Escape velocity

天体力学では、脱出速度または脱出速度は、自由で推進されていない物体が一次体の重力の影響から脱出し、そこから無限の距離に達するのに必要 それは典型的には、大気摩擦を無視して、理想的な速度として述べられています。 “脱出速度”という用語は一般的ですが、方向とは無関係であるため、速度よりも速度としてより正確に記述されています; 脱出速度は一次体の質量とともに増加し、一次体からの距離とともに減少する。 したがって、脱出速度は物体がすでにどれだけ遠くまで移動しているかに依存し、与えられた距離での計算は、新しい加速がなければ、それが移動すると減速するという事実を考慮に入れています—巨大な体の重力のために—しかし、それは決して停止するのがかなり遅くなることはありません。

排気によって加速され続けているロケットは、エンジンから運動エネルギーを加え続けるため、脱出速度に達することなく脱出することができます。 これは、重力の減速に対抗し、その速度を維持するためにロケットに新しい加速を提供するのに十分な推進剤を与えられた任意の速度で脱出を達成

より一般的には、脱出速度は、物体の運動エネルギーとその重力ポテンシャルエネルギーの合計がゼロに等しい速度であり、脱出速度を達成した物体は、表面上でも閉じた軌道上でもない（任意の半径の）速度でもない。 巨大な物体の地面から離れた方向に脱出速度があると、物体は物体から離れて移動し、永遠に減速し、接近するが、決して到達しない、ゼロ速度になります。 脱出の速度が達成されれば、それ以上の衝動の必要性は脱出で続くことができるように応用ではないです。 言い換えれば、脱出速度が与えられた場合、オブジェクトは他のボディから離れて移動し、継続的に減速し、オブジェクトの距離が無限に近づくにつれて漸近的にゼロ速度に近づき、決して戻ってこない。 脱出速度よりも高い速度は、無限の距離で正の速度を保持します。 最小脱出速度は、重力の影響を逃れるために必要な瞬間速度を増加させる摩擦（例えば、大気抗力）がなく、必要な瞬間速度を変化させる将来の加速や無関係な減速（例えば、推力や他の物体の重力から）がないことを前提としていることに注意してください。

質量Mの球対称主体（星や惑星など）の中心からの距離dでの脱出速度は、

v e=2G M d{\displaystyle v_{e}={\sqrt{\frac{2GM}{d}}}}

ここで、Gは万有引力定数（G≥6.67×10−11m3·kg−1·s-2）である。 エスケープ速度は、エスケープオブジェクトの質量とは無関係です。 たとえば、地表からの脱出速度は約11.186km/s（40,270km/h;25,020mph;36,700ft/s）です。

初期速度V{\displaystyle V}が脱出速度v e{\displaystyle v_{e},}よりも大きいとき、物体は双曲線超過速度v∞{\displaystyle v_{\infty},}に漸近的に近づく。式を満たす：

v≤2=v2−V e2。 {\displaystyle{v_{\infty}}.{2}=V^{2}-{v_{e}}.{2}。}

これらの式では、大気摩擦（空気抵抗）は考慮されていません。

脱出速度の存在は、エネルギーの保存と有限の深さのエネルギー場の結果である。 与えられた総エネルギーを持つ物体は、保守的な力（静的重力場など）を受けて動いているため、その物体がその総エネルギーを持つ位置と速度の組み合; そして、これよりも高いポテンシャルエネルギーを持っている場所には全く到達することはできません。 オブジェクトに速度（運動エネルギー）を追加することによって、十分なエネルギーで無限になるまで、到達できる可能な場所を拡張します。

所与の位置における所与の重力ポテンシャルエネルギーに対して、脱出速度は、推進力のない物体が重力から”脱出”することができる（すなわち、重力が Escape velocityは、方向を指定しないため、実際には速度（速度ではありません）です: 進行方向が何であっても、物体は重力場から逃れることができます（その経路が惑星と交差しない場合）。

脱出速度の公式を導出するためのエレガントな方法は、エネルギー保存の原則を使用することです（別の方法については、仕事に基づいて、以下を参照）。 簡単にするために、特に明記しない限り、物体は一様な球状惑星の重力場から離れて移動することによって脱出し、移動物体に作用する唯一の重要な力は惑星の重力であると仮定する。 質量mの宇宙船が最初は惑星の質量中心から距離rにあり、その質量はMであり、その初期速度は脱出速度v e{\displaystyle v_{e}}に等しいと想像してください。 その最終状態では、それは惑星から無限の距離になり、その速度は無視できるほど小さくなります。 運動エネルギー K-重力ポテンシャルエネルギー Ugの種類のエネルギーをそのまま無視し、ドラッグの雰囲気）により、省エネルギー,

(K+U g)初期=(K+U g)最終{\displaystyle(K+√{g})_{\text{初期}}=(K+√{g})_{\text{最終}}}

で設定できまKfinal=0での最終速度を任意に小さく、Ugfinal=0での最終距離が無限大の場 い

⇒1 2m v e2+G M r=0+0⇒v e=2G M r=2μ r{\displaystyle v_{e}={\sqrt{\frac{2GM}{r}}}={\sqrt{\frac{2\mu}{r}}}\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}\frac{1}{2}}mv_{e}+{2}+{\frac{-GMm}{r}}=0+0\\Rightarrow{}&v_{e}={\sqrt{\frac{2GM}{r}}}={\sqrt{\frac{2\mu}{r}}}\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}\frac{1}{2}}mv_{e}mv{2}+{\frac{-GMm}{r}}=0+0\\Rightarrow{}&v_{e}={\sqrt{\frac{2\mu}{r}}}\end{aligned}}}rightarrow V_{E}={\sqrt{\frac{2gm}{r}}}={\sqrt{\frac{2\MU}{r}}}\end{aligned}}}

ここで、μは標準重力パラメータです。

同じ結果が相対論的計算によって得られ、その場合、変数rはシュワルツシルト計量の半径座標または縮小された円周を表す。

もう少し正式に定義された、”脱出速度”は、重力ポテンシャル場の初期点から無限大に行き、追加の加速なしに残留速度ゼロで無限大に終わるのに必要な初期速度です。 すべての速度および速度は分野に関して測定される。 さらに、空間内のある点での脱出速度は、無限の距離から静止して開始され、重力によってその点まで引っ張られた場合の物体の速度に等しい。

一般的な使用法では、初期点は惑星または月の表面上にあります。 地球の表面では、脱出速度は約11.2km/sであり、これは音速（マッハ33）の約33倍であり、ライフル弾の銃口速度（最大1.7km/s）の数倍である。 しかし、「宇宙」の高度9,000kmでは、7.1km/sよりわずかに小さい。 この脱出速度は、惑星や月の移動面（下記参照）に相対的ではなく、回転していない基準フレームに相対的であることに注意してください。

脱出速度は脱出オブジェクトの質量とは無関係です。 質量が1kgか1,000kgかは関係ありませんが、異なるのは必要なエネルギー量です。 質量m{\displaystyle m}の物体に対して、地球の重力場から逃れるために必要なエネルギーは、物体の質量の関数GMm/rである（rは地球の半径、名目上は6,371km（3,959mi）、Gは重力定数、Mは地球の質量、M=5.9736×1024kg）。 関連する量は、本質的に運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの合計を質量で割ったものである特定の軌道エネルギーである。 特定の軌道エネルギーがゼロ以上のとき、物体は脱出速度に達しました。

シナリオ

体の表面から

脱出速度v e{\displaystyle v_{e}}体の表面で特に有用な別の式は次のとおりです。

v e=2g r{\displaystyle v_{e}={\sqrt{2gr}}{\displaystyle v_{e}={\sqrt{2gr}}{\displaystyle v_{e}={\sqrt{2gr}}{\displaystyle v_{e}={\sqrt{2gr}}{\sqrt{2gr}}{\sqrt{2gr}}{\sqrt{2gr}}{\sqrt{2gr}}{\sqrt{2gr}}{\sqrt{2gr}}{\sqrt{2gr}}{\sqrt{2gr}}\,}}}

ここで、rは物体の中心と脱出速度が計算されている点との間の距離であり、gはその距離における重力加速度（すなわち、表面重力）である。

球対称な質量分布を持つ物体に対して、表面からの脱出速度v e{\displaystyle v_{e}}は一定の密度を仮定した半径に比例し、平均密度ρの平方根に比例する。

v e=K r⁡{\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt{\rho}}}

ここで、k=8 3π G⁡2.364×10−5m1.5kg−0.5s−1{\textstyle K={\sqrt{{\frac{8}{3}}\pi G}}\約2.364\倍10^{-5}{\テキスト{m}}^{1.5}{\テキスト{kg}}^{-0。5}{\text{s}}^{-1}}

この脱出速度は、現在説明しているように、惑星や月の移動面に相対的ではなく、回転していない参照フレームに相対的であることに注意してください。

回転体から

回転体の表面に対する脱出速度は、脱出体が移動する方向に依存します。 例えば、地球の自転速度は赤道で465m/sであるため、地球の赤道から東に向かって接線方向に発射されるロケットは、発射時点で移動面に対して約10.735km/sの初速を必要とするのに対し、地球の赤道から西に向かって接線方向に発射されるロケットは、その移動面に対して約11.665km/sの初速を必要とする。 表面速度は地理緯度の余弦とともに減少するため、宇宙発射施設はしばしば赤道の近くに可能な限り配置されます。 アメリカのケープカナベラル（緯度28°28’N）とフランスのギアナ宇宙センター（緯度5°14’N）。

実用的な考慮事項

ほとんどの状況では、加速が暗示されているため、また大気が存在する場合、極超音速速度（地球上では11.2km/s、または40,320km/h）が空力加熱のためにほとんどの物体が燃焼したり、大気抗力によって引き裂かれたりするため、ほぼ瞬時に脱出速度を達成することは現実的ではない。 実際の脱出軌道では、宇宙船はその高度に適した脱出速度に達するまで大気から着実に加速します（これは表面よりも小さくなります）。 多くの場合、宇宙船は最初に駐車軌道（例えば、160-2,000kmの低地球軌道）に配置され、その後、その高度での脱出速度まで加速され、わずかに低くなる（約11.0km/sの低地球軌道200km）。 しかし、宇宙船はすでにかなりの軌道速度を持っているので、速度の必要な追加の変化ははるかに少ない（低軌道速度では約7.8km/s、または28,080km/h）。

軌道体から

与えられた高さでの脱出速度は2{\displaystyle{\sqrt{2}}} は、同じ高さの円軌道の速度の倍です（これを円軌道の速度方程式と比較してください）。 これは、そのような軌道上の物体の無限遠に関するポテンシャルエネルギーがその運動エネルギーの2倍のマイナスであり、ポテンシャルと運動エネルギーの和を逃れるためには少なくともゼロである必要があるという事実に対応する。 円軌道に対応する速度は第一宇宙速度と呼ばれることがあるが、この文脈では脱出速度は第二宇宙速度と呼ばれる。

脱出軌道に加速したい楕円軌道の物体の場合、必要な速度は変化し、物体が中央の物体に最も近いときは周旋運動で最大になります。 しかし、体の軌道速度もこの時点で最高になり、必要な速度の変化はOberth効果によって説明されるように、その最低になります。

重心脱出速度

技術的には、脱出速度は、他の中心体に対する相対的なもの、または体の系の質量中心または重心に対する相対的なものとして測定 したがって、2つの天体のシステムでは、脱出速度という用語はあいまいである可能性がありますが、通常は、より質量の少ない天体の重心脱出速度を意味することが意図されています。 重力場では、脱出速度は、場を生成する質量の重心に対するゼロ質量試験粒子の脱出速度を指す。 宇宙船を含むほとんどの状況では、その違いはごくわずかです。 サターンVロケットに等しい質量の場合、発射台に対する逃避速度は、相互質量中心に対する逃避速度よりも253.5am/s（年間8ナノメートル）速い。

低速度軌道の高さ

物体と物体との間の重力以外のすべての要因を無視して、脱出速度v e{\displaystyle v_{e}}半径R{\displaystyle R}を有する球面物体の表面から速度v{\displaystyle v}で垂直に投影された物体は、物体と物体との間の重力以外のすべての要因を無視して、半径R{\displaystyle R}を達成する。最大高さh{\displaystyle h}式

を満たすv=v e h r+h,{\displaystyle v=v_{e}{\sqrt{\frac{h}{r+h}}{\sqrt{\frac{h}{r+h}}{\sqrt{\frac{h}{r+h}}{\sqrt{\frac{h}{r+h}}{\sqrt{\frac{h}{}}}\ ,}

これは, hを解くと、

h=x2 1−x2R,{\displaystyle h={\frac{x^{2}}{1-x^{2}}}\R\,}

ここで、x=v/v e{\textstyle x=v/v_{e}}は、元の速度v{\displaystyle v}と脱出速度v eの比である。 {\displaystyle v_{e}.}

脱出の速度とは違って、方向は（縦に）最高の高さを達成して重要である。

軌道

物体が正確に脱出速度に達しているが、惑星からすぐに向けられていない場合、それは湾曲した経路または軌道に従います。 この軌道は閉じた形状を形成しないが、軌道と呼ぶことができる。 重力がシステム内の唯一の重要な力であると仮定すると、軌道上の任意の点でのこの物体の速度は、エネルギーの保存のためにその点での脱出速度に等しくなり、その総エネルギーは常に0でなければならず、これは常に脱出速度を持っていることを意味する;上記の導出を参照してください。 軌道の形状は、その焦点が惑星の質量中心に位置する放物線になります。 実際の脱出には、物体が衝突する原因となるため、惑星またはその大気と交差しない軌道を持つコースが必要です。 ソースから離れて移動するとき、このパスはエスケープ軌道と呼ばれます。 脱出軌道はC3=0軌道として知られている。 C3は特性エネルギー=−GM/2aであり、ここでaは放物線軌道に対して無限である半長軸である。

身体の速度が脱出速度よりも大きい場合、その経路は双曲線軌道を形成し、身体の余分なエネルギーに相当する過剰な双曲線速度を有する。 脱出速度まで加速するために必要な比較的小さな余分なデルタvは、無限大で比較的大きな速度になる可能性があります。 いくつかの軌道操縦は、この事実を利用しています。 たとえば、脱出速度が11.2km/sの場所では、0.4km/sを加算すると、3.02km/sの双曲線超過速度が得られます。

v≤=V2−v e2=(11.6km/s)2−(11.2km/s)2≤3。02km/s。 {\displaystyle v_{\infty}={\sqrt{V^{2}-{v_{e}}}}}}}}}}}}}}}}}}^{2}}}={\sqrt{(11.6{\text{km/s}})^{2}-(11.2{\テキスト{km/s}})^{2}}}\約3.02{\text{km/s}}。}

円軌道（または楕円軌道の周面）にある物体が移動方向に沿って加速して脱出速度に達すると、加速点は脱出軌道の周面を形成します。 最終的な進行方向は、加速度の点での方向に対して90度になります。 体が脱出速度を超えて加速すると、最終的な進行方向はより小さな角度になり、現在取っている双曲線軌道の漸近線のいずれかによって示されます。 これは、特定の方向に逃げることを意図している場合、加速のタイミングが重要であることを意味します。

周速度がvの場合、軌道の離心率は次のように与えられます:

e=2(v/v e)2−1{\displaystyle e=2(v/v_{e}){\displaystyle e=2(v/v_{e}){\displaystyle e=2(v/v_{e})}})^{2}-1}

これは、楕円軌道、放物線軌道、および双曲線軌道に有効です。 軌道が双曲線または放物線であれば、円周方向から漸近的に角度θ{\displaystyle\theta}に近づき、

sin θ=1/eとなる。 {\displaystyle\sin\theta=1/e.}

速度は漸近的に

v2−v e2に近づく。 {\displaystyle{\sqrt{v^{2}-v_{e}.{2}}}。}

脱出速度のリスト

この表では、左側の半分は、惑星または月の中心（つまり、その移動面に相対的ではない）に対して、可視表面（例えば木星のようにガス状 右半分では、Veは中心体（例えば太陽）に対する速度を指し、Vteはより小さな体（惑星または月）に対する速度（より小さな体の可視表面で）である。

位置	から	Ve(km/s)に対する相対位置	Ve(km/s))		位置	から	Ve(km/s)	システムエスケープ、Vte(km/s)への相対位置	システムエスケープ、Vte(km/s)への相対位置	システムエスケープ、Vte(km/s))
太陽の上で	太陽の重力	617.5
水星	水星の重力について	4.25	水星	では、太陽の重力	~ 67.7	~ 20.3
金星	金星の重力	10.36	金星で	太陽の重力	49.5	17.8
地球上	地球の重力	11.186	地球	太陽の重力で	42.1	16.6
月に	月の重力	2.38	月に	地球の重力	1.4	2.42
火星	火星の重力	5.03	火星	太陽の重力で	34.1	11.2
セレスの重力について	セレスの重力について	0.51	セレス	太陽の重力で	25.3	7.4
木星	木星の重力について	60.20	木星	では、太陽の重力	18.5	60.4
この上	イオの重力	2.558	この時	木星の重力	24.5	7.6
エウロパ	エウロパの重力	2.025	エウロパ	木星の重力	19.4	6.0
ガニメデについて	ガニメデの重力	2.741	ガニメデ	木星重力	15.4	5.3
カリスト	カリストの重力について	2.440	カリスト	木星重力	11.6	4.2
電話で	土星の重力	36.09	電話で	太陽の重力	13。6	36.3
タイタン	タイタンの重力	2.639	Atタイタン	土星の重力	7.8	3.5
天王星	天王星の重力について	21.38	天王星	太陽の重力で	9.6	21.5
海王星	海王星の重力について	23.56	海王星	太陽の重力で	7.7	23.7
トリトン	トリトンの重力	1.455	トリトン	海王星の重力で	6.2	2.33
冥王星	冥王星の重力について	1.23	冥王星	太陽の重力で	~ 6.6	~ 2.3
太陽系の銀河半径	天の川銀河の重力で	492-594
イベント地平線	ブラックホールの重力	299,792。458(光速)

最後の2つの列は、軌道が正確に円形ではないため（特に水星と冥王星）、軌道上の脱出速度に達する場所に正確に依存します。

微積分を用いて脱出速度を導出する

Gを重力定数とし、Mを地球（または他の重力体）の質量とし、mを脱出体または発射体の質量とする。 重力の中心からの距離rでは、体は引力

F=G M m r2を感じる。 {\displaystyle F=G{\frac{Mm}{r^{2}}}。 F F=G\frac{Mm}{r^2}.となります。

この力に対して体を小さな距離drで動かすために必要な作業は、

d W=F d r=G M m r2d rで与えられます。 dw=F\,dr=G{\frac{Mm}{r^{2}}}\,dr.}

重力体の表面r0から無限大に体を移動させるために必要な総作業量は、

W=≤r0≤G M m r2d r=G M m r0である。=m g r0. {\displaystyle W=\int_{r_{0}}G{\infty}G{\frac{Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac{Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}。}

この作業を無限大に到達させるためには、出発時の身体の最小運動エネルギーがこの作業と一致しなければならないので、脱出速度v0は

1 2m v0 2=G M m r0{\displaystyle{\frac{1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac{Mm}{r_{0}}}を満たす。{0}}},}

これは

v0=2G M r0=2g r0になります。 {\displaystyle v_{0}={\sqrt{\frac{2GM}{r_{0}}}}={\sqrt{2gr_{0}}}。 V v_0=\sqrt\frac{2GM}{r_0}=\sqrt{2gr_0}。

も参照

注意事項

• 脱出速度計算機
• ウェブベースの数値脱出速度計算機