ez a bejegyzés tartalmazhat társult linkeket könyvekhez vagy más forrásokhoz, amelyeket személyesen ajánlok.
a newtoni fizikában általában kétféle erő létezik: konzervatív erők és nem konzervatív erők. Ez a besorolás a kétféle erő között néhány kulcsfontosságú különbség miatt történik.
röviden: a konzervatív erők egy potenciálból származnak, míg a nem konzervatív erők nem. A konzervatív erők szintén útfüggetlenek és mechanikai energiát takarítanak meg (így a konzervatív erő neve), míg a nem konzervatív erők útfüggőek és nem takarítanak meg mechanikai energiát.
itt van egy kis összehasonlító táblázat a két erőről:
| konzervatív erők | nem konzervatív erők |
|---|---|
| potenciálból származtatott, nem meghatározott mennyiségből származtatott | |
| takarítson meg mechanikai energiát | ne takarítson meg mechanikai energiát |
| Útvonalfüggetlen | Útvonalfüggő |
| példák: gravitációs erők, mágneses erők | példák: súrlódás, légellenállás, viszkózus erők |
a következő szakaszokban ezeket a különbségeket sokkal részletesebben ismertetjük.
levezetés potenciális energián keresztül
az egyik legfontosabb különbség a konzervatív és a nem konzervatív erők között a meghatározásuk módja, különösen matematikai jelentésük.
a konzervatív erő mindig társítható potenciális energiával, természetesen a potenciális energia sajátos formája mindig a helyzettől függően.
különösen a konzervatív erőket a potenciál negatív gradienseként definiálják. A gradienst általában egyfajta fejjel lefelé fordított delta-szimbólumként írják, és a potenciált V(x)-vel jelöljük, mivel ez a pozíciótól függ:
)
bár ez kissé fejlettnek tűnhet, a gradiens egyszerűen a részleges deriváltot jelenti a kérdéses mennyiség minden egyes alkotóeleme tekintetében.
esetünkben a mennyiség valamilyen potenciális energia függvény, és a potenciális energiák általában a pozíciótól függenek. Tehát röviden, a konzervatív erők egyszerűen egy potenciál negatív származékai a pozícióhoz képest:
)
intuitív módon láthatja, hogy van értelme ennek a meghatározásnak. Gondoljon egy olyan helyzetre, amikor valamilyen helyzetben van, ahol van egy bizonyos mennyiségű potenciális energiája.
például ez lehet A Föld gravitációs mezőjében, amely valahol a föld feletti űrben lebeg. Most gondolj arra, hogy mi történik, amikor a Föld gravitációs ereje hat rád.
a helyzetetek nyilvánvalóan meg fog változni, ahogy a potenciális energiátok is, ahogy közelebb kerültök a Föld felé. Ez azt jelenti, hogy a rád ható erő kapcsolatban áll a helyzeted és a potenciális energiád változásával, ami teljesen érthető.
Ekvivalensen a potenciális energia meghatározható úgy, hogy egyszerűen összeadjuk az objektumra ható összes konzervatív erőt egy bizonyos út során.
matematikailag ez azt jelenti, hogy a teljes potenciális energia az integrál (azaz. a kérdéses konzervatív erő folyamatos összege vagy valóban nagyon kis lépéseinek összege) az út tekintetében.
ezt is könnyű kitalálni a konzervatív erő definíciójából, egyszerűen a kifejezések körül mozgatva és mindkét oldal integrálásával:
%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D)
%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7DFdx)
%3D-%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7DFdx)
ezek a meghatározások könnyen használhatók arra, hogy megtalálják a konzervatív erőket és a potenciális energiafunkciókat, amelyek megfelelnek egymásnak.
használjuk újra a gravitációs mező példáját. Ha ismerjük az erőt vagy a potenciális energiát, akkor levezethetjük a megfelelő erőt vagy potenciált az adott esetre.
tegyük fel, hogy ismerjük a gravitációs potenciális energiát (x helyettesítése r-vel, mivel r ebben az esetben a helyzet):
%3D-%5Cfrac%7BGmM%7D%7Br%7D)
a gravitációs erő akkor egyszerűen a negatív derivált nak, – nek this:
)
)
%3D-%5Cfrac%7BGmM%7D%7Br%5E2%7D)
és fordítva, ha tudjuk, hogy a gravitációs erő:
akkor megtalálhatjuk a potenciális energiát ennek integrálásával:
%3D-%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D-%5Cfrac%7BGmM%7D%7Br%5E2%7Ddr)
%3DGmM%5Ccdot%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5E2%7Ddr)
%3DGmM%5Ccdot%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7BGmM%7D%7Br%7D)
ezek az egyenletek azért működnek, mert a gravitációs erők konzervatív erők, Vagyis potenciális energiával társíthatók.
másrészt vegye figyelembe a viszkózus húzóerőt, amely olyan erő, amely valamilyen folyadékon mozgó tárgyra hat. A húzóerő valójában sebességfüggő erő, ami azt jelenti, hogy nagyobb erő van egy nagyobb sebességgel mozgó tárgyon.
ennek természetesen van értelme, ha olyan tárgyra gondol, amely folyadékon mozog. A húzóerő matematikai meghatározása a következő:
itt C az a húzási együttható, amely a kérdéses folyadéktól függ, A az áthaladt folyadék felülete, 6 a folyadék sűrűsége, v pedig a tárgy sebessége.
ennek a húzóerőnek az oka azonban figyelemre méltó, mert nincs különösebb potenciális energiája. Ez nem egy konzervatív erő.
ugyanez az ötlet vonatkozik a súrlódásra és a légellenállásra is (érdemes megjegyezni, hogy a légellenállás és a légellenállás csak a súrlódás különböző formái).
minden súrlódási erő nem konzervatív erő, mert nem potenciálból származnak. Végső soron azonban ez a meghatározás abból származik, hogy ezek az erők hogyan takarítanak meg energiát.
ennek az elképzelésnek különös jelentősége van a lagrangi mechanikában, amely a konzervatív erők fogalmára támaszkodik. Ebben a cikkben részletesebben foglalkozom ezzel a koncepcióval.
a mechanikai energia megőrzése
a konzervatív erők másik kulcsfontosságú jellemzője, hogy megőrzik a rendszer vagy egy tárgy mechanikai energiáját. A mechanikai energia egyszerűen a kinetikus és potenciális energia összességét jelenti.
a nem konzervatív erők viszont nem. Inkább eloszlatják az energiát a rendszerből (az energiát hővé/más energiaformákká alakítják, amelyeket általában egy probléma szempontjából irrelevánsnak tekintenek, vagyis az energia “elveszik”).
valójában az energiatakarékosság ezen tulajdonsága az, ahonnan a konzervatív és nem konzervatív erők nevei származnak.
ennek akkor van értelme, ha például a gravitációs erőre gondolunk. A gravitáció miatt az űrbe eső tárgy, ahol nincs légellenállás vagy bármi más, nem veszít energiát, amikor üres térben utazik.
azonban, amint az objektum beleesik például egy bolygó légkörébe, légellenállási erőket kezd tapasztalni, energiát veszít, és ezért lelassul.
ez a mechanikai energia megőrzése a konzervatív erők fontos tulajdonságához is vezet, amelyet útfüggetlenségnek neveznek.
azt is érdemes megjegyezni, hogy az energia nem igazán “elveszett” semmilyen módon, ha figyelembe minden lehetséges változó a rendszerben. Az energia egyszerűen csak más formákká alakul, például a kinetikus energia hőenergiává alakul.
például abban az esetben, ha egy tárgy egy bolygó légkörébe esik, úgy tűnhet, hogy valamilyen energia elveszik a folyamat során, amikor az objektum lelassul, de ez csak akkor történik, ha csak magát az objektumot vesszük figyelembe.
a valóságban, ha valóban az egész rendszert figyelembe vennénk, amely magában foglalja az összes levegőmolekulát is, akkor semmilyen energia nem veszne el.
az “elveszettnek” tűnő energia valójában csak a levegőmolekulák kinetikus energiájává alakul, amely nagyobb léptékben hőként jelenik meg.
Útfüggőség és függetlenség
egy másik tényező, ahol a konzervatív erők különböznek a nem konzervatívoktól, az az út, amelyet egy tárgy követ, és hogyan befolyásolja az erőt az út választása.
ez alatt azt értem, hogy a konzervatív erők esetében az objektum által megtett út nem számít a teljes mechanikai energia szempontjából.
ezt a fogalmat legjobban egy példával lehet megmagyarázni. Fontolja meg ezt a forgatókönyvet; a föld feletti űrben tartózkodik r1 távolságra a Föld központjától.
amint a Föld gravitációs ereje elkezd a Föld felé húzni, természetesen egyenes utat követsz, és a gravitációs potenciális energiád az út egy másik pontján különbözik, amikor közelebb kerülsz a Földhöz (most R2 távolságra a Föld középpontjától). Itt van, mire gondolok:
itt a gravitációs potenciális energia változása egyszerűen:
mivel a gravitáció alapvetően konzervatív erő, ha a légellenállást vagy más erőket nem veszik figyelembe, ezen az úton nem veszít teljes mechanikai energia. Tehát a mechanikai energia teljes változása egyszerűen (Ft bármi is legyen a kinetikus energia változása):
képzelje el, hogy a gravitáció nem egyenes vonalban húz. Mi lenne, ha valami furcsa görbe ösvényre húzna, de mégis ugyanabba a végpontba kerültél? Itt van, mi fog történni:
nyilvánvaló, hogy ha a kiindulási pont és a végpont ugyanaz, akkor az út nem számít. A mechanikai energia teljes változása továbbra is ugyanaz. Ezt az elképzelést útfüggetlenségnek hívják, a konzervatív erők pedig útfüggetlen erők.
az Útfüggetlenség a teljes mechanikai energiát megőrző konzervatív erők közvetlen eredménye.
Gondolj bele. Ha egy bizonyos út során nem “veszít” energiát, akkor a konzervatív erő által végzett munka (a mechanikai energia változása ezen erő miatt) teljesen meghatározható az út kezdő-és végpontjaival. Nem számít, hogy mi történik a kezdő és a végpont között, amíg az út során nem veszít energiát.
ha most az ellenkező forgatókönyvre gondolna, ahol konzervatív erő helyett egy nem konzervatív erő hat rád.
képzelje el például, hogy a levegőben repül (a Földön, így használhatjuk a V=mgh-t), és így a légellenállás ereje nyilvánvalóan hat rád.
most először gondoljon arra, hogy egyenes vonalban repül:
itt a potenciális energia változása egyszerűen:
)
eddig semmi meglepő itt. A fogás itt az, hogy mivel a légellenállás nem konzervatív erő, némi kinetikus energia elvész az út során, ami azt jelenti, hogy a mechanikai energia teljes változása nem egyszerűen Ft + Ft.
ezért a mechanikai energia változása nem határozható meg egyszerűen az út kezdő-és végpontjaival. Magát az utat is figyelembe kell venni, ezt nevezzük útfüggőségnek.
itt van, mire gondolok; vegyük ugyanazt a forgatókönyvet (repülsz a levegőben), és változtasd meg az utat, amit valami másra utazol. A kezdő és a végpontokat is megtarthatod, ha szeretnéd:
most, ahogy az utad megváltozik, az út során rád ható légellenállás is megváltozik. Ebben az esetben az utad hosszabb, tehát a légellenállás ereje hosszabb ideig hat rád, ezért több kinetikus energiát veszítesz.
ez azt jelenti, hogy a mechanikai energia teljes változása is különbözik, amikor megváltoztatjuk az utat, ami azt jelenti, hogy a nem konzervatív erő által végzett munka más, mint az egyenes vonalú út esetében.
most, ha tetszett, amit itt olvastál, akkor fontolja meg néhány más cikkem megtekintését, különösen a klasszikus mechanikáról szóló cikkeket.
ezek közé tartozik például a bevezetés a Lagrangi mechanikába, a bevezetés a Hamilton-mechanikába (a tömörített változat itt található), valamint e két megfogalmazás összehasonlítása.
van egy nagyon átfogó cikkem is, amely összehasonlítja a newtoni és a Lagrangi mechanikát, amely itt található.