forças conservadoras vs não conservadoras: as principais diferenças

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na Física Newtoniana, geralmente existem dois tipos de forças; forças conservadoras e forças não conservadoras. Essa classificação entre os dois tipos de forças é feita por causa de algumas diferenças importantes entre eles.Em suma, as forças conservadoras são derivadas de um potencial, enquanto as forças não conservadoras não são. As forças conservadoras também são independentes do caminho e conservam a energia mecânica (portanto, o nome força conservadora), enquanto as forças não conservadoras são dependentes do caminho e não conservam a energia mecânica.

aqui está uma pequena tabela de comparação das duas forças:

as Forças Conservadoras Não-Forças Conservadoras
Derivada de um potencial Não deriva de qualquer quantidade
Conservação de energia mecânica não conservar a energia mecânica
independente do Caminho Caminho dependentes
Exemplos: força gravitacional, forças magnéticas Exemplos: fricção, resistência do ar, forças viscosas

nas seções a seguir, cada uma dessas diferenças será explicada com muito mais detalhes.

derivação através de uma energia potencial

uma das principais diferenças entre as forças conservadoras e não conservadoras é a forma como elas são definidas, em particular seus significados matemáticos.

uma força conservadora sempre pode ser associada a uma energia potencial, é claro que a forma específica da energia potencial sempre depende da situação.

em particular, as forças conservadoras são definidas como gradientes negativos de um potencial. O gradiente é normalmente escrito como uma espécie de cabeça para baixo delta-símbolo e o potencial que nós vamos denotar por V(x), uma vez que depende de posição:

F=-\nabla V\left(x\right)

Enquanto isto pode parecer um pouco avançada, um gradiente significa simplesmente a derivada parcial com relação a cada uma das componentes da quantidade específica em questão.

no nosso caso, a quantidade é alguma função de energia potencial e as energias potenciais são geralmente dependentes da posição. Portanto, em suma, as forças conservadoras são simplesmente derivadas negativas de um potencial em relação à posição:

F = - \ frac{d} {dx}V\left (x \ right)

intuitivamente, você pode ver como essa definição faz sentido. Pense em uma situação em que você está em alguma posição em que tem uma certa quantidade de energia potencial.Por exemplo, isso poderia estar no campo gravitacional da terra flutuando em algum lugar no espaço acima da Terra. Agora pense no que acontece quando a força gravitacional da terra está agindo sobre você.Sua posição obviamente vai mudar, assim como sua energia potencial também à medida que você se aproxima da Terra. Isso significa que a força que atua sobre você está conectada à mudança de sua posição e energia potencial, o que faz todo o sentido.Equivalentemente, a energia potencial pode ser definida simplesmente somando todas as forças conservadoras que atuam sobre um objeto em cada ponto durante um determinado caminho.Matematicamente, isso significa que a energia potencial total é a integral (ou seja , uma soma contínua ou uma soma de incrementos realmente muito pequenos) da força conservadora em questão em relação ao caminho.

isso também é fácil de descobrir a partir da definição de uma força conservadora simplesmente movendo-se em torno dos Termos e integrando ambos os lados:

F=-\frac{d}{dx}V\left(x\right)
Fdx=-dV\left(x\right)\ \ \ \ \paralelo\int_{ }^{ }
-\int_{ }^{ }dV\left(x\right)=\int_{ }^{ }Fdx
V\left(x\right)=-\int_{ }^{ }Fdx

Estas definições podem ser facilmente usado para encontrar forças conservadoras e energia potencial funções que corresponderem a cada um dos outros.

vamos usar o exemplo do campo gravitacional novamente. Se conhecermos a força ou a energia potencial, podemos derivar a força ou o potencial correspondente para esse caso.

Vamos dizer que nós sabemos que a energia potencial gravitacional para ser (substituindo x por r, uma vez que r é a posição, neste caso):

V\left(r\right)=-\frac{GmM}{r}

A força gravitacional é simplesmente o negativo derivado de this:

F=-\frac{d}{dr}\left(-\frac{GmM}{r}\right)
F=GmM\cdot\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)
F=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)=-\frac{GmM}{r^2}

E vice-versa, se sabemos que a força da gravidade para ser:

F=-\frac{GmM}{r^2}

Então nós poderíamos encontrar a energia potencial integrando este:

V\left(r\right)=-\int_{ }^{ }-\frac{GmM}{r^2}dr
V\left(r\right)=GmM\cdot\int_ { } ^ { }\frac{1}{r^2}dr
V\left(r\right)=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=-\frac{GmM}{r}

Agora, essas equações trabalho, porque as forças gravitacionais são as forças conservadoras, o que significa que eles podem ser associados a um potencial de energia.Por outro lado, considere algo como a força de arrasto viscosa, que é uma força que atua sobre um objeto que se move através de um líquido de alguns tipos. A força de arrasto é na verdade uma força dependente da velocidade, o que significa que há uma força maior em um objeto se movendo em velocidade mais alta.Isso, é claro, faz sentido se você pensar em um objeto que se move através de um fluido. A definição matemática para a força de arrasto é a seguinte:

F=\frac{1}{2}CA\rho v^2

Aqui C é o coeficiente de arrasto que depende do fluido em questão, A é a área da superfície do fluido deslocado através de, ρ é a densidade do fluido e v é a velocidade do objeto.

no entanto, a razão pela qual essa força de arrasto é notável é porque ela não possui nenhuma energia potencial específica associada a ela. Portanto, não é uma força conservadora.

essa mesma ideia também se aplica a coisas como atrito e resistência ao ar (também é importante notar que a força de arrasto e a resistência ao ar são apenas diferentes formas de atrito).Todas as forças de atrito são forças não conservadoras, porque não são derivadas de um potencial. Em última análise, porém, essa definição vem de como essas forças conservam energia.

essa ideia tem um significado particular na mecânica Lagrangiana, que se baseia na noção de forças conservadoras. Eu entro em mais detalhes sobre esse conceito neste artigo.

Conservação da energia mecânica

Outra característica fundamental para as forças conservadoras é que eles conservam a energia mecânica de um sistema ou de um objeto. Energia mecânica significa simplesmente o total de energia cinética e potencial.

forças não conservadoras, por outro lado, não. Em vez disso, eles dissipam a energia do sistema (transformando a energia em calor/outras formas de energia que geralmente são consideradas irrelevantes em um problema, o que significa que a energia é “perdida”).De fato, essa propriedade da conservação de energia é de onde vêm os nomes das forças conservadoras e não conservadoras.Isso faz sentido se você pensar, por exemplo, na força gravitacional novamente. Um objeto que cai no espaço devido à gravidade, onde não há resistência ao ar ou qualquer outra coisa, não perderá energia enquanto viaja no espaço vazio.No entanto, assim que o objeto cair, por exemplo, na atmosfera de um planeta, ele começará a experimentar forças de resistência do ar e perderá energia e, portanto, também diminuirá a velocidade.Essa conservação da energia mecânica também leva a uma importante propriedade das forças conservadoras chamada independência do caminho.

também pode ser importante notar que a energia não é realmente “perdida” de forma alguma se você contabilizar todas as variáveis possíveis em um sistema. A energia simplesmente se transforma em outras formas, por exemplo, a energia cinética se transformando em energia térmica.

por exemplo, no caso de um objeto cair na atmosfera de um planeta, pode parecer que alguma energia é perdida no processo à medida que o objeto diminui, mas isso é apenas se você contabilizar apenas o próprio objeto.Na realidade, se você fosse explicar verdadeiramente todo o sistema, isso incluiria todas as moléculas de ar também, então qualquer energia não seria perdida.

a energia que parecia estar “perdida” na verdade se transformaria apenas na energia cinética das moléculas de ar, que em maior escala, apareceria como calor.

Caminho de dependência e independência

mais Um fator, onde as forças conservadoras diferir dos não-conservadoras é o caminho de um objeto toma e como a força é afetada por essa escolha do caminho.O que quero dizer com isso é que, no caso de forças conservadoras, o caminho que um objeto toma não importa em termos de energia mecânica total.

este conceito pode ser melhor explicado através de um exemplo. Considere este cenário; Você está no espaço acima da Terra a uma distância r1 do centro da Terra.À medida que a força gravitacional da terra começa a puxá-lo para a terra, você naturalmente segue um caminho reto e sua energia potencial gravitacional é diferente em algum outro ponto do caminho à medida que você se aproxima da terra (agora a uma distância r2 do centro da Terra). Aqui está o que quero dizer:

aqui, a mudança em sua energia potencial gravitacional é simplesmente:

\Delta V = \ frac {- GmM} {\Delta r}= \ frac {- GmM} {r_1-r_2}

como a gravidade é fundamentalmente uma força conservadora se a resistência do ar ou outras forças não forem levadas em consideração, nenhuma energia mecânica total é perdida durante esse caminho. Assim, a mudança total em energia mecânica é simplesmente (ΔT é o que a mudança na energia cinética é):

\Delta E=\Delta T+\Delta V

Agora, imagine que a gravidade não estava puxando em uma linha reta. E se isso te puxasse em algum caminho curvo estranho, mas você ainda acabou no mesmo ponto final? Aqui está o que aconteceria:

é claro que, se o ponto inicial e o ponto final forem os mesmos, o caminho que você segue não importa. A mudança total na energia mecânica ainda é a mesma. Essa ideia é chamada de independência do caminho, e as forças conservadoras são forças independentes do caminho.A independência do caminho é um resultado direto de forças conservadoras que conservam a energia mecânica total.

pense nisso. Se durante um determinado caminho, você não “perde” nenhuma energia, então o trabalho feito pela força conservadora (mudança na energia mecânica devido a essa força) pode ser completamente determinado apenas pelos pontos inicial e final desse caminho. O que acontece entre o ponto inicial e final não importa, desde que nenhuma energia seja perdida durante o caminho.

se você fosse agora pensar sobre o cenário oposto, onde em vez de uma força conservadora, você tem uma força não conservadora agindo sobre você.Por exemplo, imagine que você está voando pelo ar (na terra, para que possamos usar V=mgh) e, portanto, a força da resistência do ar está obviamente agindo sobre você.

Agora, pense, primeiro, voando em linha reta:

Aqui, a mudança na energia potencial é simplesmente:

\Delta V=mg\Delta h=mg\left(h_1-h_2\right)

até agora nada de surpreendente aqui. O problema aqui é que, como a resistência do ar é uma força não conservadora, alguma energia cinética é perdida durante o caminho, o que significa que a mudança total na energia mecânica não é simplesmente ΔT + ΔV.Portanto, a mudança na energia mecânica não pode ser determinada simplesmente pelos pontos inicial e final do caminho. Você também deve explicar o caminho em si, e isso é chamado de dependência do caminho.Aqui está o que quero dizer; Pegue o mesmo cenário (Você está voando pelo ar) e mude o caminho que você viaja para outra coisa. Você pode manter os pontos inicial e final iguais, se desejar:

agora, à medida que seu caminho muda, a resistência do ar agindo sobre você durante o caminho também muda. Nesse caso, seu caminho é mais longo, então a força da resistência do Ar atua sobre você por um período mais longo e, portanto, você perde mais energia cinética.Isso significa que a mudança total na energia mecânica também é diferente à medida que mudamos o caminho, o que significa que o trabalho realizado pela força não conservadora é diferente como no caso do caminho em linha reta.

agora, se você gostou do que leu aqui, considere conferir alguns dos meus outros artigos, especialmente os da mecânica clássica.

Estes incluem, por exemplo, uma introdução à Lagrangian mecânica, introdução à mecânica Hamiltoniana (uma versão condensada pode ser encontrada aqui), bem como uma comparação entre essas duas formulações.

também tenho um artigo bastante abrangente comparando a mecânica newtoniana e Lagrangiana, que pode ser encontrada aqui.

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