konzervativní vs nekonzervativní síly: klíčové rozdíly

tento příspěvek může obsahovat přidružené odkazy na knihy nebo jiné zdroje, které osobně doporučuji.

v newtonovské fyzice existují obecně dva typy sil; konzervativní síly a nekonzervativní síly. Tato klasifikace mezi těmito dvěma typy sil se provádí kvůli několika klíčovým rozdílům mezi nimi.

stručně řečeno, konzervativní síly jsou odvozeny z potenciálu, zatímco nekonzervativní síly nejsou. Konzervativní síly jsou také nezávislé na cestě a šetří mechanickou energii (tedy název konzervativní síla), zatímco nekonzervativní síly jsou závislé na cestě a nezachovávají mechanickou energii.

zde je malá srovnávací tabulka dvou sil:

v následujících částech bude každý z těchto rozdílů vysvětlen mnohem podrobněji.

odvození prostřednictvím potenciální energie

jedním z klíčových rozdílů mezi konzervativními a nekonzervativními silami je způsob, jakým jsou definovány, zejména jejich matematické významy.

konzervativní síla může být vždy spojena s potenciální energií, samozřejmě specifická forma potenciální energie vždy v závislosti na situaci.

zejména konzervativní síly jsou definovány jako negativní gradienty potenciálu. Gradient se obvykle zapisuje jako druh delta-symbolu vzhůru nohama a potenciál označíme V (x), protože závisí na poloze:

i když to může vypadat trochu pokročile, gradient jednoduše znamená parciální derivaci s ohledem na každou ze složek dané veličiny.

v našem případě je množství nějakou potenciální energetickou funkcí a potenciální energie jsou obecně závislé na poloze. Stručně řečeno, konzervativní síly jsou jednoduše negativní derivace potenciálu vzhledem k poloze:

intuitivně můžete vidět, jak tato definice dává smysl. Přemýšlejte o situaci, kdy jste v nějaké pozici, kde máte určité množství potenciální energie.

například by to mohlo být v zemském gravitačním poli vznášejícím se někde ve vesmíru nad zemí. Nyní přemýšlejte o tom, co se stane, když na vás působí gravitační síla Země.

vaše pozice se zřejmě změní, stejně jako vaše potenciální energie, když se dostanete blíž k zemi. To znamená, že síla působící na vás je spojena se změnou vaší pozice a potenciální energie, což dává dokonalý smysl.

ekvivalentně, potenciální energie může být definována pouhým sčítáním všech konzervativních sil působících na objekt v každém bodě během určité cesty.

matematicky to znamená, že celková potenciální energie je integrál (tj. souvislý součet nebo součet opravdu opravdu malých přírůstků) dotyčné konzervativní síly s ohledem na cestu.

to je také snadné zjistit z definice konzervativní síly pouhým pohybem kolem termínů a integrací obou stran:

tyto definice lze snadno použít k nalezení konzervativních sil a potenciálních energetických funkcí, které se navzájem shodují.

použijme znovu příklad gravitačního pole. Pokud známe sílu nebo potenciální energii, můžeme odvodit odpovídající sílu nebo potenciál pro tento případ.

řekněme, že známe gravitační potenciální energii (nahrazení x r, protože r je pozice v tomto případě):

gravitační síla je pak jednoduše zápornou derivací this:

a naopak, pokud známe gravitační sílu, která má být:

pak bychom mohli najít potenciální energii integrací tohoto:

tyto rovnice fungují, protože gravitační síly jsou konzervativní síly, což znamená, že mohou být spojeny s potenciální energií.

na druhé straně zvažte něco jako viskózní tažná síla, což je síla, která působí na objekt pohybující se kapalinou nějakého druhu. Tažná síla je ve skutečnosti síla závislá na rychlosti, což znamená, že na objekt pohybující se vyšší rychlostí je větší síla.

to samozřejmě dává smysl, pokud přemýšlíte o objektu, který se pohybuje tekutinou. Matematická definice tažné síly je následující:

zde C je koeficient odporu, který závisí na dané tekutině, A je povrchová plocha tekutiny, která prochází, ρ je hustota tekutiny a v je rychlost objektu.

důvod, proč je tato tažná síla pozoruhodná, je ten, že s ní není spojena žádná zvláštní potenciální energie. Není to tedy konzervativní síla.

stejná myšlenka platí také pro věci, jako je tření a odpor vzduchu (je také třeba poznamenat, že tažná síla a odpor vzduchu jsou jen různé formy tření).

všechny třecí síly jsou nekonzervativní síly, protože nejsou odvozeny z potenciálu. Nakonec však tato definice vychází z toho, jak tyto síly šetří energii.

tato myšlenka má zvláštní význam v Lagrangiánské mechanice, která se opírá o pojem konzervativních sil. V tomto článku se podrobněji zabývám tímto konceptem.

zachování mechanické energie

další klíčovou charakteristikou konzervativních sil je to, že šetří mechanickou energii systému nebo objektu. Mechanická energie jednoduše znamená součet kinetické a potenciální energie.

nekonzervativní síly naopak ne. Spíše odvádějí energii ze systému (přeměňují energii na teplo / jiné formy energie, které jsou obvykle považovány za irelevantní v problému, což znamená, že energie je „ztracena“).

ve skutečnosti je tato vlastnost úspory energie místem, odkud pocházejí jména konzervativních a nekonzervativních sil.

to dává smysl, pokud přemýšlíte například o gravitační síle znovu. Objekt padající v prostoru kvůli gravitaci, kde není žádný odpor vzduchu nebo cokoli jiného, neztratí žádnou energii, když cestuje v prázdném prostoru.

jakmile však objekt spadne například do atmosféry planety, začne zažívat síly odporu vzduchu a ztratí energii, a proto také zpomalí.

toto zachování mechanické energie také vede k důležité vlastnosti konzervativních sil zvané path independence.

je také třeba poznamenat, že energie není ve skutečnosti „ztracena“, pokud účtujete každou možnou proměnnou v systému. Energie se jednoduše mění v jiné formy, například kinetická energie se mění na tepelnou energii.

například v případě, že objekt spadne do atmosféry planety, může se zdát, že se při procesu ztrácí určitá energie, protože se objekt zpomaluje,ale to je pouze v případě, že účtujete pouze samotný objekt.

ve skutečnosti, pokud byste měli vysvětlit skutečně celý systém, který by zahrnoval také všechny molekuly vzduchu, pak by žádná energie nebyla ztracena.

energie, která se zdála být „ztracena“, by se ve skutečnosti jen změnila na kinetickou energii molekul vzduchu, která by se ve větším měřítku jevila jako teplo.

závislost na cestě a nezávislost

dalším faktorem, kde se konzervativní síly liší od nekonzervativních sil, je cesta, kterou objekt zaujme, a to, jak je síla ovlivněna touto volbou cesty.

tím mám na mysli to, že v případě konzervativních sil nezáleží na cestě, kterou objekt zaujme, pokud jde o celkovou mechanickou energii.

tento koncept lze nejlépe vysvětlit na příkladu. Zvažte tento scénář; jste ve vesmíru nad zemí ve vzdálenosti r1 od středu Země.

jak vás gravitační síla země začne přitahovat k zemi, přirozeně sledujete přímou cestu a vaše gravitační potenciální energie se liší v nějakém jiném bodě cesty, když se přiblížíte k zemi (nyní ve vzdálenosti r2 od středu Země). Tady je to, co mám na mysli:

zde je změna vaší gravitační potenciální energie jednoduše:

protože gravitace je v zásadě konzervativní síla, pokud nejsou brány v úvahu odpor vzduchu nebo jiné síly, během této cesty se neztratí žádná celková mechanická energie. Celková změna mechanické energie je tedy jednoduše (ΔT je bez ohledu na změnu kinetické energie):

představte si, že vás gravitace netáhla do přímky. Co když vás to přitáhlo nějakou podivnou zakřivenou cestou, ale stále jste skončili ve stejném koncovém bodě? Tady je to, co by se stalo:

je jasné, že pokud je počáteční a koncový bod stejný, nezáleží na cestě, kterou podniknete. Celková změna mechanické energie je stále stejná. Tato myšlenka se nazývá path independence a konzervativní síly jsou path independent forces.

nezávislost dráhy je přímým důsledkem konzervativních sil, které zachovávají celkovou mechanickou energii.

Přemýšlejte o tom. Pokud během určité cesty „neztratíte“ žádnou energii, pak práce konzervativní síly (změna mechanické energie v důsledku této síly) může být zcela určena pouze počátečním a koncovým bodem této cesty. Co se stane mezi počátečním a koncovým bodem, nezáleží na tom, pokud během cesty nedojde ke ztrátě energie.

pokud byste se nyní zamysleli nad opačným scénářem, kdy místo konzervativní síly na vás působí nekonzervativní síla.

představte si například, že letíte vzduchem (na Zemi, takže můžeme použít V=mgh) a tak na vás zjevně působí síla odporu vzduchu.

nyní nejprve přemýšlejte o létání v přímce:

zde je změna potenciální energie jednoduše:

zatím zde není nic překvapivého. Háček je v tom, že protože odpor vzduchu je nekonzervativní síla, během cesty se ztratí určitá kinetická energie, což znamená, že celková změna mechanické energie není jednoduše ΔT + ΔV.

proto změnu mechanické energie nelze určit pouhým počátečním a koncovým bodem dráhy. Musíte také zohlednit samotnou cestu, což se nazývá závislost na cestě.

tady je to, co mám na mysli; vezměte stejný scénář (letíte vzduchem) a změňte cestu, kterou cestujete, na něco jiného. Počáteční a koncový bod můžete ponechat stejný, pokud si budete přát:

nyní, jak se vaše cesta mění, mění se také odpor vzduchu působící na vás během cesty. V tomto případě je vaše cesta delší, takže síla odporu vzduchu působí na vás delší dobu, a proto ztrácíte více kinetické energie.

to znamená, že celková změna mechanické energie je také odlišná, když měníme dráhu, což znamená, že práce nekonzervativní síly je odlišná jako v případě přímé dráhy.

pokud se vám líbilo to, co jste zde četli, zvažte kontrolu některých mých dalších článků, zejména těch o klasické mechanice.

Patří sem například úvod do Lagrangovské mechaniky, úvod do Hamiltonovské mechaniky (kondenzovanou verzi najdete zde) a srovnání těchto dvou formulací.

mám také docela obsáhlý článek porovnávající newtonovskou a Lagrangovskou mechaniku, který najdete zde.