Forze conservative vs non conservative: Le differenze chiave

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In fisica newtoniana, ci sono generalmente due tipi di forze; forze conservative e forze non conservative. Questa classificazione tra i due tipi di forze è fatta a causa di alcune differenze chiave tra di loro.

In breve, le forze conservative derivano da un potenziale, mentre le forze non conservative non lo sono. Le forze conservative sono anche indipendenti dal percorso e conservano energia meccanica (quindi il nome forza conservativa), mentre le forze non conservative dipendono dal percorso e non conservano energia meccanica.

Ecco una piccola tabella di confronto delle due forze:

Nelle sezioni seguenti ciascuna di queste differenze sarà spiegata in modo molto più dettagliato.

Derivazione attraverso un’energia potenziale

Una delle principali differenze tra forze conservative e non conservative è il modo in cui sono definite, in particolare i loro significati matematici.

Una forza conservativa può sempre essere associata a un’energia potenziale, ovviamente la forma specifica dell’energia potenziale sempre a seconda della situazione.

In particolare, le forze conservative sono definite come gradienti negativi di un potenziale. Il gradiente è solitamente scritto come una sorta di simbolo delta capovolto e il potenziale che denoteremo con V (x), poiché dipende dalla posizione:

Anche se questo potrebbe sembrare un po ‘ avanzato, un gradiente significa semplicemente la derivata parziale rispetto a ciascuno dei componenti della quantità particolare in questione.

Nel nostro caso, la quantità è una funzione energetica potenziale e le energie potenziali dipendono generalmente dalla posizione. Quindi, in breve, le forze conservative sono semplicemente derivate negative di un potenziale rispetto alla posizione:

Intuitivamente, potresti vedere come questa definizione ha senso. Pensa a una situazione in cui ti trovi in una posizione in cui hai una certa quantità di energia potenziale.

Ad esempio, questo potrebbe essere nel campo gravitazionale terrestre che galleggia da qualche parte nello spazio sopra la Terra. Ora pensa a cosa succede quando la forza gravitazionale della Terra agisce su di te.

La tua posizione ovviamente cambierà, e così anche la tua energia potenziale man mano che ti avvicini alla Terra. Ciò significa che la forza che agisce su di te è collegata al cambiamento della tua posizione e dell’energia potenziale, il che ha perfettamente senso.

Equivalentemente, l’energia potenziale può essere definita semplicemente sommando tutte le forze conservative che agiscono su un oggetto in ogni punto durante un determinato percorso.

Matematicamente ciò significa che l’energia potenziale totale è l’integrale (cioè una somma continua o una somma di incrementi davvero molto piccoli) della forza conservativa in questione rispetto al percorso.

Questo è anche facile da capire dalla definizione di una forza conservatrice semplicemente spostando i termini e integrando entrambi i lati:

Queste definizioni possono essere facilmente utilizzati per trovare forze conservative ed energia potenziale funzioni che corrispondono a vicenda.

Usiamo di nuovo l’esempio del campo gravitazionale. Se conosciamo la forza o l’energia potenziale, possiamo ricavare la forza o il potenziale corrispondente per quel caso.

supponiamo di conoscere il potenziale gravitazionale l’energia (sostituire x con r, poiché r è la posizione, in questo caso):

La forza di gravità è quindi semplicemente il negativo derivati di this:

E viceversa, se sappiamo che la forza di gravità a essere:

Poi siamo riusciti a trovare la potenziale energia, integrando in questo modo:

Ora, queste equazioni di lavoro, perché le forze gravitazionali sono forze conservatrici, nel senso che possono essere associati con un potenziale di energia.

D’altra parte, considera qualcosa come la forza di trascinamento viscosa, che è una forza che agisce su un oggetto che si muove attraverso un liquido di qualche tipo. La forza di trascinamento è in realtà una forza dipendente dalla velocità, il che significa che c’è una forza maggiore su un oggetto che si muove a velocità più elevata.

Questo, ovviamente, ha senso se pensi a un oggetto che si muove attraverso un fluido. La definizione matematica per la forza di trascinamento è la seguente:

Qui C è il coefficiente di resistenza che dipende dal fluido in questione, A è l’area superficiale del fluido spostato, ρ è la densità del fluido e v è la velocità dell’oggetto.

Tuttavia, la ragione per cui questa forza di trascinamento è degna di nota è perché non ha alcuna particolare energia potenziale associata ad essa. Quindi, non è una forza conservatrice.

Questa stessa idea vale anche per cose come l’attrito e la resistenza dell’aria (vale anche la pena notare che la forza di trascinamento e la resistenza dell’aria sono solo diverse forme di attrito).

Tutte le forze di attrito sono forze non conservative, perché non derivano da un potenziale. In definitiva, però, questa definizione deriva da come queste forze conservano energia.

Questa idea ha un significato particolare nella meccanica lagrangiana, che si basa sulla nozione di forze conservatrici. Vado più in dettaglio su questo concetto in questo articolo.

Conservazione dell’energia meccanica

Un’altra caratteristica chiave per le forze conservative è che conservano l’energia meccanica di un sistema o di un oggetto. Energia meccanica significa semplicemente il totale di energia cinetica e potenziale.

Le forze non conservatrici, d’altra parte, non lo fanno. Piuttosto, dissipano l’energia dal sistema (trasformando l’energia in calore / altre forme di energia che di solito sono considerate irrilevanti in un problema, il che significa che l’energia è “persa”).

In realtà, questa proprietà di risparmio energetico è da dove provengono i nomi delle forze conservative e non conservative.

Questo ha senso se si pensa, ad esempio, alla forza gravitazionale di nuovo. Un oggetto che cade nello spazio a causa della gravità, dove non c’è alcuna resistenza all’aria o altro, non perderà alcuna energia mentre viaggia nello spazio vuoto.

Tuttavia, non appena l’oggetto cade, ad esempio nell’atmosfera di un pianeta, inizierà a sperimentare forze di resistenza dell’aria e perderà energia e quindi rallenterà anche.

Questa conservazione dell’energia meccanica porta anche a un’importante proprietà delle forze conservative chiamata indipendenza del percorso.

Potrebbe anche valere la pena notare che l’energia non è realmente “persa” in alcun modo se si tiene conto di ogni possibile variabile in un sistema. L’energia si trasforma semplicemente in altre forme, ad esempio l’energia cinetica che si trasforma in energia termica.

Ad esempio, nel caso di un oggetto che cade nell’atmosfera di un pianeta, potrebbe sembrare che una certa energia venga persa nel processo mentre l’oggetto rallenta, ma questo è solo se si tiene conto solo dell’oggetto stesso.

In realtà, se doveste spiegare veramente l’intero sistema, che includerebbe anche tutte le molecole d’aria, allora qualsiasi energia non sarebbe persa.

L’energia che sembrava essere “persa” in realtà si trasformerebbe nell’energia cinetica delle molecole d’aria, che su scala più ampia apparirebbero come calore.

Percorso dipendenza e indipendenza

Un altro fattore in cui le forze conservative differiscono da quelle non conservative è il percorso che un oggetto prende e come la forza è influenzata da quella scelta del percorso.

Quello che intendo con questo è che nel caso di forze conservative, il percorso che un oggetto prende non ha importanza in termini di energia meccanica totale.

Questo concetto potrebbe essere spiegato meglio attraverso un esempio. Considera questo scenario; sei nello spazio sopra la Terra ad una distanza r1 dal centro della Terra.

Mentre la forza gravitazionale terrestre inizia a trascinarti verso la Terra, segui naturalmente un percorso rettilineo e la tua energia potenziale gravitazionale è diversa in qualche altro punto del percorso mentre ti avvicini alla Terra (ora a una distanza r2 dal centro della Terra). Ecco cosa intendo:

Qui, il cambiamento nella tua energia potenziale gravitazionale è semplicemente:

Poiché la gravità è fondamentalmente una forza conservativa se la resistenza dell’aria o altre forze non vengono prese in considerazione, nessuna energia meccanica totale viene persa durante questo percorso. Quindi, il cambiamento totale nell’energia meccanica è semplicemente (ΔT è qualunque sia il cambiamento nell’energia cinetica):

Ora, immagina che la gravità non ti stia tirando in linea retta. Cosa succede se ti ha tirato in qualche strano percorso curvo, ma sei comunque finito nello stesso punto finale? Ecco cosa succederebbe:

È chiaro che se il punto iniziale e il punto finale sono uguali, il percorso che prendi non ha importanza. La variazione totale dell’energia meccanica è sempre la stessa. Questa idea è chiamata indipendenza del percorso e le forze conservatrici sono forze indipendenti dal percorso.

L’indipendenza del percorso è il risultato diretto di forze conservative che conservano l’energia meccanica totale.

Pensaci. Se durante un certo percorso, non si “perde” alcuna energia, allora il lavoro svolto dalla forza conservativa (cambiamento di energia meccanica a causa di quella forza) può essere completamente determinato solo dai punti di inizio e di fine di quel percorso. Ciò che accade tra il punto iniziale e finale non ha importanza finché non si perde energia durante il percorso.

Se ora pensassi allo scenario opposto, dove invece di una forza conservatrice, hai una forza non conservatrice che agisce su di te.

Ad esempio, immagina di volare attraverso l’aria (sulla Terra, quindi possiamo usare V=mgh) e quindi la forza della resistenza dell’aria sta ovviamente agendo su di te.

Ora, prima pensa a volare in linea retta:

Qui, il cambiamento nell’energia potenziale è semplicemente:

Finora nulla di sorprendente qui. Il problema qui è che poiché la resistenza dell’aria è una forza non conservativa, una certa energia cinetica viene persa durante il percorso, il che significa che il cambiamento totale dell’energia meccanica non è semplicemente ΔT + ΔV.

Pertanto, la variazione di energia meccanica non può essere determinata semplicemente dai punti di inizio e fine del percorso. Devi anche tenere conto del percorso stesso, e questo è chiamato dipendenza dal percorso.

Ecco cosa intendo; prendi lo stesso scenario (stai volando in aria) e cambia il percorso che viaggi verso qualcos’altro. È possibile mantenere i punti di inizio e di fine lo stesso se lo si desidera:

Ora, man mano che il tuo percorso cambia, cambia anche la resistenza dell’aria che agisce su di te durante il percorso. In questo caso il tuo percorso è più lungo, quindi la forza di resistenza dell’aria agisce su di te per un periodo più lungo e quindi perdi più energia cinetica.

Ciò significa che anche il cambiamento totale dell’energia meccanica è diverso mentre cambiamo il percorso, il che significa che il lavoro svolto dalla forza non conservativa è diverso come nel caso del percorso rettilineo.

Ora, se ti è piaciuto quello che hai letto qui, allora considera di controllare alcuni dei miei altri articoli, specialmente quelli sulla meccanica classica.

Questi includono, ad esempio, un’introduzione alla meccanica lagrangiana, un’introduzione alla meccanica hamiltoniana (una versione condensata può essere trovata qui) e un confronto di queste due formulazioni.

Ho anche un articolo piuttosto completo che confronta la meccanica newtoniana e lagrangiana, che può essere trovato qui.