m g r 0 . {\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}

con el fin De hacer este trabajo para alcanzar el infinito, el cuerpo de la mínima energía cinética a la salida debe coincidir con este trabajo, por lo que la velocidad de escape v0 satisface

1 2 m v 0 2 = G M m r 0 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}

que se traduce en

v 0 = 2 G M r 0 = g 2 r 0 . {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}

Véase también

Notas

• Calculadora de velocidad de escape
• Calculadora numérica de velocidad de escape basada en la web