Velocità di fuga

Nella meccanica celeste, la velocità di fuga o velocità di fuga è la velocità minima necessaria affinché un oggetto libero e non spinto possa sfuggire all’influenza gravitazionale di un corpo primario, raggiungendo così una distanza infinita da esso. In genere è indicato come una velocità ideale, ignorando l’attrito atmosferico. Sebbene il termine “velocità di fuga” sia comune, è descritto più accuratamente come una velocità che una velocità perché è indipendente dalla direzione; la velocità di fuga aumenta con la massa del corpo primario e diminuisce con la distanza dal corpo primario. La velocità di fuga dipende quindi da quanto l’oggetto ha già viaggiato, e il suo calcolo a una data distanza tiene conto del fatto che senza una nuova accelerazione rallenterà mentre viaggia—a causa della gravità del corpo massiccio—ma non rallenterà mai fino a fermarsi.

Un razzo, continuamente accelerato dal suo scarico, può fuggire senza mai raggiungere la velocità di fuga, poiché continua ad aggiungere energia cinetica dai suoi motori. Può raggiungere la fuga a qualsiasi velocità, dato propellente sufficiente per fornire nuova accelerazione al razzo per contrastare la decelerazione della gravità e quindi mantenere la sua velocità.

Più in generale, la velocità di fuga è la velocità alla quale la somma dell’energia cinetica di un oggetto e della sua energia potenziale gravitazionale è uguale a zero; un oggetto che ha raggiunto la velocità di fuga non è né sulla superficie, né in un’orbita chiusa (di qualsiasi raggio). Con la velocità di fuga in una direzione che punta lontano dal terreno di un corpo massiccio, l’oggetto si allontanerà dal corpo, rallentando per sempre e avvicinandosi, ma non raggiungendo mai, velocità zero. Una volta raggiunta la velocità di fuga, non è necessario applicare ulteriori impulsi per continuare nella sua fuga. In altre parole, se viene data la velocità di fuga, l’oggetto si allontanerà dall’altro corpo, rallentando continuamente e si avvicinerà asintoticamente alla velocità zero mentre la distanza dell’oggetto si avvicina all’infinito, per non tornare mai più. Velocità superiori alla velocità di fuga mantengono una velocità positiva a distanza infinita. Si noti che la velocità minima di fuga presuppone che non vi sia attrito (ad esempio, resistenza atmosferica), che aumenterebbe la velocità istantanea richiesta per sfuggire all’influenza gravitazionale, e che non ci sarà alcuna accelerazione futura o decelerazione estranea (ad esempio dalla spinta o dalla gravità di altri corpi), che cambierebbe la velocità istantanea richiesta.

velocità di Fuga ad una distanza d dal centro di sfericamente simmetrica primaria del corpo (ad esempio una stella o un pianeta con massa M è dato dalla formula

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}

dove G è la costante gravitazionale universale (G ≈ 6.67×10-11 m3·kg−1·s−2). La velocità di escape è indipendente dalla massa dell’oggetto escape. Ad esempio, la velocità di fuga dalla superficie terrestre è di circa 11,186 km/s (40,270 km/h; 25,020 mph; 36,700 ft/s).

Quando somministrato una velocità iniziale V {\displaystyle V} maggiore della velocità di fuga v e , {\displaystyle v_{e},} l’oggetto è asintoticamente approccio iperbolico eccesso di velocità v ∞ , {\displaystyle v_{\infty },} soddisfare l’equazione:

v ∞ 2 = V 2 − v e 2 . Il sito utilizza cookie tecnici e di terze parti. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

In queste equazioni l’attrito atmosferico (resistenza all’aria) non viene preso in considerazione.

Panoramica

Luna 1, lanciato nel 1959, è stato il primo oggetto artificiale a raggiungere la velocità di fuga dalla Terra (vedi tabella sotto).

L’esistenza della velocità di fuga è una conseguenza della conservazione dell’energia e di un campo energetico di profondità finita. Per un oggetto con una data energia totale, che si muove soggetto a forze conservative (come un campo di gravità statico) è possibile solo per l’oggetto di raggiungere combinazioni di posizioni e velocità che hanno quell’energia totale; e luoghi che hanno un’energia potenziale superiore a questa non possono essere raggiunti affatto. Aggiungendo velocità (energia cinetica) all’oggetto espande le possibili posizioni che possono essere raggiunte, fino a quando, con abbastanza energia, diventano infinite.

Per una data energia potenziale gravitazionale in una data posizione, la velocità di fuga è la velocità minima che un oggetto senza propulsione deve essere in grado di “fuggire” dalla gravità (cioè in modo che la gravità non riesca mai a tirarla indietro). La velocità di fuga è in realtà una velocità (non una velocità) perché non specifica una direzione: non importa quale sia la direzione di marcia, l’oggetto può sfuggire al campo gravitazionale (a condizione che il suo percorso non intersechi il pianeta).

Un modo elegante per ricavare la formula per la velocità di fuga è usare il principio di conservazione dell’energia (per un altro modo, basato sul lavoro, vedi sotto). Per semplicità, se non diversamente specificato, assumiamo che un oggetto sfuggirà al campo gravitazionale di un pianeta sferico uniforme allontanandosi da esso e che l’unica forza significativa che agisce sull’oggetto in movimento è la gravità del pianeta. Immagina che un’astronave di massa m sia inizialmente ad una distanza r dal centro di massa del pianeta, la cui massa è M, e la sua velocità iniziale sia uguale alla sua velocità di fuga, v e {\displaystyle v_{e}} . Al suo stato finale, sarà una distanza infinita dal pianeta e la sua velocità sarà trascurabilmente piccola. Energia cinetica K e l’energia potenziale gravitazionale Ug sono gli unici tipi di energia che ci occuperemo (tralasciamo il trascinamento dell’atmosfera), in modo da conservazione dell’energia,

( K + U g ) iniziale = ( K + U g ) finale {\displaystyle (K+U_{g})_{\text{iniziale}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}

Siamo in grado di impostare Kfinal = 0 poiché la velocità finale è arbitrariamente piccolo, e Ugfinal = 0, poiché il tratto finale è infinito, così

⇒ 1 2 m v e 2 + − G M r = 0 + 0 ⇒ v e = 2 G M r = 2 µ r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}}

dove µ è la standard gravitazionale parametro.

Lo stesso risultato si ottiene con un calcolo relativistico, nel qual caso la variabile r rappresenta la coordinata radiale o la circonferenza ridotta della metrica di Schwarzschild.

Definita un po ‘ più formalmente, “velocità di fuga” è la velocità iniziale richiesta per passare da un punto iniziale in un campo potenziale gravitazionale all’infinito e terminare all’infinito con una velocità residua pari a zero, senza alcuna accelerazione aggiuntiva. Tutte le velocità e le velocità sono misurate rispetto al campo. Inoltre, la velocità di fuga in un punto nello spazio è uguale alla velocità che un oggetto avrebbe se fosse partito a riposo da una distanza infinita ed è stato tirato dalla gravità a quel punto.

Nell’uso comune, il punto iniziale è sulla superficie di un pianeta o di una luna. Sulla superficie della Terra, la velocità di fuga è di circa 11,2 km/s, che è circa 33 volte la velocità del suono (Mach 33) e più volte la velocità iniziale di un proiettile di fucile (fino a 1,7 km/s). Tuttavia, a 9.000 km di altitudine nello “spazio”, è leggermente inferiore a 7,1 km/s. Si noti che questa velocità di fuga è relativa a un quadro di riferimento non rotante, non relativo alla superficie mobile del pianeta o della luna (vedi sotto).

La velocità di fuga è indipendente dalla massa dell’oggetto di fuga. Non importa se la massa è di 1 kg o 1.000 kg; ciò che differisce è la quantità di energia richiesta. Per un oggetto di massa m {\displaystyle m} l’energia necessaria per sfuggire al campo gravitazionale terrestre è GMm / r, una funzione della massa dell’oggetto (dove r è il raggio della Terra, dimensioni nominali 6,371 chilometri (3,959 mi), G è la costante gravitazionale, e M è la massa della Terra M = 5.9736 × 1024 kg). Una quantità correlata è l’energia orbitale specifica che è essenzialmente la somma dell’energia cinetica e potenziale divisa per la massa. Un oggetto ha raggiunto la velocità di fuga quando l’energia orbitale specifica è maggiore o uguale a zero.

Scenari

Dalla superficie di un corpo

Un’alternativa espressione per la velocità di fuga v e {\displaystyle v_{e}} particolarmente utile per la superficie del corpo è:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}

dove r è la distanza tra il centro del corpo e il punto in cui la velocità di fuga viene calcolato e g è l’accelerazione di gravità a quella distanza (cioè, la superficie di gravità).

Per un corpo con una distribuzione di massa sfericamente simmetrica, la velocità di fuga v e {\displaystyle v_{e}} dalla superficie è proporzionale al raggio che assume densità costante e proporzionale alla radice quadrata della densità media ρ.

v e = K r r {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}

dove K = 8 3 π G ≈ 2.364 × 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s − 1 {\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\ca 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}

Nota che questa velocità di fuga è relativo a un non-sistema di riferimento rotante, non relativa al movimento della superficie del pianeta o della luna, come abbiamo ora a spiegare.

Da un corpo rotante

La velocità di fuga rispetto alla superficie di un corpo rotante dipende dalla direzione in cui viaggia il corpo in fuga. Per esempio, come la Terra, la velocità di rotazione è di 465 m/s all’equatore, un razzo lanciato tangenzialmente da l’equatore della Terra a est richiede una velocità iniziale di circa 10.735 km/s relativa alla superficie in movimento al punto di lancio per la fuga, mentre un razzo lanciato tangenzialmente da l’equatore della Terra per il west richiede una velocità iniziale di circa 11.665 km/s rispetto a quella superficie in movimento. La velocità della superficie diminuisce con il coseno della latitudine geografica, quindi le strutture di lancio nello spazio sono spesso situate il più vicino possibile all’equatore, ad esempio l’americana Cape Canaveral (latitudine 28°28′ N) e il Centro Spaziale della Guiana francese (latitudine 5°14′ N).

considerazioni Pratiche

Nella maggior parte delle situazioni non è possibile raggiungere la velocità di fuga quasi subito, a causa dell’accelerazione implicita, e anche perché se c’è un’atmosfera, la velocità ipersonica coinvolti (sulla Terra una velocità di 11,2 km/s, o 40,320 km/h) potrebbe causare la maggior parte degli oggetti di bruciare a causa di aerodinamica, di riscaldamento o di essere sbranato dai atmosferica trascinare. Per un’orbita di fuga effettiva, un veicolo spaziale accelererà costantemente fuori dall’atmosfera fino a raggiungere la velocità di fuga appropriata per la sua altitudine (che sarà inferiore rispetto alla superficie). In molti casi, il veicolo spaziale può essere prima posizionato in un’orbita di parcheggio (ad esempio un’orbita terrestre bassa a 160-2.000 km) e quindi accelerato alla velocità di fuga a quell’altitudine,che sarà leggermente inferiore (circa 11,0 km/s a un’orbita terrestre bassa di 200 km). Il cambiamento aggiuntivo richiesto nella velocità, tuttavia, è molto meno perché il veicolo spaziale ha già una significativa velocità orbitale (in orbita terrestre bassa velocità è di circa 7,8 km/s, o 28.080 km/h).

Da un corpo orbitante

La velocità di fuga ad una data altezza è 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} volte la velocità in un’orbita circolare alla stessa altezza, (confronta questo con l’equazione della velocità in orbita circolare). Ciò corrisponde al fatto che l’energia potenziale rispetto all’infinito di un oggetto in tale orbita è meno due volte la sua energia cinetica, mentre per sfuggire alla somma di potenziale e energia cinetica deve essere almeno zero. La velocità corrispondente all’orbita circolare è talvolta chiamata la prima velocità cosmica, mentre in questo contesto la velocità di fuga è indicata come la seconda velocità cosmica.

Per un corpo in un’orbita ellittica che desidera accelerare verso un’orbita di fuga la velocità richiesta varierà e sarà maggiore alla periapsi quando il corpo è più vicino al corpo centrale. Tuttavia, la velocità orbitale del corpo sarà anche al suo massimo a questo punto, e il cambiamento di velocità richiesto sarà al suo più basso, come spiegato dall’effetto Oberth.

Velocità di fuga baricentrica

Tecnicamente la velocità di fuga può essere misurata come relativa all’altro corpo centrale o relativa al centro di massa o al baricentro del sistema di corpi. Pertanto, per i sistemi di due corpi, il termine velocità di fuga può essere ambiguo, ma di solito è inteso a significare la velocità di fuga baricentrica del corpo meno massiccio. Nei campi gravitazionali, la velocità di fuga si riferisce alla velocità di fuga delle particelle di prova di massa zero rispetto al baricentro delle masse che generano il campo. Nella maggior parte delle situazioni che coinvolgono veicoli spaziali la differenza è trascurabile. Per una massa uguale a un razzo Saturn V, la velocità di fuga rispetto alla rampa di lancio è 253,5 am / s (8 nanometri all’anno) più veloce della velocità di fuga rispetto al centro di massa reciproco.

Altezza della bassa velocità e traiettorie

Ignorando tutti i fattori che la forza gravitazionale tra il corpo e l’oggetto, un oggetto proiettata verticalmente a velocità v {\displaystyle v} dalla superficie di un corpo sferico con velocità di fuga v e {\displaystyle v_{e}} e raggio R {\displaystyle R} raggiungerà un’altezza massima h {\displaystyle h} soddisfare l’equazione

v = v e h R + h , {\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}

che, la risoluzione per h risultati in

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}

dove x = v / v e {\textstyle x=v/v_{e}} è il rapporto tra la velocità iniziale v {\displaystyle v} la velocità di fuga v .e. {\stile di visualizzazione v_{e}.}

A differenza della velocità di fuga, la direzione (verticalmente verso l’alto) è importante per raggiungere la massima altezza.

Traiettoria

Se un oggetto raggiunge esattamente la velocità di fuga, ma non è diretto direttamente dal pianeta, allora seguirà un percorso o una traiettoria curva. Sebbene questa traiettoria non formi una forma chiusa, può essere definita un’orbita. Supponendo che la gravità sia l’unica forza significativa nel sistema, la velocità di questo oggetto in qualsiasi punto della traiettoria sarà uguale alla velocità di fuga in quel punto a causa della conservazione dell’energia, la sua energia totale deve sempre essere 0, il che implica che ha sempre velocità di fuga; vedi la derivazione sopra. La forma della traiettoria sarà una parabola il cui fuoco si trova al centro di massa del pianeta. Una fuga effettiva richiede una rotta con una traiettoria che non si intersechi con il pianeta, o la sua atmosfera, poiché ciò causerebbe l’arresto dell’oggetto. Quando ci si allontana dalla sorgente, questo percorso è chiamato un’orbita di fuga. Le orbite di fuga sono note come orbite C3 = 0. C3 è l’energia caratteristica, = – GM / 2a, dove a è il semiasse maggiore, che è infinito per le traiettorie paraboliche.

Se il corpo ha una velocità maggiore della velocità di fuga, il suo percorso formerà una traiettoria iperbolica e avrà una velocità iperbolica in eccesso, equivalente all’energia extra che il corpo ha. Un delta-v extra relativamente piccolo sopra quello necessario per accelerare alla velocità di fuga può risultare in una velocità relativamente grande all’infinito. Alcune manovre orbitali fanno uso di questo fatto. Ad esempio, in un luogo in cui la velocità di fuga è di 11,2 km/s, l’aggiunta di 0,4 km/s produce una velocità in eccesso iperbolica di 3,02 km/s:

v ∞ = V 2 − v e 2 = ( 11,6 km/s ) 2 − ( 11,2 km/s ) 2 ≈ 3.02 km / s . Per maggiori informazioni clicca qui}}^{2}}}={\sqrt {(11,6 {\testo {km / s}})^{2}-(11.2{\testo{ km / s}})^{2}}}\circa 3,02 {\text {km / s}}. Per maggiori informazioni clicca qui}}^{2}}}={\sqrt {(11,6 {\testo {km / s}})^{2}-(11.2{\testo{ km / s}})^{2}}}\circa 3,02 {\text {km / s}}.}

Se un corpo in orbita circolare (o alla periapsi di un’orbita ellittica) accelera lungo la sua direzione di marcia per sfuggire alla velocità, il punto di accelerazione formerà la periapsi della traiettoria di fuga. L’eventuale direzione di marcia sarà a 90 gradi rispetto alla direzione nel punto di accelerazione. Se il corpo accelera al di là della velocità di fuga, l’eventuale direzione di marcia sarà ad un angolo più piccolo e indicata da uno degli asintoti della traiettoria iperbolica che sta prendendo. Ciò significa che la tempistica dell’accelerazione è fondamentale se l’intenzione è quella di fuggire in una particolare direzione.

Se la velocità a periapsi è v, allora l’eccentricità della traiettoria è data da:

e = 2 (v / v e ) 2-1 {\displaystyle e=2 (v / v_{e})^{2}-1}

Questo è valido per traiettorie ellittiche, paraboliche e iperboliche. Se la traiettoria è iperbolica o parabolica, si avvicinerà asintoticamente a un angolo θ {\displaystyle\theta } dalla direzione a periapsi, con

sin θ θ = 1 / e . {\displaystyle \ sin \ theta =1 / e.}

La velocità si avvicinerà asintoticamente a

v 2 – v e 2 . il sito utilizza cookie tecnici e di terze parti. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}

Elenco delle velocità di fuga

In questa tabella, la metà sinistra fornisce la velocità di fuga dalla superficie visibile (che può essere gassosa come per esempio con Giove), relativa al centro del pianeta o della luna (cioè, non relativa alla sua superficie in movimento). Nella metà destra, Ve si riferisce alla velocità relativa al corpo centrale (ad esempio il sole), mentre Vte è la velocità (sulla superficie visibile del corpo più piccolo) relativa al corpo più piccolo (pianeta o luna).

Le ultime due colonne dipenderanno precisamente da dove viene raggiunta la velocità di fuga in orbita, poiché le orbite non sono esattamente circolari (in particolare Mercurio e Plutone).

Derivare la velocità di fuga usando il calcolo

Sia G la costante gravitazionale e sia M la massa della terra (o altro corpo gravitante) e m la massa del corpo o del proiettile in fuga. Ad una distanza r dal centro di gravitazione il corpo sente una forza attraente

F = G M m r 2 . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Il lavoro necessario per spostare il corpo su una piccola distanza dr contro questa forza è quindi dato da

d W = F d r = G M m r 2 d r . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

Il totale del lavoro necessario per spostare il corpo dalla superficie r0 del corpo gravitante verso l’infinito è quindi

W = ∫ r 0 ∞ G M M a r 2 d r = G M M a r 0 = m g r 0 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione. In questo modo è possibile accedere a tutte le informazioni che si desidera visualizzare.}

per fare questo lavoro al fine di raggiungere l’infinito, il corpo della minima energia cinetica al momento della partenza deve corrispondere a questo lavoro, in modo che la velocità di fuga v0 soddisfa

1 2 m v 0 2 = G M M a r 0 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}

che si traduce in

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r a 0 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Vedi anche

Note

• Escape velocity calculator
• Web-based numerico escape velocity calculator