Conservative vs Non-Conservative Forces:The Key Differences

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ニュートン物理学では、一般的に二つのタイプの力があります。 2つのタイプの力の間のこの分類は、それらの間のいくつかの重要な違いのために行われます。

要するに、保守的な力は潜在的な力から派生しますが、非保守的な力はそうではありません。 保守的な力も経路に依存せず、機械的エネルギーを節約する（したがって、保守的な力という名前）が、非保守的な力は経路に依存し、機械的エネルギーを節約しない。

ここに二つの力の小さな比較表があります:

以下のセクションでは、これらの違いのそれぞれについて、より詳細に説明します。

ポテンシャルエネルギーによる導出

保守的な力と非保守的な力の主な違いの1つは、それらが定義される方法、特にそれらの数学的意味です。

保守的な力は常に潜在的なエネルギーに関連付けることができますが、もちろん潜在的なエネルギーの特定の形は常に状況に応じています。

特に、保守的な力はポテンシャルの負の勾配として定義されます。 勾配は、通常、位置に依存するため、逆さまのデルタ記号の一種として書かれ、電位はV（x）で表されます：

これは少し進歩しているように見えるかもしれませんが、勾配は単に問題の特定の量の各成分に関する偏微分を意味します。

我々の場合、量はいくつかのポテンシャルエネルギー関数であり、ポテンシャルエネルギーは一般に位置に依存する。 したがって、要するに、保守的な力は、位置に関するポテンシャルの単に負の導関数です：

直感的には、この定義がどのように理にかなっているかがわかります。 あなたが潜在的なエネルギーの一定量を持っているいくつかの位置にある状況について考えてみてください。

例えば、これは地球上の宇宙のどこかに浮かぶ地球の重力場にある可能性があります。 地球の重力があなたに作用しているときに何が起こるか考えてみてください。

あなたの位置は明らかに変化しており、あなたが地球に近づくにつれてあなたの潜在的なエネルギーも変化します。 これは、あなたに作用する力があなたの位置と潜在的なエネルギーの変化に関連していることを意味し、これは完全に理にかなっています。

同様に、ポテンシャルエネルギーは、特定の経路の間に各点で物体に作用するすべての保守的な力を単純に加算することによって定義することがで

数学的には、総ポテンシャルエネルギーが積分であることを意味する（すなわち パスに関して問題の保守的な力の連続的な合計または本当に本当に小さな増分の合計）。

これは、単に用語の周りを移動し、両側を統合することによって、保守的な力の定義から理解するのも簡単です:F F=-\frac{d}{dx}V\left（x\right）Fとなります。)

これらの定義は、互いに一致する保守的な力と潜在的なエネルギー関数を見つけるために簡単に使用することができます。

重力場の例をもう一度使いましょう。 力またはポテンシャルエネルギーのいずれかを知っていれば、その場合に対応する力またはポテンシャルを導き出すことができます。重力ポテンシャルエネルギーを知っているとしましょう（この場合、rは位置であるため、xをrに置き換えます）。

重力は、単にの負の導関数ですthis:

そしてその逆もまた、重力が分かっていれば:

次に、これを積分することでポテンシャルエネルギーを見つけることができます：

さて、これらの方程式は、重力が保守的な力であるため、潜在的なエネルギーに関連付けることができることを意味します。

一方、ある種の液体を通って移動する物体に作用する力である粘性抗力のようなものを考えてみましょう。 抗力は実際には速度に依存する力であり、より高速で移動する物体に大きな力があることを意味します。

これはもちろん、流体を通って移動するオブジェクトについて考えるなら意味があります。 抗力の数学的定義は次のとおりです:

ここで、Cは問題の流体に依存する抗力係数であり、Aは移動する流体の表面積であり、ρは流体の密度であり、vは物体の速度である。

しかし、この抗力が注目される理由は、それに関連する特定のポテンシャルエネルギーを持たないためです。 したがって、それは保守的な力ではありません。

この同じ考え方は、摩擦や空気抵抗のようなものにも適用されます（抗力と空気抵抗は単なる摩擦の異なる形態であることにも注意してください）。

すべての摩擦力は、ポテンシャルから導出されないため、非保守的な力です。 しかし、最終的には、この定義は、これらの力がエネルギーを節約する方法から来ています。

この考えは、保守的な力の概念に依存するラグランジアン力学において特に重要である。 この概念については、この記事で詳しく説明します。

機械エネルギーの保存

保守的な力のもう一つの重要な特徴は、それらがシステムまたは物体の機械的エネルギーを節約することである。 機械的エネルギーは、単に運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの合計を意味します。

一方、非保守的な勢力はそうではありません。 むしろ、それらはシステムからエネルギーを放散します（エネルギーを熱/通常問題では無関係と考えられる他の形態のエネルギーに変え、エネルギーが「失われ

実際には、このエネルギー保存の特性は、保守的および非保守的な力の名前が由来する場所です。

これは、例えば重力についてもう一度考えると理にかなっています。 空気抵抗やその他のものがない重力のために宇宙に落下する物体は、空の空間を移動するときにエネルギーを失うことはありません。

しかし、物体が惑星の大気などに落下するとすぐに、空気抵抗力を経験し始め、エネルギーを失い、したがって減速します。

この力学的エネルギーの保存は、経路の独立性と呼ばれる保守的な力の重要な特性にもつながります。

システム内のすべての可能な変数を考慮すると、エネルギーは決して実際には”失われない”ことに注意する価値があるかもしれません。 エネルギーは単に他の形に変わり、例えば運動エネルギーは熱エネルギーに変わります。

例えば、ある物体が惑星の大気中に落下した場合、その物体が減速するにつれて何らかのエネルギーが失われているように見えるかもしれませんが、それはその物体自体だけを考慮した場合に限ります。

実際には、システム全体を真に説明すると、それにはすべての空気分子も含まれますが、エネルギーは失われません。

「失われた」ように見えるエネルギーは、実際には空気分子の運動エネルギーに変わり、より大きなスケールでは熱として現れるでしょう。

パス依存性と独立性

保守的な力が非保守的な力と異なるもう一つの要因は、オブジェクトが取るパスと、そのパスの選択によって力がどのように影響されるかです。

私がこれによって意味することは、保守的な力の場合、物体が取る経路は、全機械的エネルギーの点では重要ではないということです。

この概念は、例を通して最もよく説明されるかもしれません。 あなたは地球の中心からr1の距離で地球の上の宇宙にいます。

地球の重力があなたを地球に引き寄せ始めると、あなたは自然にまっすぐな道をたどり、あなたが地球に近づくにつれて（今は地球の中心からr2の距離に）重力ポテンシャルエネルギーは経路の他の点で異なっています。 ここに私が意味するものがある:

ここで、あなたの重力ポテンシャルエネルギーの変化は単純です:

空気抵抗や他の力が考慮されていない場合、重力は基本的に保守的な力であるため、この経路中に総機械的エネルギーが失われることはありません。 したがって、機械的エネルギーの総変化は単純です（Δ Tは運動エネルギーの変化が何であれ）：

重力が直線であなたを引っ張っていなかったと想像してください。 それはいくつかの奇妙な湾曲したパスであなたを引っ張ったが、あなたはまだ同じ終点で終わった場合はどうなりますか？ ここで何が起こるかです:

開始点と終了点が同じであれば、あなたが取るパスは重要ではないことがわかります。 機械的エネルギーの総変化は依然として同じである。 この考えはパス独立と呼ばれ、保守的な力はパス独立の力です。

経路の独立性は、全体の機械的エネルギーを節約する保守的な力の直接の結果です。

それについて考えてみてください。 特定の経路の間にエネルギーを「失う」ことがない場合、保守的な力（その力による機械的エネルギーの変化）によって行われる作業は、その経路の始点と終 開始点と終了点の間で何が起こるかは、パス中にエネルギーが失われない限り重要ではありません。

あなたが今、反対のシナリオについて考えるならば、保守的な力の代わりに、あなたはあなたに作用する非保守的な力を持っています。

たとえば、あなたが空中を飛んでいると想像してください（地球上ではV=mghを使うことができます）ので、空気抵抗の力は明らかにあなたに作用してい

さて、まず直線で飛ぶことを考えてみましょう:

ここで、ポテンシャルエネルギーの変化は単純です：

これまでのところ、ここで驚くべきことは何もない。 ここでのキャッチは、空気抵抗が非保守的な力であるため、経路中にいくらかの運動エネルギーが失われ、機械的エネルギーの総変化が単にΔ T+Δ Vではな

したがって、機械的エネルギーの変化は、単に経路の始点と終点だけでは決定できません。 パス自体も考慮する必要があり、これはパス依存と呼ばれます。

ここに私が意味するものがある;同じシナリオを(空気を通って飛んでいる)取り、あなたが何か他のものに旅行する道を変えなさい。 必要に応じて、開始点と終了点を同じに保つことができます:

さて、あなたの道が変わるにつれて、道の間にあなたに作用する空気抵抗も変化します。 この場合、あなたの道はより長いので、空気抵抗の力はより長い期間あなたに作用し、したがってあなたはより多くの運動エネルギーを失います。

これは、経路を変えるにつれて機械的エネルギーの総変化も異なることを意味し、非保守的な力によって行われる作業は直線経路の場合と同様に異

さて、あなたがここで読んだものが好きなら、私の他の記事、特に古典力学に関する記事のいくつかをチェックアウトすることを検討してください。

これらには、例えば、ラグランジアン力学の紹介、ハミルトニアン力学の紹介（凝縮されたバージョンはここで見つけることができます）、およびこれら二つの公式の比較が含まれます。

私はまた、ニュートン力学とラグランジアン力学を比較するかなり包括的な記事を持っています。