Úniková rychlost

v nebeské mechanice je úniková rychlost nebo úniková rychlost minimální rychlost potřebná pro volný, nehybný objekt, aby unikl z gravitačního vlivu primárního tělesa, a tak dosáhl nekonečné vzdálenosti od něj. Obvykle se uvádí jako ideální rychlost, ignoruje atmosférické tření. Ačkoli termín „úniková rychlost“ je běžný, je přesněji popsán jako rychlost než rychlost, protože je nezávislý na směru; úniková rychlost se zvyšuje s hmotností primárního těla a klesá se vzdáleností od primárního těla. Úniková rychlost tedy závisí na tom, jak daleko objekt již urazil, a jeho výpočet v dané vzdálenosti bere v úvahu skutečnost,že bez nového zrychlení se při cestě zpomalí-kvůli masivní gravitaci těla-ale nikdy se nezastaví.

raketa, neustále zrychlovaná výfukem, může uniknout, aniž by dosáhla únikové rychlosti, protože stále přidává kinetickou energii ze svých motorů. Může dosáhnout úniku při jakékoli rychlosti, vzhledem k dostatečnému množství pohonných látek, které zajistí nové zrychlení rakety, aby bylo možné čelit gravitačnímu zpomalení a udržet tak její rychlost.

obecněji řečeno, úniková rychlost je rychlost, při které se součet kinetické energie objektu a jeho gravitační potenciální energie rovná nule; objekt, který dosáhl únikové rychlosti, není ani na povrchu, ani na uzavřené oběžné dráze (jakéhokoli poloměru). S únikovou rychlostí ve směru směřujícím od země masivního těla se objekt vzdálí od těla, navždy zpomalí a blíží se, ale nikdy nedosáhne nulové rychlosti. Jakmile je dosaženo únikové rychlosti, není třeba použít žádný další impuls, aby mohl pokračovat ve svém úniku. Jinými slovy, pokud je dána úniková rychlost, objekt se bude vzdalovat od druhého těla, neustále zpomaluje, a asymptoticky se přiblíží nulové rychlosti, jak se vzdálenost objektu blíží nekonečnu, nikdy se nevrátí. Rychlosti vyšší než úniková rychlost si zachovávají kladnou rychlost v nekonečné vzdálenosti. Všimněte si, že minimální úniková rychlost předpokládá, že nedochází k žádnému tření (např. atmosférický odpor), které by zvýšilo požadovanou okamžitou rychlost, aby uniklo gravitačnímu vlivu, a že nedojde k žádnému budoucímu zrychlení nebo cizímu zpomalení (například z tahu nebo z gravitace jiných těles), což by změnilo požadovanou okamžitou rychlost.

úniková rychlost ve vzdálenosti d od středu sféricky symetrického primárního tělesa (jako je hvězda nebo planeta) s hmotností M je dána vzorcem

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}

kde G je univerzální gravitační konstanta (G ≈ 6,67×10-11 m3 * kg-1 * s-2). Úniková rychlost je nezávislá na hmotnosti unikajícího objektu. Například úniková rychlost ze zemského povrchu je asi 11,186 km / s (40,270 km / h; 25,020 mph; 36,700 ft / s).

pokud je dána počáteční rychlost v {\displaystyle V} větší než úniková rychlost v e , {\displaystyle v_{e},} objekt se asymptoticky přiblíží hyperbolické nadměrné rychlosti v ∞ , {\displaystyle v_{\infty },} splňující rovnici:

v ∞ 2 = v 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_ {\infty }} ^{2}=v^{2} – {v_{e}}^{2}.}

v těchto rovnicích se nebere v úvahu atmosférické tření (odpor vzduchu).

přehled

Luna 1, vypuštěná v roce 1959, byla prvním člověkem vytvořeným objektem, který dosáhl únikové rychlosti ze země (viz níže uvedená tabulka).

existence únikové rychlosti je důsledkem zachování energie a energetického pole konečné hloubky. Pro objekt s danou celkovou energií, který se pohybuje pod konzervativními silami (jako je statické gravitační pole), je možné, aby objekt dosáhl pouze kombinací míst a rychlostí, které mají tuto celkovou energii; a místa, která mají vyšší potenciální energii, než je tato, nelze vůbec dosáhnout. Přidáním rychlosti (kinetické energie) k objektu rozšiřuje možná místa, kterých lze dosáhnout, dokud se s dostatečnou energií nestanou nekonečnými.

pro danou gravitační potenciální energii v dané poloze je úniková rychlost minimální rychlostí, kterou musí objekt bez pohonu „uniknout“ z gravitace (tj. tak, aby ji gravitace nikdy nestihla stáhnout zpět). Úniková rychlost je ve skutečnosti rychlost (ne rychlost), protože neurčuje směr: bez ohledu na to, jaký je směr jízdy, může objekt uniknout gravitačnímu poli (za předpokladu, že jeho cesta neprotíná planetu).

elegantní způsob, jak odvodit vzorec pro únikovou rychlost, je použít princip zachování energie (pro jiný způsob, založený na práci, viz níže). V zájmu jednoduchosti, pokud není uvedeno jinak, předpokládáme, že objekt unikne gravitačnímu poli jednotné sférické planety tím, že se od něj vzdálí a že jedinou významnou silou působící na pohybující se objekt je gravitace planety. Představte si, že kosmická loď o hmotnosti m je zpočátku ve vzdálenosti r od středu hmoty planety, jejíž hmotnost je M a její počáteční rychlost se rovná její únikové rychlosti, v e {\displaystyle v_{e}} . Ve svém konečném stavu bude nekonečná vzdálenost od planety a její rychlost bude zanedbatelně malá. Kinetická energie K a gravitační potenciální energie Ug jsou jediné typy energie, se kterými se budeme zabývat (budeme ignorovat odpor atmosféry), takže zachováním energie

( k + u g ) initial = ( K + U G ) final {\displaystyle (K+u_{g})_{\text{initial}}=(K+u_{g})_{\text{final}}}

můžeme nastavit kfinal = 0, protože konečná rychlost je libovolně malá, a Ugfinal = 0, protože konečná vzdálenost je nekonečno, takže

⇒ 1 2 m v e 2 + − g m m r = 0 + 0 ⇒ v e = 2 g m r = 2 μ r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2\mu}{r}}={\sqrt {\frac {2\mu} {r}}\end{aligned}}

kde μ standardní gravitační parametr.

stejný výsledek se získá relativistickým výpočtem, v tomto případě proměnná r představuje radiální souřadnici nebo snížený obvod schwarzschildovy metriky.

definováno trochu formálněji,“ úniková rychlost “ je počáteční rychlost potřebná k přechodu z počátečního bodu v poli gravitačního potenciálu do nekonečna a končí v nekonečnu se zbytkovou rychlostí nula, bez jakéhokoli dalšího zrychlení. Všechny rychlosti a rychlosti se měří s ohledem na pole. Navíc úniková rychlost v bodě v prostoru se rovná rychlosti, kterou by měl objekt, kdyby začal v klidu z nekonečné vzdálenosti a byl gravitací přitahován k tomuto bodu.

při běžném použití je počáteční bod na povrchu planety nebo měsíce. Na povrchu Země je úniková rychlost asi 11,2 km / s, což je přibližně 33násobek rychlosti zvuku (Mach 33) a několikanásobek úsťové rychlosti kulky (až 1,7 km / s). V nadmořské výšce 9 000 km v „vesmíru“ je však o něco méně než 7,1 km / s. Všimněte si, že tato úniková rychlost je relativní k nerotujícímu referenčnímu rámci, nikoli vzhledem k pohybujícímu se povrchu planety nebo měsíce (viz níže).

úniková rychlost je nezávislá na hmotnosti unikajícího objektu. Nezáleží na tom, zda je hmotnost 1 kg nebo 1 000 kg; co se liší, je množství potřebné energie. Pro objekt o hmotnosti m {\displaystyle m} energie potřebná k úniku z gravitačního pole Země je GMm / r, funkce hmotnosti objektu (kde r je poloměr Země, nominálně 6,371 km (3,959 mi), G je gravitační konstanta a M je hmotnost Země, M = 5,9736 × 1024 kg). Související množství je specifická orbitální energie, která je v podstatě součtem kinetické a potenciální energie děleno hmotností. Objekt dosáhl únikové rychlosti, když je specifická orbitální energie větší nebo rovna nule.

scénáře

z povrchu tělesa

alternativní výraz pro únikovou rychlost v e {\displaystyle v_{e}} zvláště užitečný na povrchu těla je:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}

kde r je vzdálenost mezi středem tělesa a bodem, ve kterém se vypočítává úniková rychlost, a g je gravitační zrychlení v této vzdálenosti(tj.

pro těleso se sféricky symetrickým rozložením hmotnosti je úniková rychlost v e {\displaystyle v_{e}} z povrchu úměrná poloměru za předpokladu konstantní hustoty a úměrná druhé odmocnině průměrné hustoty ρ.

v e = K r ρ {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}

kde k = 8 3 π G 2. 2.364 × 10 − 5 m 1.5 kg − 0.5 s − 1 {\textstyle k={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi g}}\přibl 2.364\krát 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5} {\text {s}}^{-1}}

Všimněte si, že tato úniková rychlost je relativní k nerotujícímu referenčnímu rámci, nikoli vzhledem k pohybujícímu se povrchu planety nebo měsíce, jak nyní vysvětlujeme.

z rotujícího tělesa

úniková rychlost vzhledem k povrchu rotujícího tělesa závisí na směru pohybu unikajícího tělesa. Například, protože rotační rychlost země je 465 m / s na rovníku, raketa vypuštěná tangenciálně od rovníku Země na východ vyžaduje počáteční rychlost asi 10.735 km / s vzhledem k pohybující se ploše v místě startu, aby unikla, zatímco raketa vypuštěná tangenciálně od rovníku Země na západ vyžaduje počáteční rychlost asi 11.665 km / s vzhledem k této pohyblivé ploše. Povrchová rychlost klesá s kosinem zeměpisné šířky, takže kosmická zařízení jsou často umístěna co nejblíže rovníku, např. Americký Mys Canaveral (28°28′ severní šířky) a francouzské Guyanské vesmírné středisko (5°14′ severní šířky).

praktické úvahy

ve většině situací je nepraktické dosáhnout únikové rychlosti téměř okamžitě, kvůli předpokládanému zrychlení a také proto, že pokud existuje atmosféra, hypersonické rychlosti (na Zemi rychlost 11,2 km / s nebo 40 320 km / h) by způsobily, že by většina objektů shořela v důsledku aerodynamického zahřívání nebo by byla roztrhána atmosférickým odporem. Pro skutečnou únikovou dráhu bude kosmická loď neustále zrychlovat z atmosféry, dokud nedosáhne únikové rychlosti odpovídající její nadmořské výšce(která bude menší než na povrchu). Nízká oběžná dráha Země na 160-2 000 km) a poté zrychlena na únikovou rychlost v této nadmořské výšce,která bude o něco nižší (asi 11, 0 km / s při nízké oběžné dráze Země 200 km). Požadovaná dodatečná Změna rychlosti je však mnohem menší, protože kosmická loď již má významnou orbitální rychlost (při nízké oběžné dráze Země je rychlost přibližně 7,8 km / s, nebo 28,080 km / h).

z obíhajícího tělesa

úniková rychlost v dané výšce je 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} krát rychlost na kruhové oběžné dráze ve stejné výšce, (porovnejte to s rovnicí rychlosti na kruhové oběžné dráze). To odpovídá skutečnosti, že potenciální energie vzhledem k nekonečnu objektu na takové oběžné dráze je mínus dvakrát větší než jeho kinetická energie, zatímco k úniku součtu potenciální a kinetické energie musí být alespoň nulová. Rychlost odpovídající kruhové oběžné dráze se někdy nazývá první kosmická rychlost, zatímco v této souvislosti je úniková rychlost označována jako druhá kosmická rychlost.

pro těleso na eliptické oběžné dráze, které chce zrychlit na únikovou dráhu, se požadovaná rychlost bude lišit a bude největší při periapsi, když je tělo nejblíže centrálnímu tělu. Orbitální rychlost těla však bude v tomto bodě také nejvyšší a požadovaná změna rychlosti bude nejnižší, jak vysvětluje Oberthův efekt.

Barycentrická úniková rychlost

technicky lze únikovou rychlost měřit buď jako relativní k druhému, centrálnímu tělesu, nebo vzhledem k těžišti nebo barycentru soustavy těles. Tedy pro systémy dvou těles, termín úniková rychlost může být nejednoznačný, ale obvykle to znamená barycentrickou únikovou rychlost méně masivního těla. V gravitačních polích se úniková rychlost vztahuje k únikové rychlosti testovaných částic s nulovou hmotností vzhledem k barycentru hmot generujících pole. Ve většině situací týkajících se kosmické lodi je rozdíl zanedbatelný. Pro hmotnost rovnající se raketě Saturn V je úniková rychlost vzhledem k odpalovací rampě o 253,5 am / s (8 nanometrů za rok) rychlejší než úniková rychlost vzhledem ke vzájemnému těžišti.

výška trajektorií nižší rychlosti

objekt promítaný svisle rychlostí v {\displaystyle v} z povrchu sférického tělesa s únikovou rychlostí v e {\displaystyle v_{e}} a poloměrem R {\displaystyle R} dosáhne maximální výšky h {\displaystyle H} splňující rovnici

v = v e h r + h, {\displaystyle V=V_{e}{\sqrt {\frac {h}{r+h}}}\ ,}

který, řešení pro h má za následek

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}

kde x = v / v e {\textstyle x=v/v_{e}} je poměr původní rychlosti v {\displaystyle v} k únikové rychlosti v e . {\displaystyle v_{e}.}

na rozdíl od únikové rychlosti je pro dosažení maximální výšky důležitý směr (svisle nahoru).

trajektorie

pokud objekt dosáhne přesně únikové rychlosti, ale není nasměrován přímo z planety, bude následovat zakřivenou dráhu nebo trajektorii. Ačkoli tato trajektorie netvoří uzavřený tvar, může být označována jako oběžná dráha. Za předpokladu, že gravitace je jedinou významnou silou v systému, rychlost tohoto objektu v kterémkoli bodě trajektorie se bude rovnat únikové rychlosti v tomto bodě kvůli zachování energie, jeho celková energie musí být vždy 0, což znamená, že má vždy únikovou rychlost; viz odvození výše. Tvar trajektorie bude parabola, jejíž ohnisko se nachází ve středu hmoty planety. Skutečný únik vyžaduje kurz s trajektorií, která se neprotíná s planetou nebo její atmosférou, protože by to způsobilo havárii objektu. Při odklonu od zdroje se tato cesta nazývá úniková dráha. Únikové dráhy jsou známé jako C3 = 0 oběžné dráhy. C3 je charakteristická energie, = – GM / 2a, kde a je polo-hlavní osa, která je nekonečná pro parabolické trajektorie.

pokud má tělo rychlost větší než úniková rychlost, pak jeho dráha vytvoří hyperbolickou trajektorii a bude mít nadměrnou hyperbolickou rychlost, což odpovídá extra energii, kterou má tělo. Relativně malá extra delta-v nad tím, co je potřeba ke zrychlení na únikovou rychlost, může mít za následek relativně velkou rychlost v nekonečnu. Některé orbitální manévry tuto skutečnost využívají. Například v místě, kde je úniková rychlost 11,2 km / s, přidání 0,4 km / s vede k hyperbolické nadměrné rychlosti 3,02 km / s:

v ∞ = v 2-v e 2 = (11,6 km / s) 2 – (11,2 km/s ) 2 ≈ 3.02 km / s. {\displaystyle v_ {\infty }={\sqrt {v^{2} – {v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6 {\text{ km / s}})^{2}-(11.2{\text{ km / s}})^{2}}}\přibližně 3,02 {\text{ km / s}}.}

pokud těleso na kruhové oběžné dráze (nebo v periapsi eliptické oběžné dráhy) zrychlí podél svého směru jízdy, aby uniklo rychlosti, bod zrychlení vytvoří periapsi únikové trajektorie. Případný směr jízdy bude ve směru 90 stupňů ke směru v bodě zrychlení. Pokud tělo zrychlí na únikovou rychlost, bude případný směr jízdy v menším úhlu, a označeno jedním z asymptotů hyperbolické trajektorie, kterou nyní užívá. To znamená, že načasování zrychlení je kritické, pokud je záměrem uniknout určitým směrem.

pokud je rychlost při periapse v, Pak excentricita trajektorie je dána:

e = 2 (v / v e ) 2 − 1 {\displaystyle e=2 (v / v_{e})^{2}-1}

to platí pro eliptické, parabolické a hyperbolické trajektorie. Pokud je trajektorie hyperbolická nebo parabolická, asymptoticky se přiblíží k úhlu θ {\displaystyle \ theta } Ze směru periapsis, s

sin ⁡ θ = 1 / e . {\displaystyle \ sin \theta =1 / e.}

rychlost se asymptoticky přiblíží

v 2-v e 2. {\displaystyle {\sqrt {v^{2} – v_{e}^{2}}}.}

seznam únikových rychlostí

v této tabulce udává levá polovina únikovou rychlost z viditelného povrchu (který může být plynný jako například u Jupiteru) vzhledem ke středu planety nebo měsíce (tj. nikoli vzhledem k jeho pohyblivému povrchu). V pravé polovině Ve označuje rychlost vzhledem k centrálnímu tělu (například slunci), zatímco Vte je rychlost (na viditelném povrchu menšího těla) vzhledem k menšímu tělu (planetě nebo měsíci).

poslední dva sloupce budou přesně záviset na tom, kde je dosaženo únikové rychlosti na oběžné dráze, protože oběžné dráhy nejsou přesně kruhové (zejména Merkur a Pluto).

odvození únikové rychlosti pomocí počtu

Nechť G je gravitační konstanta a nechť M je hmotnost země (nebo jiného gravitačního tělesa) a m je hmotnost unikajícího tělesa nebo projektilu. Ve vzdálenosti r od středu gravitace tělo cítí přitažlivou sílu

F = G M M R2 . {\displaystyle F=G {\frac {Mm}{r^{2}}}.}

práce potřebná k pohybu těla na malou vzdálenost dr proti této síle je proto dána

d W = F d r = G M M r 2 D r . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

celková práce potřebná k přesunu tělesa z povrchu R0 gravitačního tělesa do nekonečna je pak

W = r r 0 G G M M r 2 D r = G M M R 0 = m g r 0 . {\displaystyle W= \ int _ {r_{0}}^{\infty }G {\frac {Mm}{r^{2}}}\, dr=G {\frac {Mm}{r_{0}} = mgr_{0}.}

aby tato práce dosáhla nekonečna, musí minimální kinetická energie těla při odletu odpovídat této práci, takže úniková rychlost v0 splňuje

1 2 m v 0 2 = G m M R 0, {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=g{\frac {Mm}{r_{0}}},}

což má za následek

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r 0 . {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}} = {\sqrt {2gr_{0}}}.}

Viz také

poznámky

• kalkulačka rychlosti úniku
• Webová numerická kalkulačka rychlosti úniku