Viteza de evacuare

în mecanica cerească, viteza de evacuare sau viteza de evacuare este viteza minimă necesară pentru ca un obiect liber, fără propulsie, să scape de influența gravitațională a unui corp primar, ajungând astfel la o distanță infinită de acesta. Este de obicei declarat ca o viteză ideală, ignorând fricțiunea atmosferică. Deși termenul „viteză de evacuare” este comun, este descris mai precis ca o viteză decât o viteză, deoarece este independent de direcție; viteza de evacuare crește odată cu masa corpului primar și scade odată cu distanța față de corpul primar. Viteza de evacuare depinde astfel de cât de departe a călătorit deja obiectul, iar calculul său la o anumită distanță ia în considerare faptul că, fără o nouă accelerație, va încetini pe măsură ce călătorește—datorită gravitației masive a corpului—dar nu va încetini niciodată până la oprire.

o rachetă, accelerată continuu de evacuarea sa, poate scăpa fără a atinge vreodată viteza de evacuare, deoarece continuă să adauge energie cinetică din motoarele sale. Poate obține scăparea cu orice viteză, având în vedere suficient propulsor pentru a oferi o nouă accelerație rachetei pentru a contracara decelerarea gravitației și, astfel, pentru a-și menține viteza.

mai general, viteza de evacuare este viteza la care suma energiei cinetice a unui obiect și a energiei sale potențiale gravitaționale este egală cu zero; un obiect care a atins viteza de evacuare nu se află nici la suprafață, nici pe o orbită închisă (de orice rază). Cu viteza de evacuare într-o direcție îndreptată departe de solul unui corp masiv, obiectul se va îndepărta de corp, încetinind pentru totdeauna și apropiindu-se, dar niciodată atingând viteza zero. Odată ce viteza de evacuare este atinsă, nu mai este nevoie să se aplice un impuls suplimentar pentru ca acesta să continue în evadarea sa. Cu alte cuvinte, dacă i se dă viteza de evadare, obiectul se va îndepărta de celălalt corp, încetinind continuu și se va apropia asimptotic de viteza zero pe măsură ce distanța obiectului se apropie de infinit, pentru a nu se mai întoarce niciodată. Viteze mai mari decât viteza de evacuare păstrează o viteză pozitivă la distanță infinită. Rețineți că viteza minimă de evacuare presupune că nu există frecare (de exemplu, tracțiune atmosferică), care ar crește viteza instantanee necesară pentru a scăpa de influența gravitațională și că nu va exista nicio accelerație viitoare sau decelerare străină (de exemplu din împingere sau din gravitația altor corpuri), care ar schimba viteza instantanee necesară.

viteza de evacuare la o distanță d de centrul unui corp primar sferic simetric (cum ar fi o stea sau o planetă) cu masa M este dată de formula

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e} = {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}

unde G este constanta gravitațională universală (g XTX 6,67 XTX 10-11 m3 * kg−1 * s-2). Viteza de evacuare este independentă de masa obiectului care scapă. De exemplu, viteza de evacuare de la suprafața Pământului este de aproximativ 11,186 km/s (40.270 km/h; 25.020 mph; 36.700 ft/s).

când i se dă o viteză inițială V {\displaystyle V} mai mare decât viteza de scăpare v e , {\displaystyle v_{e},} obiectul se va apropia asimptotic de viteza excesivă hiperbolică v displaystyle v_ {\infty},} satisfăcând ecuația:

V 2 = V 2 − V E 2 . {\displaystyle {v_ {\infty }}^{2} = V^{2}-{v_{e}}^{2}.}

în aceste ecuații fricțiunea atmosferică (tragerea aerului) nu este luată în considerare.

Prezentare generală

Luna 1, lansată în 1959, a fost primul obiect creat de om care a atins viteza de evacuare de pe Pământ (vezi tabelul de mai jos).

existența vitezei de evacuare este o consecință a conservării energiei și a unui câmp energetic de adâncime finită. Pentru un obiect cu o energie totală dată, care se mișcă sub rezerva forțelor conservatoare (cum ar fi un câmp gravitațional static) este posibil doar ca obiectul să atingă combinații de locații și viteze care au acea energie totală; iar locurile care au o energie potențială mai mare decât aceasta nu pot fi atinse deloc. Prin adăugarea de viteză (energie cinetică) obiectului, acesta extinde locațiile posibile la care se poate ajunge, până când, cu suficientă energie, devin infinite.

pentru o anumită energie potențială gravitațională într-o anumită poziție, viteza de evacuare este viteza minimă pe care un obiect fără propulsie trebuie să o poată „scăpa” de gravitație (adică astfel încât gravitația să nu reușească niciodată să o tragă înapoi). Viteza de evacuare este de fapt o viteză (nu o viteză), deoarece nu specifică o direcție: indiferent de direcția de deplasare, obiectul poate scăpa de câmpul gravitațional (cu condiția ca calea sa să nu intersecteze planeta).

un mod elegant de a obține formula pentru viteza de evacuare este de a folosi principiul conservării energiei (pentru un alt mod, bazat pe muncă, Vezi mai jos). Din motive de simplitate, dacă nu se specifică altfel, presupunem că un obiect va scăpa de câmpul gravitațional al unei planete sferice uniforme îndepărtându-se de el și că singura forță semnificativă care acționează asupra obiectului în mișcare este gravitația planetei. Imaginați-vă că o navă spațială de masă m este inițial la o distanță r de centrul de masă al planetei, a cărei masă este M, iar viteza sa inițială este egală cu viteza sa de evacuare, v e {\displaystyle v_{e}} . În starea sa finală, va fi la o distanță infinită de planetă, iar viteza sa va fi neglijabil de mică. Energia cinetică K și energia potențială gravitațională Ug sunt singurele tipuri de energie cu care ne vom ocupa (vom ignora tragerea atmosferei), deci prin conservarea energiei,

( K + U g ) inițial = ( K + U G ) final {\displaystyle (K+u_{g})_{\text{initial}}=(K+u_{G})_{\text{final}}}

putem seta kfinal = 0 pentru că viteza finală este arbitrar de mică, iar ugfinal = 0 pentru că distanța finală este infinită, deci

1 2 M V E 2 + − G M M R = 0 + 0 {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}\end{aliniat}}}

unde este parametrul gravitațional standard.

același rezultat este obținut printr-un calcul relativist, caz în care variabila r reprezintă coordonata radială sau circumferința redusă a metricii Schwarzschild.

definit puțin mai formal,” viteza de evacuare ” este viteza inițială necesară pentru a trece de la un punct inițial dintr-un câmp potențial gravitațional la infinit și a se termina la infinit cu o viteză reziduală de zero, fără nicio accelerație suplimentară. Toate vitezele și vitezele sunt măsurate în raport cu câmpul. În plus, viteza de evacuare într-un punct din spațiu este egală cu viteza pe care un obiect ar avea-o dacă ar începe în repaus de la o distanță infinită și ar fi tras de gravitație până în acel punct.

în uzul obișnuit, punctul inițial se află pe suprafața unei planete sau a unei luni. Pe suprafața Pământului, viteza de evacuare este de aproximativ 11,2 km/s, Care este de aproximativ 33 de ori viteza sunetului (Mach 33) și de câteva ori viteza botului unui glonț de pușcă (până la 1,7 km/s). Cu toate acestea, la o altitudine de 9.000 km în „spațiu”, este puțin mai mică de 7,1 km/s. Rețineți că această viteză de evacuare este relativă la un cadru de referință care nu se rotește, nu în raport cu suprafața în mișcare a planetei sau a lunii (vezi mai jos).

viteza de evacuare este independentă de masa obiectului care scapă. Nu contează dacă masa este de 1 kg sau 1.000 kg; ceea ce diferă este cantitatea de energie necesară. Pentru un obiect de masă m {\displaystyle M} energia necesară pentru a scăpa de câmpul gravitațional al Pământului este GMm / r, o funcție a masei obiectului (unde r este raza Pământului, nominal 6.371 kilometri (3.959 mi), G este constanta gravitațională, iar M este masa Pământului, M = 5.9736 1024 kg). O cantitate înrudită este energia orbitală specifică, care este în esență suma energiei cinetice și potențiale împărțită la masă. Un obiect a atins viteza de evacuare atunci când energia orbitală specifică este mai mare sau egală cu zero.

scenarii

de la suprafața unui corp

o expresie alternativă pentru viteza de evacuare v e {\displaystyle v_{e}} deosebit de utilă la suprafața corpului este:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}

unde r este distanța dintre centrul corpului și punctul în care se calculează viteza de evacuare și g este accelerația gravitațională la acea distanță (adică gravitația suprafeței).

pentru un corp cu o distribuție sferic-simetrică a masei, viteza de evacuare v e {\displaystyle v_{e}} de la suprafață este proporțională cu raza care presupune densitate constantă și proporțională cu rădăcina pătrată a densității medii.

v e = k r} {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho}}}

unde K = 8 3 XT.XT. 2.364 XT. XT. 10 − 5 m 1.5 kg − 0.5 s − 1 {\textstyle K={\sqrt {{\frac {8} {3}}\pi g}}\aproximativ 2,364\ori 10^{-5} {\text{ m}}^{1,5} {\text{ kg}}^{-0.5} {\text{ s}}^{-1}}

rețineți că această viteză de evacuare este relativă la un cadru de referință care nu se rotește, nu în raport cu suprafața în mișcare a planetei sau a lunii, așa cum explicăm acum.

de la un corp rotativ

viteza de evacuare în raport cu suprafața unui corp rotativ depinde de direcția în care se deplasează corpul care scapă. De exemplu, deoarece viteza de rotație a Pământului este de 465 m/s la ecuator, o rachetă lansată tangențial de la ecuatorul Pământului la est necesită o viteză inițială de aproximativ 10,735 km/s în raport cu suprafața în mișcare la punctul de lansare pentru a scăpa, în timp ce o rachetă lansată tangențial de la ecuatorul Pământului la vest necesită o viteză inițială de aproximativ 11,665 km/s în raport cu acea suprafață în mișcare. Viteza suprafeței scade odată cu cosinusul latitudinii geografice, astfel încât facilitățile de lansare spațială sunt adesea situate cât mai aproape de Ecuator, de ex. American Cape Canaveral (latitudine 28, 28 ‘N) și Centrul Spațial Guiana Franceză(latitudine 5, 14’ n).

considerații practice

în majoritatea situațiilor este impracticabil să se atingă viteza de evacuare aproape instantaneu, din cauza accelerației implicate și, de asemenea, pentru că dacă există o atmosferă, vitezele hipersonice implicate (pe Pământ o viteză de 11,2 km/s sau 40.320 km/h) ar face ca majoritatea obiectelor să ardă din cauza încălzirii aerodinamice sau să fie sfâșiate de rezistența atmosferică. Pentru o orbită reală de evacuare, o navă spațială va accelera constant din atmosferă până când va atinge viteza de evacuare adecvată altitudinii sale (care va fi mai mică decât la suprafață). În multe cazuri, nava spațială poate fi plasată mai întâi pe o orbită de parcare (de exemplu,o orbită joasă a Pământului la 160-2.000 km) și apoi accelerată la viteza de evacuare la acea altitudine, care va fi ușor mai mică (aproximativ 11,0 km/s la o orbită joasă a Pământului de 200 km). Cu toate acestea, schimbarea suplimentară necesară a vitezei este mult mai mică, deoarece nava spațială are deja o viteză orbitală semnificativă (în orbita joasă a Pământului viteza este de aproximativ 7,8 km/s, sau 28.080 km/h).

dintr-un corp care orbitează

viteza de scăpare la o înălțime dată este 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ori viteza pe o orbită circulară la aceeași înălțime, (comparați acest lucru cu ecuația vitezei pe orbită circulară). Aceasta corespunde faptului că energia potențială în raport cu infinitatea unui obiect într-o astfel de orbită este minus de două ori energia cinetică, în timp ce pentru a scăpa suma energiei potențiale și cinetice trebuie să fie cel puțin zero. Viteza corespunzătoare orbitei circulare este uneori numită prima viteză cosmică, în timp ce în acest context viteza de evacuare este denumită a doua viteză cosmică.

pentru un corp pe o orbită eliptică care dorește să accelereze până la o orbită de evacuare, viteza necesară va varia și va fi cea mai mare la periapsis atunci când corpul este cel mai apropiat de corpul central. Cu toate acestea, viteza orbitală a corpului va fi, de asemenea, la cea mai mare în acest moment, iar schimbarea vitezei necesare va fi la cea mai mică, așa cum se explică prin efectul Oberth.

viteza de evacuare Baricentrică

din punct de vedere tehnic viteza de evacuare poate fi măsurată fie în raport cu celălalt corp central, fie în raport cu Centrul de masă sau baricentrul sistemului de corpuri. Astfel, pentru sistemele a două corpuri, termenul viteza de evacuare poate fi ambiguu, dar de obicei se intenționează să însemne viteza de evacuare baricentrică a corpului mai puțin masiv. În câmpurile gravitaționale, viteza de evacuare se referă la viteza de evacuare a particulelor de testare a masei zero în raport cu baricentrul maselor care generează câmpul. În majoritatea situațiilor care implică nave spațiale, diferența este neglijabilă. Pentru o masă egală cu o rachetă Saturn V, Viteza de evacuare în raport cu platforma de lansare este cu 253,5 am/s (8 nanometri pe an) mai rapidă decât viteza de evacuare în raport cu Centrul reciproc de masă.

înălțimea traiectoriilor cu viteză mai mică

ignorând toți factorii, alții decât forța gravitațională dintre corp și obiect, un obiect proiectat vertical la viteza v {\displaystyle v} de la suprafața unui corp sferic cu viteza de evacuare v e {\displaystyle v_{e}} și raza R {\displaystyle R} va atinge o înălțime maximă h {\displaystyle H} satisfăcând ecuația

V = V E H R + H, {\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{r+h}}}\ ,}

care, rezolvarea pentru h are ca rezultat

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}

unde x = v / v e {\textstyle x=v/v_{e}} este raportul dintre viteza inițială v {\displaystyle v} și viteza de evacuare v e . {\displaystyle v_{e}.}

spre deosebire de viteza de evacuare, direcția (vertical în sus) este importantă pentru a atinge înălțimea maximă.

traiectorie

dacă un obiect atinge exact viteza de evacuare, dar nu este direcționat imediat de pe planetă, atunci va urma o cale sau o traiectorie curbată. Deși această traiectorie nu formează o formă închisă, ea poate fi denumită orbită. Presupunând că gravitația este singura forță semnificativă din sistem, viteza acestui obiect în orice punct al traiectoriei va fi egală cu viteza de evacuare în acel punct datorită conservării energiei, energia sa totală trebuie să fie întotdeauna 0, ceea ce implică faptul că are întotdeauna viteza de evacuare; vezi derivarea de mai sus. Forma traiectoriei va fi o parabolă a cărei focalizare este situată în centrul masei planetei. O evadare reală necesită un curs cu o traiectorie care nu se intersectează cu planeta sau cu atmosfera sa, deoarece acest lucru ar determina prăbușirea obiectului. Când se îndepărtează de sursă, această cale se numește orbită de evacuare. Orbitele de evacuare sunt cunoscute sub numele de C3 = 0 orbite. C3 este energia caracteristică, = – GM / 2a, unde a este axa semi-majoră, care este infinită pentru traiectoriile parabolice.

dacă corpul are o viteză mai mare decât viteza de evacuare, atunci calea sa va forma o traiectorie hiperbolică și va avea o viteză hiperbolică în exces, echivalentă cu energia suplimentară pe care o are corpul. Un delta-v suplimentar relativ mic deasupra celui necesar pentru a accelera la viteza de evacuare poate duce la o viteză relativ mare la infinit. Unele manevre orbitale folosesc acest fapt. De exemplu, într − un loc în care viteza de evacuare este de 11,2 km/s, adaosul de 0,4 km/s produce o viteză de exces hiperbolic de 3,02 km/s:

v 0 − v e 2 = (11,6 km/s ) 2 – (11,2 km/s ) 2 0-V 3.02 km / s . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {v^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6 {\text {km / s}})^{2}-(11.2{\text{ km / s}})^{2}}}\aproximativ 3,02 {\text{ km / s}}.}

dacă un corp pe orbită circulară (sau la periapsisul unei orbite eliptice) accelerează de-a lungul direcției sale de deplasare pentru a scăpa de viteză, punctul de accelerație va forma periapsisul traiectoriei de evacuare. Direcția eventuală de deplasare va fi la 90 de grade față de direcția din punctul de accelerație. Dacă corpul accelerează dincolo de viteza de evacuare, eventuala direcție de deplasare va fi la un unghi mai mic și indicată de una dintre asimptotele traiectoriei hiperbolice pe care o ia acum. Aceasta înseamnă că momentul accelerației este critic dacă intenția este de a scăpa într-o anumită direcție.

dacă viteza la periapsis este v, atunci excentricitatea traiectoriei este dată de:

e = 2(v / v e ) 2 − 1 {\displaystyle e=2 (v/v_{e})^{2}-1}

acest lucru este valabil pentru traiectoriile eliptice, parabolice și hiperbolice. Dacă traiectoria este hiperbolică sau parabolică, ea se va apropia asimptotic de un unghi de {\displaystyle \theta} față de direcția de la periapsis, cu

sin = 1 / e . {\displaystyle \ sin \ theta =1/e.}

viteza se va apropia asimptotic

v 2 − v e 2 . {\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}

lista vitezelor de evacuare

în acest tabel, jumătatea din stânga dă viteza de evacuare de pe suprafața vizibilă (care poate fi gazoasă ca în cazul lui Jupiter, de exemplu), în raport cu centrul planetei sau al lunii (adică nu în raport cu suprafața sa în mișcare). În jumătatea dreaptă, Ve se referă la viteza relativă la corpul central (de exemplu soarele), în timp ce Vte este viteza (la suprafața vizibilă a corpului mai mic) în raport cu corpul mai mic (planetă sau lună).

ultimele două coloane vor depinde exact unde se atinge viteza de evacuare pe orbită, deoarece orbitele nu sunt tocmai circulare (în special Mercur și Pluto).

derivarea vitezei de evacuare folosind calculul

fie G constanta gravitațională și fie M masa Pământului (sau alt corp gravitant) și m masa corpului sau proiectilului care scapă. La o distanță r de centrul gravitației corpul simte o forță atractivă

F = G M m r 2 . {\displaystyle F = G {\frac {Mm}{R^{2}}}.}

lucrarea necesară pentru deplasarea corpului pe o distanță mică dr împotriva acestei forțe este, prin urmare, dată de

d W = F d r = G M m r 2 d r . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{R^{2}}}\,dr.}

munca totală necesară pentru a muta corpul de la suprafața r0 a corpului gravitant la infinit este atunci

w = 0 d r = g m m r 0 = M G R 0 . {\displaystyle W= \ int _ {R_{0}}^{\infty }G {\frac {Mm}{R^{2}}}\, dr = G {\frac {Mm}{R_{0}}} = mgr_{0}.}

pentru a face această lucrare pentru a ajunge la infinit, energia cinetică minimă a corpului la plecare trebuie să se potrivească cu această lucrare, astfel încât viteza de evacuare v0 satisface

1 2 m v 0 2 = G M M r 0, {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2} = G {\frac {Mm}{r_{0}}},}

care are ca rezultat

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r 0 . {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{R_{0}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}

Vezi și

Note

• viteza de evacuare calculator
• bazate pe Web viteza de evacuare calculator numeric