Rømningshastighet

i himmelmekanikk er flukthastighet den minste hastigheten som trengs for at et fritt, ikke-drevet objekt skal unnslippe fra gravitasjonell påvirkning av et primærlegeme, og dermed nå en uendelig avstand fra den. Det er vanligvis oppgitt som en ideell hastighet, ignorerer atmosfærisk friksjon. Selv om begrepet «flukthastighet» er vanlig, er det mer nøyaktig beskrevet som en hastighet enn en hastighet fordi den er uavhengig av retning; flukthastigheten øker med massen av primærlegemet og avtar med avstanden fra primærlegemet. Flukthastigheten avhenger dermed av hvor langt objektet allerede har reist, og beregningen på en gitt avstand tar hensyn til det faktum at uten ny akselerasjon vil det avta når det reiser—på grunn av den massive kroppens tyngdekraft—men det vil aldri helt sakte til et stopp.

en rakett, kontinuerlig akselerert av eksos, kan unnslippe uten å nå flukthastighet, siden den fortsetter å legge til kinetisk energi fra sine motorer. Det kan oppnå flukt ved enhver hastighet, gitt tilstrekkelig drivstoff til å gi ny akselerasjon til raketten for å motvirke gravitasjonens retardasjon og dermed opprettholde hastigheten.

mer generelt er flukthastighet hastigheten der summen av et objekts kinetiske energi og dens gravitasjonspotensielle energi er lik null; et objekt som har oppnådd flukthastighet er verken på overflaten eller i en lukket bane (av noen radius). Med flukthastighet i en retning som peker bort fra bakken av en massiv kropp, vil objektet bevege seg bort fra kroppen, bremse for alltid og nærmer seg, men aldri nå, null hastighet. Når rømningshastigheten er oppnådd, må det ikke brukes ytterligere impuls for at den skal fortsette i flukten. Med andre ord, hvis gitt rømningshastighet, vil objektet bevege seg bort fra det andre legemet, kontinuerlig bremse, og vil asymptotisk nærme seg nullhastighet når objektets avstand nærmer seg uendelig, aldri å komme tilbake. Hastigheter høyere enn rømningshastighet beholder en positiv hastighet på uendelig avstand. Vær oppmerksom på at minste flukthastighet antar at det ikke er friksjon (f. eks. atmosfærisk dra), som vil øke den nødvendige øyeblikkelige hastigheten for å unnslippe gravitasjonspåvirkningen, og at det ikke vil være noen fremtidig akselerasjon eller ekstern retardasjon (for eksempel fra trykk eller tyngdekraften til andre legemer), noe som vil endre den nødvendige øyeblikkelige hastigheten.

Flukthastighet i en avstand d fra sentrum av et sfærisk symmetrisk primærlegeme (som en stjerne eller en planet) med masse m er gitt ved formelen

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2gm}{d}}}

Hvor G er den universelle gravitasjonskonstanten (G ≈ 6.67×10-11 m3·kg−1·s−2). Flukthastigheten er uavhengig av massen av det rømmende objektet. For eksempel er flukthastigheten fra Jordens overflate ca 11.186 km/s (40,270 km / t; 25,020 mph; 36,700 ft / s).

når det gis en innledende hastighet V {\displaystyle V} større enn flukthastigheten v e , {\displaystyle v_{e},} vil objektet asymptotisk nærme seg den hyperbolske overskuddshastigheten v ∞ , {\displaystyle v_{\infty },} tilfredsstiller ligningen:

v ∞ 2 = V 2 − V E 2 . {\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=v^{2}-{v_{e}}^{2}.}

i disse ligningene er ikke atmosfærisk friksjon (luftdrag) tatt i betraktning.

Oversikt

Luna 1, lansert i 1959, var det første menneskeskapte objektet for å oppnå flukthastighet Fra Jorden(se nedenfor tabell).

eksistensen av flukthastighet er en konsekvens av bevaring av energi og et energifelt med endelig dybde. For et objekt med en gitt total energi, som beveger seg under konservative krefter (for eksempel et statisk tyngdefelt), er det bare mulig for objektet å nå kombinasjoner av steder og hastigheter som har den totale energien; og steder som har en høyere potensiell energi enn dette, kan ikke nås i det hele tatt. Ved å legge til hastighet (kinetisk energi) til objektet utvider den de mulige stedene som kan nås, til de med nok energi blir uendelige.

for en gitt gravitasjonspotensiell energi i en gitt posisjon er flukthastigheten den minste hastigheten et objekt uten fremdrift trenger for å kunne «unnslippe» fra tyngdekraften (dvs.slik at tyngdekraften aldri klarer å trekke den tilbake). Flukthastighet er faktisk en hastighet (ikke en hastighet) fordi den ikke angir en retning: uansett hvilken kjøreretning er, kan objektet unnslippe gravitasjonsfeltet (forutsatt at banen ikke krysser planeten).

en elegant måte å utlede formelen for flukthastighet på er å bruke prinsippet om bevaring av energi (for en annen måte, basert på arbeid, se nedenfor). For enkelhets skyld, med mindre annet er angitt, antar vi at et objekt vil unnslippe gravitasjonsfeltet til en jevn sfærisk planet ved å bevege seg bort fra den, og at den eneste signifikante kraften som virker på det bevegelige objektet, er planetens tyngdekraft. Tenk deg at et romskip med masse m er i utgangspunktet i en avstand r fra sentrum av massen av planeten, hvis masse Er M, og dens innledende hastighet er lik dens flukthastighet, v e {\displaystyle v_{e}} . I sin endelige tilstand vil det være en uendelig avstand fra planeten, og hastigheten vil være ubetydelig liten. Kinetisk energi K Og gravitasjonspotensiell energi Ug er de eneste typene energi Som vi vil håndtere (vi vil ignorere atmosfærens dra), så ved bevaring av energi,

( K + U g ) initial = ( K + U g ) endelig {\displaystyle (K+u_{g})_{\text{initial}}=(K+u_{g})_{\text{final}}}

vi kan sette kfinal = 0 Fordi slutthastigheten Er Vilkårlig Liten, og ugfinal = 0 Fordi den endelige avstanden er uendelig, så

⇒ 1 2 m v e 2 + − g m m r = 0 + 0 ⇒ V e = 2 g m r = 2 μ r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{R}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2gm}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}\end{aligned}}

hvor μ er standard gravitasjonsparameter.

det samme resultatet oppnås ved en relativistisk beregning, i hvilket tilfelle variabelen r representerer Den radiale koordinaten eller reduserte omkretsen Av Schwarzschild-metriske.

Definert litt mer formelt, er» flukthastighet » den innledende hastigheten som kreves for å gå fra et startpunkt i et gravitasjonspotensialfelt til uendelig og ende ved uendelig med en resthastighet på null uten ytterligere akselerasjon. Alle hastigheter og hastigheter måles med hensyn til feltet. I tillegg er flukthastigheten på et punkt i rommet lik hastigheten som et objekt ville ha hvis det startet i ro fra en uendelig avstand og ble trukket av tyngdekraften til det punktet.

i vanlig bruk er startpunktet på overflaten av en planet eller måne. 11,2 km/s, som er omtrent 33 ganger lydens hastighet (Mach 33) og flere ganger nesehastigheten til en riflekule (opptil 1,7 km/s). Men på 9000 km høyde i «space» er det litt mindre enn 7,1 km/s. Merk at denne flukthastigheten er relativt til en ikke-roterende referanseramme, ikke i forhold til den bevegelige overflaten av planeten eller månen (se nedenfor).

flukthastigheten er uavhengig av massen til det rømmende objektet. Det spiller ingen rolle om massen er 1 kg eller 1000 kg; hva er forskjellig er mengden energi som kreves. For et objekt med masse m {\displaystyle m} er energien som kreves for å unnslippe jordens gravitasjonsfelt GMm / r, en funksjon av objektets masse (hvor r er jordens radius, nominelt 6,371 kilometer (3,959 mi), g er gravitasjonskonstanten, Og M er jordens masse, m = 5,9736 × 1024 kg). En relatert mengde er den spesifikke orbitale energien som i hovedsak er summen av kinetisk og potensiell energi dividert med massen. Et objekt har nådd flukthastighet når den spesifikke orbitale energien er større enn eller lik null.

Scenarier

fra overflaten av et legeme

et alternativt uttrykk for flukthastigheten v e {\displaystyle v_{e}} spesielt nyttig ved overflaten på legemet er:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}

hvor r er avstanden mellom kroppens midtpunkt og punktet hvor flukthastigheten beregnes, og g er gravitasjonsakselerasjonen på den avstanden (dvs.overflategravitasjonen).

for et legeme med en sfærisk-symmetrisk fordeling av masse, er flukthastigheten v e {\displaystyle v_ {e}} fra overflaten proporsjonal med radiusen forutsatt konstant tetthet, og proporsjonal med kvadratroten av gjennomsnittlig tetthet ρ.

v e = K r ρ {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}

Hvor K = 8 3 π g ≈ 2.364 × 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s − 1 {\textstyle k={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi g}}\ca 2,364\ganger 10^{-5}{\text{ m}}^{1,5}{\text{ kg}}^{-0.5} {\tekst{ s}}^{-1}}

Merk at denne flukthastigheten er i forhold til en ikke-roterende referanseramme, ikke i forhold til den bevegelige overflaten av planeten eller månen, som vi nå forklarer.

fra et roterende legeme

flukthastigheten i forhold til overflaten av et roterende legeme avhenger av hvilken retning det rømmende legeme beveger seg i. For Eksempel, Da jordens rotasjonshastighet er 465 m/s ved ekvator, krever en rakett lansert tangentielt fra Jordens ekvator i øst en innledende hastighet på ca. 10,735 km / s i forhold til den bevegelige overflaten ved lanseringspunktet for å unnslippe, mens en rakett lansert tangentielt fra Jordens ekvator i vest krever en innledende hastighet på ca.11,665 km/s i forhold til den bevegelige overflaten. Overflatehastigheten minker med cosinus av den geografiske breddegraden, så romoppskytingsanlegg er ofte plassert så nær ekvator som mulig, f. eks. Den Amerikanske Cape Canaveral (breddegrad 28°28 ‘N) og fransk Guyana Romsenter (breddegrad 5°14’ N).

Praktiske hensyn

I de fleste situasjoner er det upraktisk å oppnå flukthastighet nesten umiddelbart, på grunn av akselerasjonen underforstått, og også fordi hvis det er en atmosfære, vil de hypersoniske hastighetene involvert (på Jorden en hastighet på 11,2 km/s eller 40 320 km/t) føre til at de fleste gjenstander brenner opp på grunn av aerodynamisk oppvarming eller blir revet fra hverandre av atmosfærisk dra. For en faktisk fluktbane vil et romfartøy akselerere jevnt ut av atmosfæren til det når flukthastigheten som passer for høyden (som vil være mindre enn på overflaten). I mange tilfeller kan romfartøyet først plasseres i en parkeringsbane (f. eks. en lav Jordbane på 160-2000 km) og deretter akselereres til flukthastigheten i den høyden, som vil være litt lavere (ca. 11, 0 km / s ved en lav Jordbane på 200 km). Den nødvendige ekstra hastighetsendringen er imidlertid langt mindre fordi romfartøyet allerede har en betydelig omløpshastighet (i lav jordbanehastighet er ca.7,8 km/s, eller 28 080 km/t).

fra et banelegeme

flukthastigheten i en gitt høyde er 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ganger hastigheten i en sirkulær bane i samme høyde, (sammenlign dette med hastighetsligningen i sirkulær bane). Dette tilsvarer det faktum at potensiell energi med hensyn til uendelig av et objekt i en slik bane er minus to ganger sin kinetiske energi, mens for å unnslippe summen av potensiell og kinetisk energi må være minst null. Hastigheten som tilsvarer den sirkulære bane kalles noen ganger den første kosmiske hastigheten, mens i denne sammenheng er flukthastigheten referert til som den andre kosmiske hastigheten.

for et legeme i en elliptisk bane som ønsker å akselerere til en fluktbane, vil den nødvendige hastigheten variere, og vil være størst ved periapsis når legemet er nærmest det sentrale legemet. Imidlertid vil kroppens banehastighet også være på sitt høyeste på dette punktet, og endringen i hastighet som kreves vil være på sitt laveste, som forklart Av Oberth-effekten.

Barysentrisk flukthastighet

teknisk flukthastighet kan enten måles i forhold til det andre, sentrale legemet eller i forhold til massesenter eller barysenter i legemets system. Således for systemer av to legemer kan begrepet flukthastighet være tvetydig, men det er vanligvis ment å bety den barysentriske flukthastigheten til det mindre massive legemet. I gravitasjonsfelt refererer flukthastighet til flukthastigheten til nullmassetestpartikler i forhold til barycenteret til massene som genererer feltet. I de fleste situasjoner som involverer romfartøy forskjellen er ubetydelig. For en Masse som er lik En Saturn V-rakett, er flukthastigheten i forhold til lanseringsplaten 253,5 am/s (8 nanometer per år) raskere enn flukthastigheten i forhold til det gjensidige massesenteret.

Høyde på baner med lavere hastighet

Ignorerer alle andre faktorer enn gravitasjonskraften mellom legemet og objektet, et objekt projiseres vertikalt ved hastighet v {\displaystyle v} fra overflaten av et sfærisk legeme med flukthastighet v e {\displaystyle v_{e}} og radius r {\displaystyle R} vil oppnå en maksimal høyde h {\displaystyle h} tilfredsstille ligningen

v = v e h r + h , {\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{r+h}}}\ ,}

hvilken, løse for h resultater i

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ r\ ,}

hvor x = v / v e {\textstyle x=v/v_{e}} er forholdet mellom den opprinnelige hastigheten v {\displaystyle v} til flukthastigheten v e . {\displaystyle v_{e}.}

I Motsetning til flukthastighet er retningen (vertikalt opp) viktig for å oppnå maksimal høyde.

Bane

hvis et objekt oppnår nøyaktig flukthastighet, men ikke rettes straks fra planeten, vil den følge en buet bane eller bane. Selv om denne banen ikke danner en lukket form, kan den refereres til som en bane. Forutsatt at tyngdekraften er den eneste signifikante kraften i systemet, vil dette objektets hastighet på et hvilket som helst punkt i banen være lik flukthastigheten på det punktet på grunn av bevaring av energi, må den totale energien alltid være 0, noe som innebærer at den alltid har flukthastighet; se avledningen ovenfor. Formen på banen vil være en parabola hvis fokus ligger i sentrum av massen av planeten. En faktisk flukt krever et kurs med en bane som ikke krysser med planeten eller atmosfæren, siden dette vil føre til at objektet krasjer. Når du beveger deg bort fra kilden, kalles denne banen en fluktbane. Fluktbaner er Kjent Som C3 = 0 baner. C3 er den karakteristiske energien, = −GM/2a, hvor a er halv-hovedaksen, som er uendelig for parabolske baner.

hvis kroppen har en hastighet større enn flukthastigheten, vil banen danne en hyperbolsk bane og den vil ha en overflødig hyperbolsk hastighet, tilsvarende den ekstra energien kroppen har. En relativt liten ekstra delta-v over det som trengs for å akselerere til flukthastigheten, kan resultere i en relativt stor hastighet ved uendelig. Noen orbital manøvrer gjør bruk av dette faktum. For eksempel, på et sted hvor rømningshastighet er 11.2 km/s, gir tillegg av 0.4 km/s en hyperbolsk overskuddshastighet på 3.02 km/s:

v ∞ = V 2 − v e 2 = ( 11.6 km/s ) 2 − ( 11.2 km/s ) 2 ≈ 3.02 km / s . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {v^{2} – {v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11,6 {\tekst{ km / s}})^{2}-(11.2{\tekst{ km / s}})^{2}}}\ca 3,02{\text{ km/s}}.}

hvis en kropp i sirkulær bane (eller ved periapsis av en elliptisk bane) akselererer langs sin kjøreretning for å unnslippe hastighet, vil akselerasjonspunktet danne periapsis av fluktbanen. Den endelige kjøreretningen vil være 90 grader til retningen ved akselerasjonspunktet. Hvis kroppen akselererer til utover flukthastighet, vil den endelige kjøreretningen være i mindre vinkel, og indikert av en av asymptotene til den hyperbolske banen den nå tar. Dette betyr at tidspunktet for akselerasjonen er kritisk hvis hensikten er å unnslippe i en bestemt retning.

hvis hastigheten ved periapsis er v, blir eksentrisiteten til banen gitt av:

e = 2 ( v / v e ) 2 − 1 {\displaystyle e=2 (v / v_{e})^{2}-1}

dette gjelder for elliptiske, parabolske og hyperbolske baner. Hvis banen er hyperbolsk eller parabolisk, vil den asymptotisk nærme seg en vinkel θ {\displaystyle \ theta } fra retningen ved periapsis, med

sin ⁡ θ = 1 / e . {\displaystyle \ sin \ theta =1 / e.}

hastigheten vil asymptotisk nærme seg

v 2-v e 2 . {\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}

liste over flukthastigheter

i denne tabellen gir venstre halvdel flukthastigheten fra den synlige overflaten (som kan være gassformig som Med Jupiter for Eksempel), i forhold til sentrum av planeten eller månen (det vil si ikke i forhold til dens bevegelige overflate). I høyre halvdel refererer Ve til hastigheten i forhold til det sentrale legemet (for eksempel solen), mens Vte er hastigheten (på den synlige overflaten av det mindre legemet) i forhold til det mindre legemet (planet eller månen).

de to siste kolonnene vil avhenge nøyaktig hvor i bane flukthastighet er nådd, da banene ikke er nøyaktig sirkulære (spesielt Merkur og Pluto).

Utlede flukthastighet ved hjelp av kalkulator

La G være gravitasjonskonstanten og la M være massen til jorden (eller andre gravitasjonelle legemer) og m være massen til det rømmende legemet eller prosjektilet. På avstand r fra tyngdepunktet føles kroppen en tiltrekkende kraft

F = G M m r 2 . {\displaystyle F = G {\frac {Mm}{r^{2}}}.}

arbeidet som trengs for å bevege kroppen over en liten avstand dr mot denne kraften er derfor gitt av

D W = F d r = G M m r 2 d r . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

det totale arbeidet som trengs for å flytte kroppen fra overflaten r0 av gravitasjonskroppen til uendelig er da

w = ∫ r 0 ∞ G M m r 2 d r = g m m r 0 = m g r 0 . {\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G {\frac {Mm}{r^{2}}}\, dr=G{\frac {Mm}{r_ {0}}} = mgr_{0}.}

for å gjøre dette arbeidet for å nå uendelig, må kroppens minimale kinetiske energi ved avreise samsvare med dette arbeidet, slik at flukthastigheten v0 tilfredsstiller

1 2 m v 0 2 = G M m r 0 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}

som resulterer i

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r 0 . {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2gm}{r_{0}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}

Se også

Notater

• Escape velocity kalkulator
• Web-basert numerisk escape velocity kalkulator