Escape velocity

ban ben égi mechanika, menekülési sebesség vagy menekülési sebesség az a minimális sebesség, amely ahhoz szükséges, hogy egy szabad, nem hajtott tárgy elmeneküljön az elsődleges test gravitációs hatása elől, így végtelen távolságot ér el tőle. Általában ideális sebességként állítják be, figyelmen kívül hagyva a légköri súrlódást. Bár a “menekülési sebesség” kifejezés gyakori, pontosabban sebességként írják le, mint sebességként, mert független az iránytól; a menekülési sebesség az elsődleges test tömegével növekszik, az elsődleges testtől való távolsággal pedig csökken. A menekülési sebesség tehát attól függ, hogy az objektum milyen messzire utazott, és egy adott távolságon történő kiszámítása figyelembe veszi azt a tényt, hogy új gyorsulás nélkül lelassul, ahogy halad—a hatalmas test gravitációja miatt—, de soha nem fog megállni.

egy rakéta, amelyet a kipufogógáz folyamatosan felgyorsít, elmenekülhet anélkül, hogy valaha is elérné a menekülési sebességet, mivel továbbra is kinetikus energiát ad a motorjaiból. Bármilyen sebességgel el tud menekülni, elegendő hajtóanyagot adva ahhoz, hogy új gyorsulást biztosítson a rakétának, hogy ellensúlyozza a gravitáció lassulását, és így megőrizze sebességét.

általánosabban a menekülési sebesség az a sebesség, amellyel egy tárgy kinetikus energiájának és gravitációs potenciális energiájának összege nulla; a menekülési sebességet elért tárgy nincs sem a felszínen, sem zárt pályán (bármilyen sugarú). Ha a menekülési sebesség egy masszív test talajától távolodó irányba mutat, a tárgy eltávolodik a testtől, örökké lassul, és megközelíti, de soha nem éri el a nulla sebességet. A menekülési sebesség elérése után nincs szükség további impulzusra ahhoz, hogy folytassa menekülését. Más szavakkal, ha megadjuk a menekülési sebességet, az objektum eltávolodik a másik testtől, folyamatosan lassul, és aszimptotikusan megközelíti a nulla sebességet, amikor az objektum távolsága megközelíti a végtelent, soha nem tér vissza. A menekülési sebességnél nagyobb sebességek végtelen távolságban pozitív sebességet tartanak fenn. Vegye figyelembe, hogy a minimális menekülési sebesség feltételezi, hogy nincs súrlódás (például légköri ellenállás), ami növelné a szükséges pillanatnyi sebességet a gravitációs hatás elkerüléséhez, és hogy nem lesz jövőbeli gyorsulás vagy külső lassulás (például tolóerő vagy más testek gravitációja), amely megváltoztatná a szükséges pillanatnyi sebességet.

az M tömegű gömbszimmetrikus elsődleges test (például csillag vagy bolygó) középpontjától d távolságban a menekülési sebességet a következő képlet adja meg:

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2gm}{d}}}}

ahol G az univerzális gravitációs állandó (g 6,67 60-11 m3·kg−1·s−2). A menekülési sebesség független a menekülő tárgy tömegétől. Például a Föld felszínéről való menekülési sebesség körülbelül 11,186 km/s (40 270 km/h; 25 020 mph; 36 700 láb/s).

ha a v {\displaystyle V} kezdeti sebesség nagyobb, mint a V e menekülési sebesség, {\displaystyle v_{e},} az objektum aszimptotikusan közelíti meg a hiperbolikus V_ {\infty },} megfelel a következő egyenletnek:

V 2 = V 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_ {\infty }} ^{2}=V^{2} – {v_{e}}^{2}.}

ezekben az egyenletekben a légköri súrlódást (légellenállást) nem veszik figyelembe.

áttekintés

Luna 1, 1959-ben indult, volt az első ember alkotta tárgy, amely elérte a menekülési sebességet a földről (lásd az alábbi táblázatot).

a menekülési sebesség létezése az energiamegmaradás és a véges mélységű energiamező következménye. Egy adott teljes energiával rendelkező tárgy esetében, amely konzervatív erőknek (például statikus gravitációs mezőnek) kitéve mozog, az objektum csak olyan helyek és sebességek kombinációit érheti el, amelyeknek ez a teljes energiája van; és azok a helyek, ahol ennél magasabb a potenciális energia, egyáltalán nem érhetők el. Sebesség (kinetikus energia) hozzáadásával az objektum kibővíti az elérhető lehetséges helyeket, amíg elegendő energiával végtelenné válnak.

egy adott helyzetben lévő adott gravitációs potenciális energia esetében a menekülési sebesség az a minimális sebesség, amelyet egy meghajtás nélküli tárgynak képesnek kell lennie arra, hogy “elmeneküljön” a gravitáció elől (vagyis hogy a gravitációnak soha ne legyen ideje visszahúzni). A menekülési sebesség valójában sebesség (nem sebesség), mert nem határoz meg irányt: nem számít, milyen a menetirány, az objektum elkerülheti a gravitációs mezőt (feltéve, hogy útja nem keresztezi a bolygót).

a menekülési sebesség képletének elegáns módja az energiamegmaradás elvének alkalmazása (más módon, munka alapján, lásd alább). Az egyszerűség kedvéért, hacsak másként nem jelezzük, feltételezzük, hogy egy tárgy elmenekül egy egységes gömb alakú bolygó gravitációs mezőjéből, ha távolodik tőle, és hogy az egyetlen jelentős erő, amely a mozgó tárgyra hat, a bolygó gravitációja. Képzeljük el, hogy egy m tömegű űrhajó kezdetben r távolságra van a bolygó tömegközéppontjától, amelynek tömege M, és kezdeti sebessége megegyezik a menekülési sebességével, v e {\displaystyle v_{e}} . Végső állapotában végtelen távolságra lesz a bolygótól, sebessége pedig elhanyagolhatóan kicsi lesz. A kinetikus energia K és a gravitációs potenciális energia Ug az egyetlen energia, amivel foglalkozni fogunk (figyelmen kívül hagyjuk a légkör ellenállását), így az energia megőrzésével

( K + U G ) kezdeti = ( K + U G ) végső {\displaystyle (K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}

beállíthatjuk a kfinal = 0 − t, mert a végsebesség önkényesen kicsi, és ugfinal = 0-t, mert a végtávolság végtelen, így

62 m v e 2 + – g m m r = 0 + 0 {\begin{igazított}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2gm}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{igazított}}}

ahol a standard gravitációs paraméter (Standard gravitációs paraméter).

ugyanezt az eredményt kapjuk relativisztikus számítással, amely esetben az r változó a Schwarzschild metrika radiális koordinátáját vagy csökkentett kerületét képviseli.

egy kicsit formálisabban definiálva a “menekülési sebesség” az a kezdeti sebesség, amely ahhoz szükséges, hogy a gravitációs potenciálmező kezdeti pontjától a végtelenig haladjon, és a végtelenben nulla maradék sebességgel érjen véget, további gyorsulás nélkül. Minden sebességet és sebességet a mezőhöz viszonyítva mérnek. Ezenkívül a szökési sebesség a tér egy pontján megegyezik azzal a sebességgel, amely egy tárgynak akkor lenne, ha végtelen távolságból nyugalomban indulna, és a gravitáció erre a pontra húzza.

általános használatban a kezdeti pont egy bolygó vagy Hold felszínén található. A Föld felszínén a szökési sebesség körülbelül 11,2 km/s, ami körülbelül 33-szorosa a hangsebességnek (mach 33), és többszöröse a puskagolyó szájsebességének (legfeljebb 1,7 km / s). Azonban 9000 km magasságban az “űrben” valamivel kevesebb, mint 7,1 km/s. Vegye figyelembe, hogy ez a menekülési sebesség egy nem forgó referenciakerethez viszonyítva, nem a bolygó vagy a Hold mozgó felületéhez viszonyítva (lásd alább).

a menekülési sebesség független a menekülő tárgy tömegétől. Nem számít, hogy a tömeg 1 kg vagy 1000 kg; a különbség a szükséges energia mennyisége. Egy m {\displaystyle m} tömegű objektum esetében a Föld gravitációs mezőjéből való kilépéshez szükséges energia GMm / r, a tárgy tömegének függvénye (ahol r a Föld sugara, névlegesen 6371 kilométer (3959 mérföld), G a gravitációs állandó, M pedig a Föld tömege, M = 5,9736 6024 kg). A kapcsolódó mennyiség a fajlagos orbitális energia, amely lényegében a kinetikus és a potenciális energia összege osztva a tömeggel. Egy objektum akkor érte el a menekülési sebességet, ha a fajlagos orbitális energia nagyobb vagy egyenlő nullával.

forgatókönyvek

egy test felszínéről

a menekülési sebesség alternatív kifejezése v e {\displaystyle v_{e}} különösen hasznos a test felszínén:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}

ahol r a test középpontja és a szökési sebesség kiszámításának pontja közötti távolság, g pedig a gravitációs gyorsulás ezen a távolságon (azaz a felszíni gravitáció).

egy gömbszimmetrikus tömegeloszlású test esetében a kijutási sebesség v e {\displaystyle v_{e}} a felszínről arányos az állandó sűrűséget feltételező sugárral, és arányos az átlagos sűrűség négyzetgyökével, ami egyenlő az átlagos sűrűséggel.

V e = K R {\displaystyle V_{e}=KR{\sqrt {\rho}}}}

ahol K = 8 3 db 6,364 db 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s − 1 {\textstyle K={\sqrt {{\frac {8} {3}}\pi g}}\kb 2,364\szor 10^{-5} {\text{ m}}^{1,5} {\text{ kg}}^{-0.5} {\szöveg{ s}}^{-1}}

vegye figyelembe, hogy ez a menekülési sebesség egy nem forgó referenciakerethez viszonyítva, nem a bolygó vagy a Hold mozgó felületéhez viszonyítva, amint azt most elmagyarázzuk.

forgó testből

a forgó test felületéhez viszonyított menekülési sebesség attól függ, hogy a menekülő test milyen irányban halad. Például, mivel a Föld forgási sebessége 465 m/s az egyenlítőn, a Föld egyenlítőjétől kelet felé tangenciálisan indított rakéta kezdeti sebessége körülbelül 10,735 km/s a mozgó felülethez képest az indítási ponton a meneküléshez, míg a Föld egyenlítőjétől nyugatra tangenciálisan indított rakéta kezdeti sebessége körülbelül 11,665 km/s ahhoz a mozgó felülethez képest. A felszíni sebesség a földrajzi szélesség koszinuszával csökken, így az űrindító létesítmények gyakran a lehető legközelebb helyezkednek el az egyenlítőhöz, pl. az amerikai Cape Canaveral (az é.sz. 28. szélesség 28′) és a francia guyanai Űrközpont (az é. sz. 5. szélesség 14′).

gyakorlati megfontolások

a legtöbb helyzetben nem praktikus szinte azonnal elérni a menekülési sebességet a feltételezett gyorsulás miatt, és azért is, mert ha van légkör, akkor az ezzel járó hiperszonikus sebesség (a Földön 11,2 km/s vagy 40 320 km/h sebesség) a legtöbb tárgyat az aerodinamikai melegítés miatt égeti el, vagy a légköri ellenállás szétszakítja. Egy tényleges menekülési pálya esetén az űrhajó folyamatosan felgyorsul a légkörből, amíg el nem éri a magasságának megfelelő menekülési sebességet (ami kisebb lesz, mint a felszínen). Sok esetben az űrhajó lehet, hogy az első helyezett egy parkoló pályára (pl. alacsony Föld körüli pályára a 160-2,000 km-re), majd gyorsított a szökési sebességet a tengerszint feletti magasság, ami valamivel alacsonyabb (körülbelül 11.0 km/s alacsony Föld körüli pályára 200 km). A szükséges további sebességváltozás azonban sokkal kisebb, mert az űrhajó már jelentős keringési sebességgel rendelkezik (alacsony Föld körüli pályán a sebesség körülbelül 7,8 km/s, Vagyis 28 080 km/h).

keringő testből

a szökési sebesség egy adott magasságban 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} a sebesség szorzata egy kör alakú pályán azonos magasságban (hasonlítsa össze ezt a kör alakú pálya sebességegyenletével). Ez megfelel annak a ténynek, hogy egy ilyen pályán lévő tárgy végtelenségéhez viszonyított potenciális energia mínusz kétszerese a kinetikus energiának, míg a potenciális és kinetikus energia összegének elkerüléséhez legalább nullának kell lennie. A körpályának megfelelő sebességet néha első kozmikus sebességnek nevezik, míg ebben az összefüggésben a menekülési sebességet második kozmikus sebességnek nevezik.

egy elliptikus pályán lévő, menekülési pályára gyorsulni kívánó test esetében a szükséges sebesség változó lesz, és a periapszisnál lesz a legnagyobb, amikor a test a legközelebb van a központi testhez. A test keringési sebessége azonban ezen a ponton is a legmagasabb lesz, a szükséges sebességváltozás pedig a legalacsonyabb lesz, amint azt az Oberth-effektus magyarázza.

Baricentrikus menekülési sebesség

technikailag a menekülési sebesség mérhető a másik, központi testhez viszonyítva, vagy a testrendszer tömegközéppontjához vagy baricentrumához viszonyítva. Így két test rendszerei esetében a kifejezés menekülési sebesség kétértelmű lehet, de általában a baricentrikus menekülési sebesség a kevésbé masszív test. A gravitációs mezőkben a menekülési sebesség a nulla tömegű vizsgálati részecskék menekülési sebességére utal a mezőt generáló tömegek baricentrumához viszonyítva. A legtöbb űrhajóval kapcsolatos helyzetben a különbség elhanyagolható. A Saturn V rakétával megegyező tömeg esetén az indítópulthoz viszonyított menekülési sebesség 253,5 am/s (évente 8 nanométer) gyorsabb, mint a kölcsönös tömegközépponthoz viszonyított menekülési sebesség.

az alacsonyabb sebességű pályák magassága

a test és a tárgy közötti gravitációs erő kivételével minden tényezőt figyelmen kívül hagyva egy v {\displaystyle v} sebességgel függőlegesen kivetített tárgy egy v e {\displaystyle v_{e}} és R sugara R {\displaystyle R} eléri a H {\displaystyle h} maximális magasságot, amely megfelel a

V = V E H R + H egyenletnek , {\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{r+h}}}\ ,}

melyik, h megoldása

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}

ahol x = v / v e {\textstyle x=v/v_{e}} az eredeti v {\displaystyle v} sebességnek a v e menekülési sebességhez viszonyított aránya . {\displaystyle v_{e}.}

a menekülési sebességgel ellentétben az irány (függőlegesen felfelé) fontos a maximális magasság eléréséhez.

röppálya

ha egy objektum pontosan eléri a menekülési sebességet, de nem közvetlenül a bolygóról irányul, akkor görbe utat vagy pályát fog követni. Bár ez a pálya nem képez zárt alakot, pályának nevezhető. Feltételezve, hogy a gravitáció az egyetlen jelentős erő a rendszerben, ennek az objektumnak a sebessége a pálya bármely pontján megegyezik az adott pont menekülési sebességével az energiamegmaradás miatt, teljes energiájának mindig 0-nak kell lennie, ami azt jelenti, hogy mindig van menekülési sebessége; lásd a fenti levezetést. A pálya alakja egy parabola lesz, amelynek fókusza a bolygó tömegének középpontjában helyezkedik el. A tényleges meneküléshez olyan pályára van szükség, amelynek pályája nem keresztezi a bolygót vagy annak légkörét, mivel ez az objektum összeomlását okozhatja. Amikor távolodik a forrástól, ezt az utat menekülési pályának nevezik. A menekülési pályákat C3 = 0 pályáknak nevezzük. C3 a jellemző energia, = – GM / 2a, ahol a a fél-fő tengely, amely végtelen a parabolikus pályák számára.

ha a test sebessége nagyobb, mint a menekülési sebesség, akkor az útja hiperbolikus pályát képez, és túlzott hiperbolikus sebességgel rendelkezik, ami megegyezik a test extra energiájával. Egy viszonylag kicsi extra delta-v felett, amely a menekülési sebesség felgyorsításához szükséges, viszonylag nagy sebességet eredményezhet a végtelenben. Néhány orbitális manőver kihasználja ezt a tényt. Például egy olyan helyen, ahol a menekülési sebesség 11,2 km/s, a 0,4 km/s hozzáadása 3,02 km/s hiperbolikus többletsebességet eredményez:

V ++ = V 2 − v e 2 = ( 11,6 km/s ) 2 − ( 11,2 km/s ) 2 .. 3.02 km / s . {\displaystyle v_ {\infty } = {\sqrt {v^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6 {\text{ km / s}})^{2}-(11.2{\szöveg{ km / s}})^{2}}}\körülbelül 3,02 {\text {km / s}}.}

ha egy körpályán lévő test (vagy egy elliptikus pálya periapszisánál) felgyorsul a menekülési sebesség felé vezető menetiránya mentén, akkor a gyorsulási pont képezi a menekülési pálya periapszisát. Az esetleges haladási irány 90 fokos lesz a gyorsulás pontján lévő irányhoz képest. Ha a test túl gyorsul a menekülési sebességen, akkor a végső menetirány kisebb szögben lesz, amelyet a hiperbolikus pálya egyik aszimptotája jelez. Ez azt jelenti, hogy a gyorsulás időzítése kritikus, ha a szándék egy adott irányba menekülni akar.

ha a periapszis sebessége v, akkor a pálya excentricitását az adja meg:

e = 2 (v / v) 2 − 1 {\displaystyle e=2(v/v_{e})^{2}-1}

ez érvényes elliptikus, parabolikus és hiperbolikus pályákra. Ha a pálya hiperbolikus vagy parabolikus, akkor aszimptotikusan megközelíti a periapszis irányából egy szöget, ahol

sin = 1 / e. {\displaystyle \ sin \ theta =1/e.}

a sebesség aszimptotikusan megközelíti

v 2 − v e 2-t. {\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}

menekülési sebességek listája

ebben a táblázatban a bal oldali fele adja meg a látható felületről való menekülési sebességet (amely gáznemű lehet, mint például a Jupiternél), a bolygó vagy a Hold középpontjához viszonyítva (vagyis nem a mozgó felületéhez viszonyítva). A jobb oldali felében Ve a központi testhez (például a naphoz) viszonyított sebességre utal, míg Vte a sebesség (a kisebb test látható felületén) a kisebb testhez (bolygóhoz vagy Holdhoz) viszonyítva.

az utolsó két oszlop pontosan attól függ, hogy a pályán hol érik el a menekülési sebességet, mivel a pályák nem pontosan kör alakúak (különösen a Merkúr és a Plútó).

a menekülési sebesség levezetése a

kalkulus segítségével Legyen G a gravitációs állandó, és legyen M a föld (vagy más gravitáló test) tömege, m pedig a menekülő test vagy lövedék tömege. A gravitációs középponttól r távolságban a test vonzó erőt érez

F = G M m r 2 . {\displaystyle F = G {\frac {Mm}{r^{2}}}.}

a test kis távolságon történő mozgatásához szükséges munkát tehát

d W = F d r = G M m r 2 d r adja meg . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

a test mozgatásához szükséges teljes munka a gravitáló test R0 felszínéről a végtelenbe akkor

w = xhamsterr 0 D R = G M M R 0 = m g r 0. {\displaystyle W = \ int _ {r_{0}}^{\infty }G {\frac {Mm}{r ^ {2}}}\, dr=G {\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}

ahhoz, hogy ezt a munkát végtelenségig elérjük, a test minimális mozgási energiájának induláskor meg kell egyeznie ezzel a munkával, így a v0 menekülési sebesség kielégíti

1 2 m v 0 2 = G M m r 0, {\displaystyle {\frac {1}{2}} mv_{0}^{2}=G {\frac {Mm}{r_{0}}},}

ami

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r 0 értéket eredményez . {\displaystyle v_{0} = {\sqrt {\frac {2gm}{r_{0}}}} = {\sqrt {2gr_{0}}}.}

Lásd még

Megjegyzések

• Escape velocity calculator
• Web-alapú numerikus escape velocity calculator