Vitesse d’échappement

En mécanique céleste, la vitesse d’échappement ou vitesse d’échappement est la vitesse minimale nécessaire pour qu’un objet libre et non propulsé échappe à l’influence gravitationnelle d’un corps primaire, atteignant ainsi une distance infinie de celui-ci. Il est généralement indiqué comme une vitesse idéale, ignorant les frottements atmosphériques. Bien que le terme « vitesse d’échappement » soit courant, il est plus précisément décrit comme une vitesse qu’une vitesse car il est indépendant de la direction; la vitesse d’échappement augmente avec la masse du corps primaire et diminue avec la distance du corps primaire. La vitesse d’échappement dépend donc de la distance que l’objet a déjà parcourue, et son calcul à une distance donnée prend en compte le fait que sans nouvelle accélération, il ralentira au fur et à mesure de son voyage — en raison de la gravité du corps massif — mais il ne ralentira jamais tout à fait jusqu’à s’arrêter.

Une fusée, continuellement accélérée par son échappement, peut s’échapper sans jamais atteindre sa vitesse d’échappement, car elle continue d’ajouter de l’énergie cinétique de ses moteurs. Il peut s’échapper à n’importe quelle vitesse, avec suffisamment de propergol pour fournir une nouvelle accélération à la fusée pour contrer la décélération de la gravité et maintenir ainsi sa vitesse.

Plus généralement, la vitesse d’échappement est la vitesse à laquelle la somme de l’énergie cinétique d’un objet et de son énergie potentielle gravitationnelle est égale à zéro; un objet qui a atteint la vitesse d’échappement n’est ni à la surface, ni sur une orbite fermée (de tout rayon). Avec une vitesse d’échappement dans une direction pointant loin du sol d’un corps massif, l’objet s’éloignera du corps, ralentissant pour toujours et approchant, mais n’atteignant jamais, la vitesse nulle. Une fois la vitesse d’échappement atteinte, aucune impulsion supplémentaire n’est nécessaire pour qu’elle continue dans son échappement. En d’autres termes, si la vitesse d’échappement est donnée, l’objet s’éloignera de l’autre corps, ralentissant continuellement, et s’approchera asymptotiquement de la vitesse nulle à mesure que la distance de l’objet se rapproche de l’infini, pour ne jamais revenir. Les vitesses supérieures à la vitesse d’échappement conservent une vitesse positive à une distance infinie. Notez que la vitesse d’échappement minimale suppose qu’il n’y a pas de frottement (par exemple, traînée atmosphérique), ce qui augmenterait la vitesse instantanée requise pour échapper à l’influence gravitationnelle, et qu’il n’y aura pas d’accélération future ou de décélération étrangère (par exemple de la poussée ou de la gravité d’autres corps), ce qui modifierait la vitesse instantanée requise.

La vitesse d’échappement à une distance d du centre d’un corps primaire à symétrie sphérique (tel qu’une étoile ou une planète) de masse M est donnée par la formule

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e} = {\sqrt{\frac{2GM}{d}}}}

où G est la constante gravitationnelle universelle (G ≈ 6,67× 10-11 m3 * kg-1* s-2). La vitesse d’échappement est indépendante de la masse de l’objet qui s’échappe. Par exemple, la vitesse d’échappement de la surface de la Terre est d’environ 11,186 km / s (40,270 km / h; 25,020 mph; 36,700 ft / s).

Lorsqu’on lui donne une vitesse initiale V {\displaystyle V} supérieure à la vitesse d’échappement v e, {\displaystyle v_{e}, } l’objet se rapprochera asymptotiquement de l’excès de vitesse hyperbolique v ∞, {\displaystyle v_{\infty}, } satisfaisant l’équation :

v ∞ 2 = V 2 − v e 2. {\displaystyle{v_{\infty}}^{2} = V^{2} – {v_{e}}^{2}.}

Dans ces équations, le frottement atmosphérique (traînée d’air) n’est pas pris en compte.

Aperçu

Luna 1, lancé en 1959, a été le premier objet fabriqué par l’homme à atteindre la vitesse d’échappement de la Terre (voir tableau ci-dessous).

L’existence de la vitesse d’échappement est une conséquence de la conservation de l’énergie et d’un champ d’énergie de profondeur finie. Pour un objet avec une énergie totale donnée, qui se déplace sous l’effet de forces conservatrices (comme un champ de gravité statique), il est seulement possible pour l’objet d’atteindre des combinaisons d’emplacements et de vitesses qui ont cette énergie totale; et les endroits qui ont une énergie potentielle plus élevée que celle-ci ne peuvent pas être atteints du tout. En ajoutant de la vitesse (énergie cinétique) à l’objet, il élargit les emplacements possibles qui peuvent être atteints, jusqu’à ce qu’avec suffisamment d’énergie, ils deviennent infinis.

Pour une énergie potentielle gravitationnelle donnée à une position donnée, la vitesse d’échappement est la vitesse minimale dont un objet sans propulsion a besoin pour pouvoir « s’échapper » de la gravité (c’est-à-dire pour que la gravité ne parvienne jamais à le retirer). La vitesse d’échappement est en fait une vitesse (pas une vitesse) car elle ne spécifie pas de direction: quelle que soit la direction de déplacement, l’objet peut échapper au champ gravitationnel (à condition que sa trajectoire ne croise pas la planète).

Une façon élégante de dériver la formule de la vitesse d’échappement est d’utiliser le principe de conservation de l’énergie (pour une autre manière, basée sur le travail, voir ci-dessous). Par souci de simplicité, sauf indication contraire, nous supposons qu’un objet échappera au champ gravitationnel d’une planète sphérique uniforme en s’en éloignant et que la seule force significative agissant sur l’objet en mouvement est la gravité de la planète. Imaginez qu’un vaisseau spatial de masse m se trouve initialement à une distance r du centre de masse de la planète, dont la masse est M, et que sa vitesse initiale est égale à sa vitesse d’échappement, v e {\displaystyle v_{e}} . À son état final, il sera à une distance infinie de la planète et sa vitesse sera négligeable. L’énergie cinétique K et l’énergie potentielle gravitationnelle Ug sont les seuls types d’énergie que nous traiterons (nous ignorerons la traînée de l’atmosphère), donc par la conservation de l’énergie,

(K + U g) initial =(K+ U g) final {\displaystyle(K+U_{g}) _{\text {initial}} =(K+U_{g}) _ {\text {final}}} {\displaystyle(K+U_{g}) _ {\text {initial}} = (K+U_{g}) _ {\text {final}}} {\displaystyle(K+U_{g}) _ {\text {initial}} =(K+ U_{g})_{\text {final}}}

On peut définir Kfinal = 0 parce que la vitesse finale est arbitrairement petite, et Ugfinal = 0 parce que la distance finale est infinie, donc

⇒ 1 2 m v e 2 +−G M m r = 0 + 0 ⇒ v e = 2 G M r = 2 μ r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow{} & {\frac{1}{2}} mv_{e}^{2} +{\frac{-GMm}{r}} = 0 +0 \\\Rightarrow{} & v_{e} ={\sqrt{\frac{2GM}{r}}} ={\sqrt{\frac{2\mu}{r}}}\end{aligned}}}

où μ est le paramètre gravitationnel standard.

Le même résultat est obtenu par un calcul relativiste, auquel cas la variable r représente la coordonnée radiale ou circonférence réduite de la métrique de Schwarzschild.

Définie un peu plus formellement, la « vitesse d’échappement » est la vitesse initiale nécessaire pour passer d’un point initial d’un champ de potentiel gravitationnel à l’infini et se terminer à l’infini avec une vitesse résiduelle de zéro, sans accélération supplémentaire. Toutes les vitesses et vitesses sont mesurées par rapport au champ. De plus, la vitesse d’échappement en un point de l’espace est égale à la vitesse qu’aurait un objet s’il partait au repos à une distance infinie et était tiré par gravité jusqu’à ce point.

Dans l’usage courant, le point initial se trouve à la surface d’une planète ou d’une lune. À la surface de la Terre, la vitesse d’échappement est d’environ 11,2 km / s, soit environ 33 fois la vitesse du son (Mach 33) et plusieurs fois la vitesse initiale d’une balle de fusil (jusqu’à 1,7 km / s). Cependant, à 9 000 km d’altitude dans « l’espace », il est légèrement inférieur à 7,1 km / s. Notez que cette vitesse d’échappement est relative à un référentiel non rotatif, et non à la surface mobile de la planète ou de la lune (voir ci-dessous).

La vitesse d’échappement est indépendante de la masse de l’objet qui s’échappe. Peu importe que la masse soit de 1 kg ou 1 000 kg; ce qui diffère, c’est la quantité d’énergie requise. Pour un objet de masse m {\displaystyle m} l’énergie nécessaire pour échapper au champ gravitationnel de la Terre est GMm/r, fonction de la masse de l’objet (où r est le rayon de la Terre, nominalement 6 371 kilomètres (3 959 mi), G est la constante gravitationnelle et M est la masse de la Terre, M = 5,9736 × 1024 kg). Une quantité connexe est l’énergie orbitale spécifique qui est essentiellement la somme de l’énergie cinétique et potentielle divisée par la masse. Un objet a atteint sa vitesse d’échappement lorsque l’énergie orbitale spécifique est supérieure ou égale à zéro.

Scénarios

À partir de la surface d’un corps

Une expression alternative pour la vitesse d’échappement v e {\displaystyle v_{e}} particulièrement utile à la surface du corps est:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e} = {\sqrt{2gr\,}}}

où r est la distance entre le centre du corps et le point auquel la vitesse d’échappement est calculée et g est l’accélération gravitationnelle à cette distance (c’est-à-dire la gravité de surface).

Pour un corps avec une distribution de masse symétrique sphériquement, la vitesse d’échappement v e{\displaystyle v_{e}} de la surface est proportionnelle au rayon en supposant une densité constante, et proportionnelle à la racine carrée de la densité moyenne ρ.

v e = K r ρ{\displaystyle v_{e} = Kr{\sqrt{\rho}}}

où K = 8 3 π G ≈ 2,364 × 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s −1 {\textstyle K = {\sqrt {{\frac {8} {3}} \pi G}} \ environ 2,364\ fois 10^{-5}{\text{m}}^{1,5}{\text{kg}}^{-0.5} {\text{s}}^{-1}}

Notez que cette vitesse d’échappement est relative à un référentiel non rotatif, et non à la surface mobile de la planète ou de la lune, comme nous l’expliquons maintenant.

À partir d’un corps en rotation

La vitesse d’échappement par rapport à la surface d’un corps en rotation dépend de la direction dans laquelle se déplace le corps en fuite. Par exemple, comme la vitesse de rotation de la Terre est de 465 m/ s à l’équateur, une fusée lancée tangentiellement depuis l’équateur terrestre vers l’est nécessite une vitesse initiale d’environ 10,735 km / s par rapport à la surface mobile au point de lancement pour s’échapper alors qu’une fusée lancée tangentiellement depuis l’équateur terrestre vers l’ouest nécessite une vitesse initiale d’environ 11,665 km/s par rapport à cette surface mobile. La vitesse de surface diminue avec le cosinus de la latitude géographique, de sorte que les installations de lancement spatial sont souvent situées aussi près que possible de l’équateur, p.ex. le Cap Canaveral américain (latitude 28°28’N) et le Centre Spatial guyanais (latitude 5°14’N).

Considérations pratiques

Dans la plupart des situations, il n’est pas pratique d’atteindre la vitesse d’échappement presque instantanément, en raison de l’accélération impliquée, et aussi parce que s’il y a une atmosphère, les vitesses hypersoniques impliquées (sur Terre une vitesse de 11,2 km / s, soit 40 320 km / h) entraîneraient la combustion de la plupart des objets à cause de l’échauffement aérodynamique ou seraient déchirés par la traînée atmosphérique. Pour une orbite d’échappement réelle, un engin spatial accélérera régulièrement hors de l’atmosphère jusqu’à ce qu’il atteigne la vitesse d’échappement appropriée à son altitude (qui sera inférieure à celle de la surface). Dans de nombreux cas, l’engin spatial peut d’abord être placé sur une orbite de stationnement (par exemple une orbite terrestre basse à 160-2 000 km), puis accéléré jusqu’à la vitesse d’échappement à cette altitude, qui sera légèrement inférieure (environ 11,0 km / s sur une orbite terrestre basse de 200 km). Le changement de vitesse supplémentaire requis est cependant beaucoup moins important car le vaisseau spatial a déjà une vitesse orbitale importante (en orbite terrestre basse, la vitesse est d’environ 7,8 km / s, soit 28 080 km / h).

Depuis un corps en orbite

La vitesse d’échappement à une hauteur donnée est de 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} fois la vitesse dans une orbite circulaire à la même hauteur, (comparez cela avec l’équation de vitesse en orbite circulaire). Cela correspond au fait que l’énergie potentielle par rapport à l’infini d’un objet sur une telle orbite est moins deux fois son énergie cinétique, tandis que pour s’échapper, la somme du potentiel et de l’énergie cinétique doit être au moins nulle. La vitesse correspondant à l’orbite circulaire est parfois appelée la première vitesse cosmique, alors que dans ce contexte, la vitesse d’échappement est appelée la deuxième vitesse cosmique.

Pour un corps en orbite elliptique souhaitant accélérer vers une orbite d’échappement, la vitesse requise variera, et sera la plus grande à la périapsie lorsque le corps est le plus proche du corps central. Cependant, la vitesse orbitale du corps sera également à son maximum à ce stade, et le changement de vitesse requis sera à son plus bas, comme l’explique l’effet Oberth.

Vitesse d’échappement barycentrique

Techniquement, la vitesse d’échappement peut être mesurée par rapport à l’autre corps central ou par rapport au centre de masse ou au barycentre du système de corps. Ainsi, pour les systèmes à deux corps, le terme vitesse d’échappement peut être ambigu, mais il est généralement destiné à signifier la vitesse d’échappement barycentrique du corps le moins massif. Dans les champs gravitationnels, la vitesse d’échappement fait référence à la vitesse d’échappement des particules d’essai de masse nulle par rapport au barycentre des masses générant le champ. Dans la plupart des situations impliquant des engins spatiaux, la différence est négligeable. Pour une masse égale à une fusée Saturn V, la vitesse d’échappement par rapport à la rampe de lancement est 253,5 am / s (8 nanomètres par an) plus rapide que la vitesse d’échappement par rapport au centre de masse mutuel.

Hauteur des trajectoires de vitesse inférieure

En ignorant tous les facteurs autres que la force gravitationnelle entre le corps et l’objet, un objet projeté verticalement à la vitesse v {\displaystyle v} de la surface d’un corps sphérique avec une vitesse d’échappement v e {\displaystyle v_{e}} et un rayon R {\displaystyle R} atteindra une hauteur maximale h {\displaystyle h} satisfaisant l’équation

v = v e h R +h, {\displaystyle v = v_{e}{\sqrt{\frac{h}{R+h}}}\ ,}

qui, la résolution de h résulte en

h = x 2 1−x 2 R, {\displaystyle h = {\frac {x^{2}} {1-x^{2}}} \R\, }

où x = v/v e {\textstyle x = v/v_ {e}} est le rapport de la vitesse d’origine v {\displaystyle v} à la vitesse d’échappement v e. {\displaystyle v_{e}.}

Contrairement à la vitesse d’échappement, la direction (verticalement vers le haut) est importante pour atteindre la hauteur maximale.

Trajectoire

Si un objet atteint exactement la vitesse d’échappement, mais n’est pas dirigé tout de suite loin de la planète, il suivra une trajectoire ou une trajectoire incurvée. Bien que cette trajectoire ne forme pas une forme fermée, elle peut être appelée orbite. En supposant que la gravité est la seule force significative dans le système, la vitesse de cet objet en tout point de la trajectoire sera égale à la vitesse d’échappement en ce point en raison de la conservation de l’énergie, son énergie totale doit toujours être 0, ce qui implique qu’il a toujours une vitesse d’échappement; voir la dérivation ci-dessus. La forme de la trajectoire sera une parabole dont le foyer est situé au centre de masse de la planète. Une évasion réelle nécessite un cap avec une trajectoire qui ne croise pas la planète, ni son atmosphère, car cela provoquerait un crash de l’objet. Lorsque vous vous éloignez de la source, ce chemin est appelé orbite d’échappement. Les orbites d’échappement sont appelées orbites C3 = 0. C3 est l’énergie caractéristique, =-GM/2a, où a est le demi-grand axe, qui est infini pour les trajectoires paraboliques.

Si le corps a une vitesse supérieure à la vitesse d’échappement, sa trajectoire formera une trajectoire hyperbolique et il aura une vitesse hyperbolique excessive, équivalente à l’énergie supplémentaire dont dispose le corps. Un delta-v supplémentaire relativement petit au-dessus de celui nécessaire pour accélérer jusqu’à la vitesse d’échappement peut entraîner une vitesse relativement grande à l’infini. Certaines manœuvres orbitales utilisent ce fait. Par exemple, à un endroit où la vitesse d’échappement est de 11,2 km/s, l’addition de 0,4 km/s donne un excès de vitesse hyperbolique de 3,02 km/s :

v ∞ = V 2 − v e 2 = (11,6 km/s) 2 − (11,2 km/s) 2 ≈ 3.02 km/s. {\displaystyle v_{\infty} = {\sqrt{V^{2} – {v_{e}}^{2}}}={\ sqrt {(11,6 {\text {km/s}})^{2}-(11.2{\ texte { km/s}})^{2}}}\ environ 3,02 {\text {km/s}}.}

Si un corps en orbite circulaire (ou au périapside d’une orbite elliptique) accélère le long de sa direction de déplacement pour s’échapper, le point d’accélération formera le périapside de la trajectoire d’échappement. Le sens de déplacement éventuel sera à 90 degrés par rapport à la direction au point d’accélération. Si le corps accélère au-delà de la vitesse d’échappement, la direction de déplacement éventuelle sera plus faible, et indiquée par l’une des asymptotes de la trajectoire hyperbolique qu’il prend maintenant. Cela signifie que le moment de l’accélération est critique si l’intention est de s’échapper dans une direction particulière.

Si la vitesse à la périapsie est v, alors l’excentricité de la trajectoire est donnée par:

e = 2(v/v e) 2 – 1 {\displaystyle e = 2(v/v_ {e})^{2}-1}

Ceci est valable pour les trajectoires elliptiques, paraboliques et hyperboliques. Si la trajectoire est hyperbolique ou parabolique, elle se rapprochera asymptotiquement d’un angle θ{\displaystyle\theta} de la direction à la périapsie, avec

sin θ θ = 1/e. {\displaystyle\sin\theta=1/e.}

La vitesse approchera asymptotiquement

v 2 -v e 2. {\displaystyle{\sqrt{v^{2} – v_{e}^{2}}}.}

Liste des vitesses d’échappement

Dans ce tableau, la moitié gauche donne la vitesse d’échappement de la surface visible (qui peut être gazeuse comme avec Jupiter par exemple), par rapport au centre de la planète ou de la lune (c’est-à-dire non par rapport à sa surface mobile). Dans la moitié droite, Ve fait référence à la vitesse par rapport au corps central (par exemple le soleil), tandis que Vte est la vitesse (à la surface visible du plus petit corps) par rapport au plus petit corps (planète ou lune).

Les deux dernières colonnes dépendront précisément de l’endroit où la vitesse d’échappement en orbite est atteinte, car les orbites ne sont pas exactement circulaires (en particulier Mercure et Pluton).

Dérivation de la vitesse d’échappement à l’aide du calcul

Soit G la constante gravitationnelle et soit M la masse de la terre (ou d’un autre corps gravitant) et m la masse du corps ou du projectile qui s’échappe. À une distance r du centre de gravitation, le corps ressent une force d’attraction

F = G M m r 2. {\displaystyle F = G{\frac{Mm}{r^{2}}}.}

Le travail nécessaire pour déplacer le corps sur une faible distance dr contre cette force est donc donné par

d W = F d r = G M m r 2 d r. {\displaystyle dW = F \, dr = G {\frac{Mm}{r^{2}}}\, dr.}

Le travail total nécessaire pour déplacer le corps de la surface r0 du corps gravitant vers l’infini est alors

W = ∫ r 0 ∞ G M m r 2 d r = G M m r 0 = g g r 0. {\displaystyle W=\int_{r_{0}}^{\infty} G{\frac{Mm}{r^{2}}}\, dr = G{\frac{Mm}{r_{0}}} = mgr_{0}.}

Pour que ce travail atteigne l’infini, l’énergie cinétique minimale du corps au départ doit correspondre à ce travail, donc la vitesse d’échappement v0 satisfait

1 2 m v 0 2 = G M m r 0, {\displaystyle{\frac{1}{2}} mv_{0}^{2} = G {\frac{Mm}{r_{0}}},}

ce qui donne

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r 0. {\displaystyle v_{0} = {\sqrt{\frac{2GM}{r_{0}}}}={\sqrt{2gr_{0}}}.}

Voir aussi

Notes

• Calculateur de vitesse d’échappement
• Calculateur numérique de vitesse d’échappement basé sur le Web