Conservative vs Non-Conservative Forces: the Key Differences

ten post może zawierać linki partnerskie do książek lub innych zasobów, które osobiście polecam.

w fizyce newtonowskiej istnieją na ogół dwa rodzaje sił; siły konserwatywne i siły niekonserwatywne. Ta klasyfikacja pomiędzy tymi dwoma rodzajami sił jest spowodowana kilkoma kluczowymi różnicami między nimi.

krótko mówiąc, siły konserwatywne wywodzą się z potencjału, podczas gdy siły niekonserwatywne nie. Siły konserwatywne są również niezależne od ścieżki i oszczędzają energię mechaniczną (stąd nazwa Siła konserwatywna), podczas gdy siły niekonserwatywne są zależne od ścieżki i nie oszczędzają energii mechanicznej.

oto mała tabela porównawcza dwóch sił:

w kolejnych sekcjach każda z tych różnic zostanie wyjaśniona bardziej szczegółowo.

Wyprowadzanie poprzez energię potencjalną

jedną z kluczowych różnic pomiędzy siłami konserwatywnymi i niekonserwatywnymi jest sposób ich definiowania, w szczególności ich znaczenie matematyczne.

Siła konserwatywna zawsze może być związana z energią potencjalną, oczywiście specyficzna forma energii potencjalnej zawsze w zależności od sytuacji.

w szczególności siły konserwatywne definiuje się jako ujemne gradienty potencjału. Gradient jest zwykle zapisywany jako odwrócony symbol delta, a potencjał oznaczamy przez V (x), ponieważ zależy od pozycji:

chociaż może to wyglądać na trochę zaawansowane, gradient oznacza po prostu pochodną cząstkową w odniesieniu do każdego ze składników danej ilości.

w naszym przypadku ilość jest pewną funkcją energii potencjalnej, a energie potencjalne są ogólnie zależne od pozycji. Tak więc, krótko mówiąc, siły konserwatywne są po prostu ujemnymi pochodnymi potencjału w odniesieniu do pozycji:

intuicyjnie możesz zobaczyć, jak ta definicja ma sens. Pomyśl o sytuacji, w której jesteś w pewnej pozycji, w której masz pewną ilość energii potencjalnej.

na przykład, może to być pole grawitacyjne Ziemi unoszące się gdzieś w przestrzeni nad ziemią. Pomyślcie teraz, co się dzieje, gdy ziemska Siła grawitacyjna działa na Was.

twoja pozycja oczywiście się zmieni, podobnie jak twoja energia potencjalna, gdy zbliżysz się do ziemi. Oznacza to, że siła działająca na Ciebie jest związana ze zmianą Twojej pozycji i energii potencjalnej, co ma doskonały sens.

równoważnie, energia potencjalna może być zdefiniowana przez po prostu zsumowanie wszystkich konserwatywnych sił działających na obiekt w każdym punkcie podczas określonej ścieżki.

matematycznie oznacza to, że całkowita energia potencjalna jest całką (tj. suma ciągła lub suma naprawdę bardzo małych przyrostów) danej siły zachowawczej w odniesieniu do ścieżki.

z definicji siły Konserwatywnej można to również łatwo wywnioskować po prostu poruszając się po terminach i integrując obie strony:

definicje te można łatwo wykorzystać do znalezienia sił konserwatywnych i funkcji energii potencjalnej, które pasują do siebie.

użyjmy jeszcze raz przykładu pola grawitacyjnego. Jeśli znamy siłę lub energię potencjalną, możemy wyprowadzić odpowiednią siłę lub potencjał dla tego przypadku.

powiedzmy, że znamy grawitacyjną energię potencjalną (zastępując x Przez r, ponieważ r jest pozycją w tym przypadku):

siła grawitacji jest wtedy po prostu ujemną pochodną this:

i odwrotnie, jeśli wiemy, że siła grawitacji jest:

następnie możemy znaleźć energię potencjalną, integrując to:

równania te działają, ponieważ siły grawitacyjne są konserwatywne, co oznacza, że mogą być związane z energią potencjalną.

z drugiej strony, rozważmy coś w rodzaju lepkiej siły oporu, która działa na obiekt poruszający się przez pewien rodzaj cieczy. Siła oporu jest w rzeczywistości siłą zależną od prędkości, co oznacza, że istnieje większa siła na obiekcie poruszającym się z większą prędkością.

to, oczywiście, ma sens, jeśli myślisz o obiekcie, który porusza się przez płyn. Matematyczna definicja siły oporu jest następująca:

tutaj C jest współczynnikiem oporu, który zależy od płynu, o którym mowa, A jest polem powierzchni płynu poruszającego się, ρ jest gęstością płynu, a v jest prędkością obiektu.

jednak powodem, dla którego ta siła oporu jest godna uwagi, jest to, że nie ma ona żadnej konkretnej energii potencjalnej z nią związanej. Nie jest to więc siła konserwatywna.

ten sam pomysł dotyczy również tarcia i oporu powietrza (warto również zauważyć, że siła oporu i opór powietrza to po prostu różne formy tarcia).

wszystkie siły tarcia są siłami niekonwencjonalnymi, ponieważ nie pochodzą z potencjału. Ostatecznie jednak definicja ta pochodzi od tego, jak te siły oszczędzają energię.

idea ta ma szczególne znaczenie w mechanice Lagrangiańskiej, która opiera się na pojęciu sił konserwatywnych. Więcej szczegółów na temat tej koncepcji omówię w tym artykule.

zachowanie energii mechanicznej

inną kluczową cechą sił konserwatywnych jest to, że oszczędzają one energię mechaniczną układu lub obiektu. Energia mechaniczna oznacza po prostu sumę energii kinetycznej i potencjalnej.

z drugiej strony nie Raczej rozpraszają energię z systemu (zamieniając energię w ciepło/Inne formy energii, które są zwykle uważane za nieistotne w problemie, co oznacza, że energia jest „stracona”).

w rzeczywistości ta właściwość oszczędzania energii pochodzi od nazw konserwatywnych i niekonserwatywnych sił.

to ma sens, jeśli pomyślisz na przykład o sile grawitacji. Obiekt spadający w przestrzeni z powodu grawitacji, gdzie nie ma żadnego oporu powietrza ani niczego innego, nie straci żadnej energii podczas podróży w pustej przestrzeni.

jednak, gdy tylko obiekt wpadnie np. w atmosferę planety, zacznie doświadczać sił oporu powietrza i straci energię, a tym samym również spowolni.

to zachowanie energii mechanicznej prowadzi również do istotnej własności sił konserwatywnych zwanej niepodległością ścieżkową.

warto również zauważyć, że energia nie jest tak naprawdę „tracona” w żaden sposób, jeśli uwzględnisz każdą możliwą zmienną w systemie. Energia po prostu zamienia się w inne formy, na przykład energia kinetyczna zamienia się w energię cieplną.

na przykład, w przypadku obiektu wpadającego do atmosfery planety, może się wydawać, że w procesie tym traci się trochę energii, gdy obiekt spowalnia, ale tylko wtedy, gdy uwzględnimy tylko sam obiekt.

w rzeczywistości, gdyby wziąć pod uwagę naprawdę cały system, który obejmowałby również wszystkie cząsteczki powietrza, to żadna energia nie zostałaby utracona.

energia, która wydawała się być” stracona”, zamieniłaby się w energię kinetyczną cząsteczek powietrza, która na większą skalę wydawałaby się być ciepłem.

zależność i niezależność ścieżek

jeszcze jednym czynnikiem, w którym siły konserwatywne różnią się od nie-konserwatywnych, jest ścieżka, którą podąża obiekt i w jaki sposób na siłę wpływa ten wybór ścieżki.

chodzi mi o to, że w przypadku sił konserwatywnych ścieżka, którą podąża obiekt, nie ma znaczenia pod względem całkowitej energii mechanicznej.

to pojęcie najlepiej wyjaśnić na przykładzie. Rozważmy ten scenariusz; jesteś w przestrzeni nad ziemią w odległości r1 od centrum Ziemi.

gdy siła grawitacji Ziemi zaczyna przyciągać cię w kierunku Ziemi, naturalnie podążasz prostą ścieżką, a twoja potencjalna energia grawitacyjna różni się w innym punkcie ścieżki, gdy zbliżasz się do ziemi (teraz w odległości r2 od centrum Ziemi). Oto co mam na myśli:

tutaj zmiana energii potencjalnej grawitacji jest po prostu:

ponieważ grawitacja jest zasadniczo konserwatywną siłą, jeśli opór powietrza lub inne siły nie są brane pod uwagę, Żadna całkowita energia mechaniczna nie jest tracona podczas tej ścieżki. Więc całkowita zmiana energii mechanicznej jest po prostu (ΔT jest tym, czym jest zmiana energii kinetycznej):

wyobraźcie sobie, że grawitacja nie ciągnęła was po linii prostej. Co jeśli wciągnęło cię w jakąś dziwną zakrzywioną ścieżkę, ale i tak wylądowałeś w tym samym punkcie końcowym? Oto co by się stało:

oczywiste jest, że jeśli punkt początkowy i punkt końcowy są takie same, to ścieżka, którą obrałeś, nie ma znaczenia. Całkowita zmiana energii mechanicznej jest nadal taka sama. Ten pomysł nazywa się niezależnością ścieżkową, a siły konserwatywne są siłami niezależnymi ścieżką.

niezależność ścieżek jest bezpośrednim wynikiem konserwatywnych sił oszczędzających całkowitą energię mechaniczną.

pomyśl o tym. Jeśli podczas określonej ścieżki nie” stracisz ” żadnej energii, to praca wykonywana przez konserwatywną siłę (zmiana energii mechanicznej spowodowana tą siłą) może być całkowicie określona przez tylko punkt początkowy i końcowy tej ścieżki. To, co dzieje się między punktem początkowym a końcowym, nie ma znaczenia, o ile podczas ścieżki nie traci się energii.

gdybyś teraz pomyślała o odwrotnym scenariuszu, w którym zamiast Konserwatywnej siły, masz niekonserwatywną siłę działającą na Ciebie.

na przykład wyobraź sobie, że latasz w powietrzu (na Ziemi, więc możemy użyć V=mgh), a więc siła oporu powietrza oczywiście działa na Ciebie.

najpierw pomyśl o lataniu w linii prostej:

tutaj zmiana energii potencjalnej jest po prostu:

jak na razie nic dziwnego. Haczyk polega na tym, że ponieważ opór powietrza jest siłą niekonwencjonalną, pewna energia kinetyczna jest tracona podczas ścieżki, co oznacza, że całkowita zmiana energii mechanicznej nie jest po prostu ΔT + ΔV.

dlatego zmiana energii mechanicznej nie może być określona po prostu przez punkt początkowy i końcowy ścieżki. Musisz również uwzględnić samą ścieżkę, a nazywa się to zależnością ścieżki.

oto, co mam na myśli; weź ten sam scenariusz (lecisz w powietrzu) i zmień ścieżkę podróży na coś innego. Możesz zachować punkt początkowy i końcowy taki sam, jeśli chcesz:

teraz, gdy zmienia się Twoja ścieżka, zmienia się również opór powietrza działający na Ciebie podczas ścieżki. W tym przypadku Twoja ścieżka jest dłuższa, więc siła oporu powietrza działa na ciebie przez dłuższy czas, a tym samym tracisz więcej energii kinetycznej.

oznacza to, że całkowita zmiana energii mechanicznej jest również inna, gdy zmieniamy ścieżkę, co oznacza, że praca wykonywana przez siłę niekonserwatywną jest inna, jak w przypadku ścieżki prostej.

teraz, Jeśli podoba ci się to, co tutaj czytasz, rozważ sprawdzenie niektórych moich innych artykułów, zwłaszcza tych dotyczących mechaniki klasycznej.

obejmują one na przykład wprowadzenie do mechaniki Lagrangiańskiej, wprowadzenie do mechaniki Hamiltońskiej (skróconą wersję można znaleźć tutaj), a także porównanie tych dwóch sformułowań.

mam też dość obszerny artykuł porównujący mechanikę Newtonowską i Lagrangiańską, który można znaleźć tutaj.