Prędkość ucieczki

w mechanice niebieskiej prędkość ucieczki lub prędkość ucieczki jest minimalną prędkością potrzebną swobodnemu, nie napędzanemu obiektowi do ucieczki przed wpływem grawitacyjnym pierwotnego ciała, osiągając w ten sposób nieskończoną odległość od niego. Zwykle określa się ją jako prędkość idealną, ignorując tarcie atmosferyczne. Chociaż termin „prędkość ucieczki” jest powszechny, dokładniej opisuje się go jako prędkość niż prędkość, ponieważ jest niezależny od kierunku; prędkość ucieczki wzrasta wraz z masą ciała pierwotnego i maleje wraz z odległością od ciała pierwotnego. Prędkość ucieczki zależy więc od tego, jak daleko obiekt już się przebył, a jego obliczenie na danej odległości uwzględnia fakt, że bez nowego przyspieszenia będzie on zwalniał podczas podróży—ze względu na grawitację masywnego ciała—ale nigdy nie będzie dość powolny, aby się zatrzymać.

rakieta, stale przyspieszana przez spaliny, może uciec bez osiągnięcia prędkości ucieczki, ponieważ nadal dodaje energię kinetyczną z silników. Może on osiągnąć ucieczkę z dowolną prędkością, mając wystarczającą ilość materiału pędnego, aby zapewnić nowe przyspieszenie rakiecie, aby przeciwdziałać spowolnieniu grawitacji i w ten sposób utrzymać jej prędkość.

ogólnie rzecz biorąc, prędkość ucieczki jest prędkością, z jaką suma energii kinetycznej obiektu i jego potencjalnej energii grawitacyjnej jest równa zeru; obiekt, który osiągnął prędkość ucieczki, nie znajduje się ani na powierzchni, ani na zamkniętej orbicie (o dowolnym promieniu). Z prędkością ucieczki w kierunku skierowanym od ziemi masywnego ciała, obiekt oddali się od ciała, zwalniając na zawsze i zbliżając się, ale nigdy nie osiągając zerowej prędkości. Po osiągnięciu prędkości ucieczki nie ma potrzeby stosowania dalszych impulsów, aby kontynuować ucieczkę. Innymi słowy, jeśli dana jest prędkość ucieczki, obiekt odsunie się od drugiego ciała, stale zwalniając i będzie asymptotycznie zbliżał się do zera, gdy odległość obiektu zbliża się do nieskończoności, nigdy nie wracając. Prędkości wyższe od prędkości ucieczki zachowują dodatnią prędkość na nieskończonej odległości. Należy zauważyć, że minimalna prędkość ucieczki zakłada, że nie występuje tarcie (np. opór atmosferyczny), które zwiększyłoby wymaganą prędkość chwilową do ucieczki przed wpływem grawitacyjnym, oraz że w przyszłości nie będzie żadnego przyspieszenia ani opóźnienia zewnętrznego (na przykład od ciągu lub od grawitacji innych ciał), które zmieniłoby wymaganą prędkość chwilową.

prędkość ucieczki w odległości d od środka sferycznie symetrycznego ciała pierwotnego (takiego jak gwiazda lub planeta) o masie M jest określona wzorem

v e = 2 G M D {\displaystyle v_{e} = {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}

gdzie G jest uniwersalną stałą grawitacyjną (g ≈ 6,67×10-11 m3 * kg-1·s−2). Prędkość ucieczki jest niezależna od masy uciekającego obiektu. Na przykład prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi wynosi około 11,186 km/s (40,270 km/h; 25,020 mph; 36,700 ft/s).

gdy dana jest prędkość początkowa V {\displaystyle V} większa od prędkości ucieczki v E , {\displaystyle v_{e},} obiekt będzie asymptotycznie zbliżał się do nadmiarowej prędkości hiperbolicznej v ∞ , {\displaystyle v_{\infty },} spełniający równanie:

V ∞ 2 = V 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_ {\infty }} ^{2} = V^{2} – {v_{e}}^{2}.}

w tych równaniach tarcie atmosferyczne (opór powietrza) nie jest brane pod uwagę.

Łuna 1, wystrzelona w 1959 roku, była pierwszym stworzonym przez człowieka obiektem, który osiągnął prędkość ucieczki z ziemi (patrz tabela poniżej).

istnienie prędkości ucieczki jest konsekwencją zachowania energii i pola energetycznego o skończonej głębokości. Dla obiektu o określonej energii całkowitej, poruszającego się pod wpływem sił zachowawczych (takich jak statyczne pole grawitacyjne) możliwe jest tylko osiągnięcie kombinacji miejsc i prędkości, które mają tę energię całkowitą; a do miejsc, które mają wyższą energię potencjalną niż ta, nie można w ogóle dotrzeć. Poprzez dodanie prędkości (energii kinetycznej) do obiektu rozszerza możliwe lokalizacje, które można osiągnąć, aż, z wystarczającą ilością energii, staną się nieskończone.

dla danej grawitacyjnej energii potencjalnej w danym położeniu, prędkość ucieczki jest minimalną prędkością jaką obiekt bez napędu musi być w stanie „uciec” od grawitacji (tj. aby grawitacja nigdy nie zdołała jej cofnąć). Prędkość ucieczki jest w rzeczywistości prędkością (nie prędkością), ponieważ nie określa kierunku: bez względu na kierunek podróży, obiekt może uciec z pola grawitacyjnego (pod warunkiem, że jego droga nie przecina planety).

eleganckim sposobem wyprowadzenia wzoru na prędkość ucieczki jest zastosowanie zasady zachowania energii (inny sposób, oparty na pracy, patrz poniżej). Dla uproszczenia, o ile nie zaznaczono inaczej, Zakładamy, że obiekt wydostanie się z pola grawitacyjnego jednolitej kulistej planety, oddalając się od niej i że jedyną znaczącą siłą działającą na poruszający się obiekt jest grawitacja planety. Wyobraźmy sobie, że statek kosmiczny o masie m znajduje się początkowo w odległości r od środka masy planety, którego masa wynosi M, a jego prędkość początkowa jest równa prędkości ucieczki, v E {\displaystyle v_{e}} . W końcowym stanie będzie nieskończoną odległością od planety, a jej prędkość będzie znikoma. Energia kinetyczna K i grawitacyjna energia potencjalna Ug są jedynymi rodzajami energii, z którymi mamy do czynienia (zignorujemy opór atmosfery), więc zachowując energię,

( K + U g ) initial = ( K + U g ) final {\displaystyle (K+u_{g})_{\text{initial}}=(K+u_{g})_{\text{final}}}

możemy ustawić kfinal = 0, ponieważ ostateczna prędkość jest dowolnie mała, a ugfinal = 0, ponieważ ostateczna odległość jest nieskończonością, więc

⇒ 1 2 m v e 2 + − G M M R = 0 + 0 ⇒ v e = 2 G M R = 2 μ r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}}

gdzie μ jest standardowym parametrem grawitacyjnym.

ten sam wynik uzyskuje się przez obliczenie relatywistyczne, w którym to przypadku zmienna r reprezentuje współrzędną radialną lub zredukowany Obwód metryki Schwarzschilda.

zdefiniowana nieco bardziej formalnie, „prędkość ucieczki” jest początkową prędkością wymaganą, aby przejść od początkowego punktu w polu potencjału grawitacyjnego do nieskończoności i zakończyć się w nieskończoności z zerową prędkością szczątkową, bez dodatkowego przyspieszenia. Wszystkie prędkości i prędkości są mierzone w odniesieniu do pola. Dodatkowo, prędkość ucieczki w punkcie przestrzeni jest równa prędkości, jaką miałby obiekt, gdyby zaczynał w spoczynku z nieskończonej odległości i był przyciągany przez grawitację do tego punktu.

w powszechnym użyciu punkt początkowy znajduje się na powierzchni planety lub księżyca. Na powierzchni Ziemi prędkość ucieczki wynosi około 11,2 km/s, co jest około 33-krotną prędkością dźwięku (Mach 33) i kilkukrotną prędkością wylotową pocisku karabinowego (do 1,7 km/s). Jednak na wysokości 9000 km w „kosmosie” jest to nieco mniej niż 7,1 km/s. Należy zauważyć, że prędkość ucieczki jest względna do nieobrotowego układu odniesienia, a nie względem ruchomej powierzchni planety lub księżyca (patrz poniżej).

prędkość ucieczki jest niezależna od masy uciekającego obiektu. Nie ma znaczenia, czy masa wynosi 1 kg, czy 1000 kg; różni się ilością wymaganej energii. Dla obiektu o masie m energia potrzebna do ucieczki z pola grawitacyjnego Ziemi to GMm / r, funkcja masy obiektu (gdzie r to promień Ziemi, nominalnie 6,371 km (3,959 mi), G to stała grawitacyjna, A M to masa Ziemi, m = 5,9736 × 1024 kg). Powiązana Ilość to właściwa energia orbitalna, która jest zasadniczo sumą energii kinetycznej i potencjalnej podzielonej przez masę. Obiekt osiągnął prędkość ucieczki, gdy właściwa energia orbitalna jest większa lub równa zeru.

scenariusze

z powierzchni ciała

alternatywnym wyrażeniem prędkości ucieczki v E {\displaystyle v_{e}} szczególnie użytecznym na powierzchni ciała jest:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}

gdzie r jest odległością między środkiem ciała a punktem, w którym obliczana jest prędkość ucieczki, A g jest przyspieszeniem grawitacyjnym w tej odległości (tj. grawitacją powierzchniową).

dla ciała o sferycznie symetrycznym rozkładzie masy, prędkość ucieczki v E {\displaystyle v_{e}} z powierzchni jest proporcjonalna do promienia przy założeniu stałej gęstości i proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego średniej gęstości ρ.

v E = K R ρ {\displaystyle V_{e}=Kr{\sqrt {\Rho }}}

gdzie K = 8 3 π G ≈ 2,364 × 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s − 1 {\textstyle K={\sqrt {{\frac {8{3}}\pi g}}\approximately 2.364\times 10^{-5} {\text{ m}}^{1.5} {\text{ kg}}^{-0.5} {\text {s}}^{-1}}

zauważ, że ta prędkość ucieczki jest względna do nieobrotowego układu odniesienia, a nie względem ruchomej powierzchni planety lub księżyca, jak teraz wyjaśniamy.

od obracającego się ciała

prędkość ucieczki względem powierzchni obracającego się ciała zależy od kierunku, w którym porusza się uciekające ciało. Na przykład, ponieważ prędkość obrotowa Ziemi wynosi 465 m/s na równiku, rakieta wystrzelona stycznie z równika Ziemi na wschód wymaga prędkości początkowej około 10.735 km/s w stosunku do poruszającej się powierzchni w punkcie startu, aby uciec, podczas gdy rakieta wystrzelona stycznie z równika Ziemi na zachód wymaga prędkości początkowej około 11.665 km / s w stosunku do poruszającej się powierzchni. Prędkość powierzchniowa maleje wraz z cosinusem szerokości geograficznej, więc obiekty wystrzeliwane w kosmos często znajdują się tak blisko równika, jak to możliwe, np. Amerykański Przylądek Canaveral (28°28′ szerokości geograficznej północnej) i Centrum Kosmiczne Gujany Francuskiej (5°14′ szerokości geograficznej północnej).

względy praktyczne

w większości sytuacji osiągnięcie prędkości ucieczki niemal natychmiast jest niepraktyczne, ze względu na implikowane przyspieszenie, a także dlatego, że jeśli istnieje atmosfera, związane z tym prędkości hipersoniczne (na Ziemi prędkość 11,2 km/S lub 40,320 km/h) spowodowałyby spalenie większości obiektów z powodu ogrzewania aerodynamicznego lub rozerwanie ich przez opór atmosferyczny. Dla rzeczywistej orbity ewakuacyjnej, statek kosmiczny będzie stale przyspieszać poza atmosferę, aż osiągnie prędkość ucieczki odpowiednią dla swojej wysokości (która będzie mniejsza niż na powierzchni). W wielu przypadkach sonda może być najpierw umieszczona na orbicie parkingowej (np. na niskiej orbicie okołoziemskiej 160-2 000 km), a następnie przyspieszona do prędkości ucieczki na tej wysokości, która będzie nieco niższa (około 11,0 km/s na niskiej orbicie okołoziemskiej 200 km). Wymagana dodatkowa zmiana prędkości jest jednak znacznie mniejsza, ponieważ statek kosmiczny ma już znaczną prędkość orbitalną (w niskiej prędkości orbity okołoziemskiej wynosi około 7,8 km/s, lub 28,080 km/h).

z orbitującego ciała

prędkość ucieczki na danej wysokości wynosi 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} razy prędkość na orbicie kołowej na tej samej wysokości (porównaj to z równaniem prędkości na orbicie kołowej). Odpowiada To temu, że energia potencjalna względem nieskończoności obiektu na takiej orbicie jest minus dwa razy większa od jego energii kinetycznej, podczas gdy suma energii potencjalnej i kinetycznej musi wynosić co najmniej zero. Prędkość odpowiadająca orbicie kołowej jest czasami nazywana pierwszą prędkością kosmiczną, podczas gdy w tym kontekście prędkość ucieczki jest określana jako druga prędkość kosmiczna.

dla ciała na eliptycznej orbicie, które chce przyspieszyć do orbity ewakuacyjnej, wymagana prędkość będzie się różnić i będzie największa w periapsis, gdy ciało znajduje się najbliżej ciała centralnego. Jednak prędkość orbitalna ciała również będzie w tym momencie najwyższa, a wymagana zmiana prędkości będzie najniższa, jak wyjaśnia efekt Obertha.

barycentryczna prędkość ucieczki

technicznie prędkość ucieczki może być mierzona jako względna względem drugiego, centralnego ciała lub względem środka masy lub barycentrowego układu ciał. Tak więc dla układów dwóch ciał termin prędkość ucieczki może być niejednoznaczny, ale zwykle oznacza barycentryczną prędkość ucieczki mniej masywnego ciała. W polach grawitacyjnych prędkość ucieczki odnosi się do prędkości ucieczki cząstek testowych o zerowej masie w stosunku do barycentru mas generujących pole. W większości sytuacji dotyczących statków kosmicznych różnica jest znikoma. Przy masie równej rakiecie Saturn V prędkość ucieczki względem wyrzutni jest o 253,5 am/s (8 nanometrów rocznie) szybsza niż prędkość ucieczki względem wzajemnego środka masy.

wysokość trajektorii o niższej prędkości

ignorując wszystkie czynniki inne niż siła grawitacji między ciałem a obiektem, obiekt rzutowany pionowo z prędkością v {\displaystyle v} z powierzchni sferycznego ciała o prędkości ucieczki v E {\displaystyle v_{e}} i promień R {\displaystyle R} osiągnie maksymalną wysokość H {\displaystyle H} spełniając równanie

V = V E H R + H , {\displaystyle V=v_{e}{\sqrt {\frac {H}{R+H}}}\ ,}

które, rozwiązanie dla h daje wynik

H = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ r\ ,}

gdzie X = v / v e {\textstyle x=v/v_{e}} jest stosunkiem pierwotnej prędkości v {\displaystyle V} do prędkości ucieczki v e . {\displaystyle v_{e}.}

w przeciwieństwie do prędkości ucieczki, kierunek (pionowo w górę) jest ważny dla osiągnięcia maksymalnej wysokości.

trajektoria

jeśli obiekt osiąga dokładnie prędkość ucieczki, ale nie jest skierowany od razu od planety, będzie podążał zakrzywioną ścieżką lub trajektorią. Chociaż trajektoria ta nie tworzy zamkniętego kształtu, może być określana jako Orbita. Zakładając, że grawitacja jest jedyną znaczącą siłą w układzie, prędkość tego obiektu w dowolnym punkcie trajektorii będzie równa prędkości ucieczki w tym punkcie, ze względu na zachowanie energii, jego całkowita energia musi zawsze wynosić 0, co oznacza, że zawsze ma prędkość ucieczki; zobacz wyprowadzenie powyżej. Kształt trajektorii będzie parabolą, której ognisko znajduje się w centrum masy planety. Prawdziwa ucieczka wymaga kursu z trajektorią, która nie przecinałaby się z planetą lub jej atmosferą, ponieważ spowodowałoby to rozbicie obiektu. Podczas oddalania się od źródła ścieżka ta nazywana jest orbitą ewakuacyjną. Orbity ewakuacyjne są znane jako orbity C3 = 0. C3 jest energią charakterystyczną, = – GM / 2a, gdzie A jest półosią główną, która jest nieskończona dla trajektorii parabolicznych.

jeśli ciało ma prędkość większą niż prędkość ucieczki, to jego ścieżka utworzy hiperboliczną trajektorię i będzie miała nadmierną prędkość hiperboliczną, równoważną dodatkowej energii, jaką posiada ciało. Stosunkowo mała dodatkowa delta-V powyżej, potrzebna do przyspieszenia do prędkości ucieczki, może skutkować stosunkowo dużą prędkością w nieskończoności. Niektóre manewry orbitalne wykorzystują ten fakt. Na przykład w miejscu, gdzie prędkość ucieczki wynosi 11,2 km/s, dodanie 0,4 km/s daje hiperboliczną nadmiarowość 3,02 km/s:

v ∞ = v 2 − V e 2 = ( 11,6 km/s ) 2 − ( 11,2 km/s ) 2 ≈ 3.02 km / s . {\displaystyle v_ {\infty }={\sqrt {V^{2} – {v_ {e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/S}})^{2}-(11.2{\text{ km / s}})^{2}}}\ok.3,02}

jeśli ciało na orbicie kołowej (lub w peryapsis orbity eliptycznej) przyspiesza wzdłuż swojego kierunku podróży do prędkości ucieczki, punkt przyspieszenia utworzy periapsis trajektorii ucieczki. Ewentualny kierunek jazdy będzie pod kątem 90 stopni do kierunku w punkcie przyspieszenia. Jeśli ciało przyspieszy do prędkości ucieczki, ewentualny kierunek podróży będzie pod mniejszym kątem i będzie wskazywany przez jedną z asymptot trajektorii hiperbolicznej, którą teraz przyjmuje. Oznacza to, że moment przyspieszenia jest krytyczny, jeśli zamierzamy uciec w określonym kierunku.

jeśli prędkość w periapsis wynosi v, to mimośrodowość trajektorii jest dana przez:

e = 2(v / V e ) 2 − 1 {\displaystyle e=2 (V/v_{e})^{2}-1}

dotyczy to trajektorii eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych. Jeśli trajektoria jest hiperboliczna lub paraboliczna, będzie asymptotycznie zbliżać się do kąta θ {\displaystyle \ theta } z kierunku w periapsis, z

sin θ θ = 1 / e . {\displaystyle \sin\theta =1/e.}

prędkość będzie asymptotycznie zbliżać się

v 2 − V E 2 . {\displaystyle {\sqrt {v^{2} – v_{e}^{2}}}.}

lista prędkości ucieczki

w tej tabeli lewa połowa podaje prędkość ucieczki z widzialnej powierzchni (która może być gazowa, jak na przykład Jowisz), w stosunku do środka planety lub księżyca (to znaczy nie w stosunku do jego ruchomej powierzchni). W prawej połowie Ve odnosi się do prędkości względem ciała centralnego (na przykład słońca), podczas gdy Vte jest prędkością (na widocznej powierzchni ciała mniejszego) względem ciała mniejszego (planety lub księżyca).

ostatnie dwie kolumny będą dokładnie zależeć od miejsca osiągnięcia prędkości ucieczki na orbicie, ponieważ orbity nie są dokładnie kołowe (szczególnie Merkury i Pluton).

obliczanie prędkości ucieczki za pomocą rachunku różniczkowego

niech g będzie stałą grawitacyjną, A M niech będzie masą ziemi (lub innego ciała grawitacyjnego), A m będzie masą uciekającego ciała lub pocisku. W odległości r od środka ciężkości ciało odczuwa siłę przyciągania

F = G M m r 2 . {\displaystyle F = G {\frac {Mm} {r^{2}}}.

pracę potrzebną do przesunięcia ciała na niewielką odległość od tej siły wykonuje zatem

d W = F d r = G M m r 2 d r . {\displaystyle dW=f\,dr=g{\frac {Mm}{R^{2}}}\,Dr.}

całkowita praca potrzebna do przeniesienia ciała z powierzchni R0 grawitującego ciała do nieskończoności wynosi wtedy

w = ∫ R 0 ∞ g M M R 2 D R = G M M R 0 = M G R 0. {\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=g{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}

aby wykonać tę pracę, aby osiągnąć nieskończoność, minimalna energia kinetyczna ciała podczas odlotu musi odpowiadać tej pracy, więc prędkość ucieczki v0 spełnia

1 2 M v 0 2 = G M M r 0 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm} {r_{0}}},}

co daje

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r 0 . {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}

Zobacz

uwagi

• Kalkulator prędkości ucieczki
• internetowy numeryczny Kalkulator prędkości ucieczki