Konservative vs Ikke-Konservative Krefter: De Viktigste Forskjellene

Written by on in Articles

dette innlegget kan inneholde tilknyttede lenker til bøker eller andre ressurser jeg personlig anbefaler.

I Newtonsk fysikk er det generelt to typer krefter; konservative krefter og ikke-konservative krefter. Denne klassifiseringen mellom de to typer krefter er laget på grunn av noen få viktige forskjeller mellom dem.

kort sagt, konservative krefter er avledet fra et potensial, mens ikke-konservative krefter ikke er. Konservative krefter er også sti uavhengige og sparer mekanisk energi (dermed navnet konservativ kraft), mens ikke-konservative krefter er sti avhengige og ikke sparer mekanisk energi.

her er en liten sammenligningstabell av de to kreftene:

Konservative Krefter Ikke-Konservative Krefter
Avledet fra et potensial ikke avledet fra noen bestemt mengde
Spar mekanisk energi ikke spar mekanisk energi
Sti uavhengig Sti avhengig
Eksempler: gravitasjonskrefter, magnetiske krefter Eksempler: friksjon, luftmotstand, viskøse krefter

i de følgende avsnittene vil hver av disse forskjellene bli forklart mye mer detaljert.

Derivasjon gjennom en potensiell energi

en av de viktigste forskjellene mellom konservative og ikke-konservative krefter er måten de er definert, spesielt deres matematiske betydninger.

en konservativ kraft kan alltid være forbundet med en potensiell energi, selvfølgelig er den spesifikke formen for potensiell energi alltid avhengig av situasjonen.

spesielt er konservative krefter definert som negative gradienter av et potensial. Gradienten er vanligvis skrevet som en slags opp ned delta-symbol og potensialet vi vil betegne Med V (x), siden det avhenger av posisjon:

F= - \nabla V \ left (x \ right)

selv om dette kan se litt avansert ut, betyr en gradient ganske enkelt det delvise derivatet med hensyn til hver av komponentene i den aktuelle mengden.

i vårt tilfelle er mengden noen potensiell energifunksjon og potensielle energier er generelt avhengig av posisjon. Så kort sagt er konservative krefter bare negative derivater av et potensial med hensyn til posisjon:

F= - \frac{d}{dx}V\left (x \ right)

Intuitivt kan du se hvordan denne definisjonen gir mening. Tenk på en situasjon der du er i en posisjon der du har en viss potensiell energi.

for Eksempel kan Dette være I Jordens gravitasjonsfelt som flyter et sted i rommet over Jorden. Tenk nå på hva som skjer Når Jordens gravitasjonskraft virker på deg.

deres posisjon kommer åpenbart til å forandre seg, og det gjør også deres potensielle energi etter hvert som dere blir trukket nærmere Jorden. Dette betyr at kraften som virker på deg, er koblet til endringen av posisjon og potensiell energi, noe som gir perfekt mening.

Ekvivalent kan potensiell energi defineres ved ganske enkelt å legge opp alle de konservative kreftene som virker på et objekt på hvert punkt under en bestemt bane.

Matematisk betyr Dette at den totale potensielle energien er integralet (dvs. en kontinuerlig sum eller en sum av virkelig veldig små trinn) av den konservative kraften i spørsmålet med hensyn til banen.

Dette er også lett å finne ut av definisjonen av en konservativ kraft ved å bare bevege seg rundt vilkårene og integrere begge sider:

F= - \frac{d}{dx}V \ venstre (x \ høyre)
Fdx= - dv \ venstre (x \ høyre) \ \ \ \ \ parallell \ int_{ }^{ }
-\int_{ }^{ }dV \ venstre (x \ høyre)= \ int_{ }^{ }Fdx
V \ venstre (x \ høyre)=- \ int_{ }^{ }Fdx

disse definisjonene kan enkelt brukes til å finne konservative krefter og potensielle energifunksjoner som samsvarer med hverandre.

La oss bruke eksempelet på gravitasjonsfeltet igjen. Hvis vi kjenner kraften eller den potensielle energien, kan vi utlede den tilsvarende kraften eller potensialet for det tilfellet.

la oss si at vi vet at gravitasjonspotensialenergien skal være (erstatte x med r, siden r er posisjonen i dette tilfellet):

V \ left (r\right)= - \frac{GmM}{r}

gravitasjonskraften er da bare det negative derivatet av this:

F=-\frac{d}{dr}\left(-\frac{GmM}{r}\right)
F=GmM\cdot\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)
F=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)=-\frac{GmM}{r^2}

og omvendt, hvis vi vet at gravitasjonskraften skal være:

F = - \ frac{GmM}{r^2}

da kunne vi finne potensiell energi ved å integrere dette:

V \ left (r \ right)=- \ int_ { } ^ { }- \ frac{GmM}{r^2}dr
V \ venstre (r \ høyre) = GmM \ cdot \ int_ { } ^ { }\frac{1}{r^2}dr
V\left(r\right)=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=-\frac{GmM}{r}

nå fungerer disse ligningene fordi gravitasjonskrefter er konservative krefter, noe som betyr at de kan knyttes til en potensiell energi.

på den annen side, vurder noe som den viskøse dragkraften, som er en kraft som virker på et objekt som beveger seg gjennom en væske av noen slag. Dragkraften er faktisk en hastighetsavhengig kraft, noe som betyr at det er større kraft på et objekt som beveger seg med høyere hastighet.

Dette er selvfølgelig fornuftig hvis du tenker på et objekt som beveger seg gjennom en væske. Den matematiske definisjonen for dragkraften er som følger:

F = \frac{1}{2}CA \ rho v^2

Her er c dragkoeffisienten som avhenger av væsken i spørsmålet, A Er overflatearealet av væsken flyttet gjennom, ρ er tettheten av væsken og v er objektets hastighet.

årsaken til at denne dragkraften er bemerkelsesverdig, er imidlertid fordi den ikke har noen spesiell potensiell energi forbundet med den. Dermed er det ikke en konservativ kraft.

den samme ideen gjelder også for ting som friksjon og luftmotstand også (det er også verdt å merke seg at dragkraften og luftmotstanden bare er forskjellige former for friksjon).

alle friksjonskrefter er ikke-konservative krefter, fordi de ikke er avledet fra et potensial. Til syvende og sist kommer denne definisjonen fra hvordan disse kreftene sparer energi.

denne ideen har særlig betydning I Lagrangian mekanikk, som er avhengig av begrepet konservative krefter. Jeg går nærmere inn på dette konseptet i denne artikkelen.

Bevaring av mekanisk energi

en annen viktig egenskap for konservative krefter er at de sparer den mekaniske energien til et system eller en gjenstand. Mekanisk energi betyr ganske enkelt summen av kinetisk og potensiell energi.

Ikke-konservative krefter, derimot, gjør det ikke. Snarere sprer de energi ut av systemet (snu energi til varme/andre former for energi som vanligvis anses irrelevante i et problem, noe som betyr at energi er «tapt»).

faktisk er denne egenskapen for energibesparelse hvor navnene på konservative og ikke-konservative krefter kommer fra.

Dette er fornuftig hvis du tenker på, for eksempel gravitasjonskraften igjen. Et objekt som faller i rommet på grunn av tyngdekraften, der det ikke er noen luftmotstand eller noe annet, vil ikke miste energi når den reiser i tomt rom.

men så snart objektet faller inn i for eksempel atmosfæren på en planet, vil det begynne å oppleve luftmotstandskrefter og miste energi og derfor også avta.

denne bevaringen av mekanisk energi fører også til en viktig egenskap for konservative krefter kalt path independence.

det kan også være verdt å merke seg at energi egentlig ikke er «tapt» på noen måte hvis du står for alle mulige variabler i et system. Energi blir ganske enkelt bare til andre former, for eksempel kinetisk energi som blir til varmeenergi.

for eksempel, i tilfelle et objekt faller inn i atmosfæren på en planet, kan det se ut til at noe energi går tapt i prosessen når objektet bremser, men det er bare hvis du regner med bare selve objektet.

i virkeligheten, hvis du virkelig skulle redegjøre for hele systemet, som også ville inkludere alle luftmolekylene, så ville ingen energi gå tapt.

energien som syntes å være «tapt», ville faktisk bare bli den kinetiske energien til luftmolekylene, som i større skala ville virke som varme.

Sti avhengighet og uavhengighet

En faktor hvor konservative krefter skiller seg fra ikke-konservative, er banen et objekt tar og hvordan kraften påvirkes av det valget av banen.

det jeg mener med dette er at i tilfelle av konservative krefter, banen et objekt tar spiller ingen rolle i form av total mekanisk energi.

dette konseptet kan best forklares gjennom et eksempel. Tenk på dette scenariet; du er i rommet over Jorden på avstand r1 Fra Sentrum Av Jorden.

Når jordens gravitasjonskraft begynner å trekke deg mot Jorden, følger du naturlig en rett vei, og din gravitasjonspotensielle energi er forskjellig på et annet punkt av banen når du kommer nærmere Jorden (nå på avstand r2 Fra Jordens sentrum). Her er hva jeg mener:

her er endringen i gravitasjonspotensiell energi ganske enkelt:

\Delta V=\frac{-GmM}{\Delta r}=\frac{-GmM}{R_1-r_2}

fordi tyngdekraften er fundamentalt en konservativ kraft hvis luftmotstand eller andre krefter ikke tas i betraktning, går ingen total mekanisk energi tapt under denne banen. Så, den totale endringen i mekanisk energi er ganske enkelt (Δ er hva endringen i kinetisk energi er):

\Delta E= \ Delta T + \ Delta V

nå, forestill deg at tyngdekraften ikke trakk deg i en rett linje. Hva om det trakk deg i en merkelig buet sti, men du endte fortsatt i samme sluttpunkt? Her er hva som ville skje:

Det er klart å se at hvis startpunktet og sluttpunktet er det samme, betyr ikke banen du tar noe. Den totale endringen i den mekaniske energien er fortsatt den samme. Denne ideen kalles sti uavhengighet, og konservative krefter er sti uavhengige krefter.

Sti uavhengighet er et direkte resultat av konservative krefter bevare den totale mekanisk energi.

Tenk på det. Hvis du ikke «mister» noen energi i løpet av en bestemt bane, kan arbeidet som utføres av den konservative kraften (endring i mekanisk energi på grunn av den kraften) helt bestemmes av bare start-og sluttpunktene på den banen. Hva som skjer mellom start – og sluttpunktet spiller ingen rolle så lenge ingen energi går tapt under banen.

hvis du nå skulle tenke på det motsatte scenariet, der i stedet for en konservativ kraft, har du en ikke-konservativ kraft som virker på deg.

tenk deg for eksempel at du flyr gjennom luften (på Jorden, så vi kan bruke V=mgh) og så virker luftmotstandskraften åpenbart på deg.

nå, først tenke på å fly i en rett linje:

her er endringen i potensiell energi ganske enkelt:

\ Delta V=mg\Delta h = mg \ venstre(h_1-h_2 \ høyre)

Så langt ikke noe overraskende her. Fangsten her er at fordi luftmotstanden er en ikke-konservativ kraft, går noe kinetisk energi tapt under banen, noe som betyr at den totale endringen i mekanisk energi ikke bare er Δ + Δ.

derfor kan endringen i mekanisk energi ikke bestemmes av bare start – og sluttpunktene på banen. Du må også gjøre rede for banen selv, og dette kalles sti avhengighet.

her er hva jeg mener; ta det samme scenariet (du flyr gjennom luften) og endre banen du reiser til noe annet. Du kan holde start – og sluttpunktene det samme hvis du ønsker det:

Nå, som banen endres, endres også luftmotstanden som virker på deg under banen. I dette tilfellet er banen din lengre, så luftmotstandskraften virker på deg i lengre tid, og derfor mister du mer kinetisk energi.

dette betyr at den totale endringen i mekanisk energi også er forskjellig når vi endrer banen, noe som betyr at arbeidet som utføres av den ikke-konservative kraften, er forskjellig som i tilfelle av den rette linjebanen.

nå, hvis du likte det du leser her, så vurder å sjekke ut noen av mine andre artikler, spesielt de på klassisk mekanikk.

disse inkluderer for eksempel en introduksjon til Lagrangian mekanikk, en introduksjon Til Hamiltonian mekanikk (en kondensert versjon finnes her) samt en sammenligning av disse to formuleringene.

jeg har også en ganske omfattende artikkel som sammenligner Newtonsk og Lagrangisk mekanikk, som du finner her.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert.