Forces conservatrices vs Non conservatrices: Les principales Différences

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En physique newtonienne, il existe généralement deux types de forces; les forces conservatrices et les forces non conservatrices. Cette classification entre les deux types de forces est faite en raison de quelques différences clés entre eux.

En bref, les forces conservatrices sont dérivées d’un potentiel, alors que les forces non conservatrices ne le sont pas. Les forces conservatrices sont également indépendantes du chemin et conservent l’énergie mécanique (d’où le nom de force conservatrice), tandis que les forces non conservatrices dépendent du chemin et ne conservent pas l’énergie mécanique.

Voici un petit tableau comparatif des deux forces:

Forces conservatrices Forces non conservatrices
Dérivé d’un potentiel Non dérivé d’une quantité particulière
Conserver l’énergie mécanique Ne pas conserver l’énergie mécanique
Indépendant du chemin Dépendant du chemin
Exemples : forces gravitationnelles, forces magnétiques Exemples: friction, résistance à l’air, forces visqueuses

Dans les sections suivantes, chacune de ces différences sera expliquée beaucoup plus en détail.

Dérivation par une énergie potentielle

L’une des principales différences entre les forces conservatrices et non conservatrices est la façon dont elles sont définies, en particulier leurs significations mathématiques.

Une force conservatrice peut toujours être associée à une énergie potentielle, bien sûr la forme spécifique de l’énergie potentielle toujours en fonction de la situation.

En particulier, les forces conservatrices sont définies comme des gradients négatifs d’un potentiel. Le gradient est généralement écrit comme une sorte de symbole delta à l’envers et le potentiel que nous désignerons par V(x), car il dépend de la position:

F = -\nabla V\left(x\right)

Bien que cela puisse sembler un peu avancé, un gradient signifie simplement la dérivée partielle par rapport à chacune des composantes de la quantité particulière en question.

Dans notre cas, la quantité est une fonction énergétique potentielle et les énergies potentielles dépendent généralement de la position. Donc, en bref, les forces conservatrices sont simplement des dérivées négatives d’un potentiel par rapport à la position :

F = -\frac{d}{dx}V\left(x\right)

Intuitivement, vous pouvez voir comment cette définition a du sens. Pensez à une situation où vous êtes dans une position où vous avez une certaine quantité d’énergie potentielle.

Par exemple, cela pourrait être dans le champ gravitationnel de la Terre flottant quelque part dans l’espace au-dessus de la Terre. Maintenant, pensez à ce qui se passe lorsque la force gravitationnelle de la Terre agit sur vous.

Votre position va évidemment changer, tout comme votre énergie potentielle à mesure que vous vous rapprochez de la Terre. Cela signifie que la force agissant sur vous est liée au changement de votre position et de votre énergie potentielle, ce qui est parfaitement logique.

De manière équivalente, l’énergie potentielle peut être définie en additionnant simplement toutes les forces conservatrices agissant sur un objet en chaque point d’un certain trajet.

Mathématiquement, cela signifie que l’énergie potentielle totale est l’intégrale (i.e. une somme continue ou une somme d’incréments vraiment très petits) de la force conservatrice en question par rapport au chemin.

Ceci est également facile à comprendre à partir de la définition d’une force conservatrice en se déplaçant simplement autour des termes et en intégrant les deux côtés:

F = -\frac {d}{dx} V\gauche(x\droite)
Fdx = -dV \ gauche(x\droite) \\\\\ parallèle \int_{ }^{ }
-\ {}^{} dV \ gauche (x\droite) = \int_ {}^{} Fdx
V\gauche(x\droite) = - \int_ {}^{} Fdx

Ces définitions peuvent facilement être utilisées pour trouver des forces conservatrices et des fonctions énergétiques potentielles qui se correspondent.

Reprenons l’exemple du champ gravitationnel. Si nous connaissons la force ou l’énergie potentielle, nous pouvons dériver la force ou le potentiel correspondant pour ce cas.

Disons que nous connaissons l’énergie potentielle gravitationnelle à être (en remplaçant x par r, puisque r est la position dans ce cas):

V\left(r\right) = -\frac{GmM}{r}

La force gravitationnelle est alors simplement la dérivée négative de this:

F=-\frac{d}{dr}\left(-\frac{GmM}{r}\right)
F=GmM\cdot\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)
F=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)=-\frac{GmM}{r^2}

Et vice versa, si nous savons que la force gravitationnelle est:

F =-\frac {GmM} {r^2}

Ensuite, nous pourrions trouver l’énergie potentielle en intégrant ceci:

V\left(r\right) = -\int_{}^{} - \frac{GmM}{r^2}dr
V\gauche (r\droite) = GmM\cdot\int_ {}^ { }\frac{1}{r^2}dr
V\left(r\right)=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=-\frac{GmM}{r}

Maintenant, ces équations fonctionnent parce que les forces gravitationnelles sont des forces conservatrices, ce qui signifie qu’elles peuvent être associées à une énergie potentielle.

D’autre part, considérons quelque chose comme la force de traînée visqueuse, qui est une force qui agit sur un objet se déplaçant à travers un liquide de quelque sorte. La force de traînée est en fait une force dépendante de la vitesse, ce qui signifie qu’il y a une plus grande force sur un objet se déplaçant à une vitesse plus élevée.

Cela a bien sûr du sens si vous pensez à un objet qui se déplace à travers un fluide. La définition mathématique de la force de traînée est la suivante:

F=\frac{1}{2} CA\rho v^2

Ici, C est le coefficient de traînée qui dépend du fluide en question, A est la surface du fluide traversé, ρ est la densité du fluide et v est la vitesse de l’objet.

Cependant, la raison pour laquelle cette force de traînée est remarquable est qu’elle n’a aucune énergie potentielle particulière qui lui est associée. Ce n’est donc pas une force conservatrice.

Cette même idée s’applique également à des éléments tels que la friction et la résistance à l’air (il convient également de noter que la force de traînée et la résistance à l’air ne sont que des formes différentes de friction).

Toutes les forces de frottement sont des forces non conservatrices, car elles ne sont pas dérivées d’un potentiel. En fin de compte cependant, cette définition vient de la façon dont ces forces conservent l’énergie.

Cette idée a une signification particulière dans la mécanique lagrangienne, qui repose sur la notion de forces conservatrices. J’entre plus en détail sur ce concept dans cet article.

Conservation de l’énergie mécanique

Une autre caractéristique clé des forces conservatrices est qu’elles conservent l’énergie mécanique d’un système ou d’un objet. L’énergie mécanique signifie simplement le total de l’énergie cinétique et potentielle.

Les forces non conservatrices, en revanche, ne le font pas. Au contraire, ils dissipent l’énergie hors du système (transformant l’énergie en chaleur / d’autres formes d’énergie qui sont généralement considérées comme non pertinentes dans un problème, ce qui signifie que l’énergie est « perdue »).

En fait, cette propriété de conservation de l’énergie est d’où viennent les noms des forces conservatrices et non conservatrices.

Cela a du sens si vous pensez à nouveau, par exemple, à la force gravitationnelle. Un objet tombant dans l’espace à cause de la gravité, où il n’y a aucune résistance à l’air ou autre chose, ne perdra aucune énergie lorsqu’il voyagera dans l’espace vide.

Cependant, dès que l’objet tombe dans, par exemple, l’atmosphère d’une planète, il commencera à ressentir des forces de résistance de l’air et perdra de l’énergie et donc ralentira également.

Cette conservation de l’énergie mécanique conduit également à une propriété importante des forces conservatrices appelée indépendance du chemin.

Il peut également être intéressant de noter que l’énergie n’est pas vraiment « perdue » si vous tenez compte de toutes les variables possibles dans un système. L’énergie se transforme simplement en d’autres formes, par exemple l’énergie cinétique se transformant en énergie thermique.

Par exemple, dans le cas d’un objet tombant dans l’atmosphère d’une planète, il peut sembler qu’une partie de l’énergie soit perdue au fur et à mesure que l’objet ralentit, mais ce n’est que si vous ne tenez compte que de l’objet lui-même.

En réalité, si vous deviez vraiment rendre compte de l’ensemble du système, cela inclurait également toutes les molécules d’air, alors aucune énergie ne serait perdue.

L’énergie qui semblait « perdue » se transformerait en réalité simplement en énergie cinétique des molécules d’air, qui à plus grande échelle, apparaîtrait sous forme de chaleur.

Dépendance et indépendance du chemin

Un autre facteur où les forces conservatrices diffèrent des forces non conservatrices est le chemin emprunté par un objet et la manière dont la force est affectée par ce choix du chemin.

Ce que je veux dire par là, c’est que dans le cas de forces conservatrices, le chemin parcouru par un objet n’a pas d’importance en termes d’énergie mécanique totale.

Ce concept pourrait être mieux expliqué à travers un exemple. Considérez ce scénario; vous êtes dans l’espace au-dessus de la Terre à une distance r1 du centre de la Terre.

Alors que la force gravitationnelle de la Terre commence à vous tirer vers la Terre, vous suivez naturellement un chemin droit et votre énergie potentielle gravitationnelle est différente à un autre point du chemin à mesure que vous vous rapprochez de la Terre (maintenant à une distance r2 du centre de la Terre). Voici ce que je veux dire:

Ici, le changement de votre énergie potentielle gravitationnelle est simplement:

\Delta V = \frac{-GmM} {\Delta r} = \frac {-GmM}{r_1-r_2}

Parce que la gravité est fondamentalement une force conservatrice si la résistance de l’air ou d’autres forces ne sont pas prises en compte, aucune énergie mécanique totale n’est perdue pendant ce trajet. Ainsi, la variation totale de l’énergie mécanique est simplement (ΔT est quelle que soit la variation de l’énergie cinétique):

\Delta E = \Delta T + \Delta V

Maintenant, imaginez que la gravité ne vous tirait pas en ligne droite. Et si cela vous tirait dans un chemin incurvé étrange, mais que vous vous retrouviez toujours au même point final? Voici ce qui se passerait:

Il est clair de voir que si le point de départ et le point final sont les mêmes, le chemin que vous empruntez n’a pas d’importance. Le changement total de l’énergie mécanique est toujours le même. Cette idée s’appelle l’indépendance du chemin, et les forces conservatrices sont des forces indépendantes du chemin.

L’indépendance du chemin est le résultat direct de forces conservatrices qui conservent l’énergie mécanique totale.

Pensez-y. Si pendant un certain chemin, vous ne « perdez » aucune énergie, alors le travail effectué par la force conservatrice (changement d’énergie mécanique dû à cette force) peut être complètement déterminé par les points de début et de fin de ce chemin. Ce qui se passe entre le point de départ et le point d’arrivée n’a pas d’importance tant qu’aucune énergie n’est perdue pendant le trajet.

Si vous deviez maintenant penser au scénario inverse, où au lieu d’une force conservatrice, vous avez une force non conservatrice agissant sur vous.

Par exemple, imaginez que vous volez dans les airs (sur Terre, donc nous pouvons utiliser V = mgh) et donc la force de résistance de l’air agit évidemment sur vous.

Maintenant, pensez d’abord à voler en ligne droite:

Ici, le changement d’énergie potentielle est simplement:

\Delta V = mg\Delta h = mg\left (h_1-h_2\right)

Jusqu’à présent, rien de surprenant ici. Le hic ici est que parce que la résistance à l’air est une force non conservatrice, une partie de l’énergie cinétique est perdue pendant le trajet, ce qui signifie que la variation totale de l’énergie mécanique n’est pas simplement ΔT + ΔV.

Par conséquent, le changement d’énergie mécanique ne peut pas être déterminé simplement par les points de début et de fin du trajet. Vous devez également tenir compte du chemin lui-même, ce qu’on appelle la dépendance au chemin.

Voici ce que je veux dire; prenez le même scénario (vous volez dans les airs) et changez le chemin que vous empruntez pour autre chose. Vous pouvez garder les points de début et de fin identiques si vous le souhaitez:

Maintenant, à mesure que votre chemin change, la résistance de l’air agissant sur vous pendant le chemin change également. Dans ce cas, votre chemin est plus long, donc la force de résistance de l’air agit sur vous pendant une période plus longue et vous perdez donc plus d’énergie cinétique.

Cela signifie que le changement total d’énergie mécanique est également différent lorsque nous changeons de trajectoire, ce qui signifie que le travail effectué par la force non conservatrice est différent comme dans le cas du trajet en ligne droite.

Maintenant, si vous avez aimé ce que vous lisez ici, alors pensez à consulter certains de mes autres articles, en particulier ceux sur la mécanique classique.

Ceux-ci comprennent, par exemple, une introduction à la mécanique lagrangienne, une introduction à la mécanique hamiltonienne (une version condensée peut être trouvée ici) ainsi qu’une comparaison de ces deux formulations.

J’ai également un article assez complet comparant la mécanique newtonienne et lagrangienne, qui peut être trouvé ici.

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