Escape velocity

i himmelsk mekanik er flugthastighed eller flugthastighed den minimale hastighed, der er nødvendig for, at et frit, ikke-fremdrevet objekt kan flygte fra gravitationspåvirkningen af et primært legeme og således nå en uendelig afstand fra det. Det er typisk angivet som en ideel hastighed, ignorerer atmosfærisk friktion. Selvom udtrykket “flugthastighed” er almindeligt, beskrives det mere præcist som en hastighed end en hastighed, fordi den er uafhængig af retning; flugthastigheden stiger med massen af det primære legeme og falder med afstanden fra det primære legeme. Flugthastigheden afhænger således af, hvor langt objektet allerede har rejst, og dets beregning på en given afstand tager højde for det faktum, at det uden ny acceleration vil bremse, når det bevæger sig—på grund af den massive krops tyngdekraft—men det vil aldrig helt langsomt stoppe.

en raket, der kontinuerligt accelereres af dens udstødning, kan flygte uden nogensinde at nå flugthastigheden, da den fortsætter med at tilføje kinetisk energi fra sine motorer. Det kan opnå flugt ved enhver hastighed, givet tilstrækkeligt drivmiddel til at give raketten ny acceleration til at imødegå tyngdekraftens deceleration og dermed opretholde dens hastighed.

mere generelt er flugthastighed den hastighed, hvormed summen af et objekts kinetiske energi og dets tyngdepotentielle energi er lig med nul; et objekt, der har opnået flugthastighed, er hverken på overfladen eller i en lukket bane (med nogen radius). Med flugthastighed i en retning, der peger væk fra jorden af en massiv krop, vil objektet bevæge sig væk fra kroppen, bremse for evigt og nærme sig, men aldrig nå nulhastighed. Når flugthastigheden er opnået, behøver der ikke anvendes yderligere impuls for at den kan fortsætte i sin flugt. Med andre ord, hvis det gives flugthastighed, vil objektet bevæge sig væk fra den anden krop, konstant bremse og vil asymptotisk nærme sig nulhastighed, når objektets afstand nærmer sig uendelig, aldrig at komme tilbage. Hastigheder, der er højere end flugthastigheden, bevarer en positiv hastighed på uendelig afstand. Bemærk, at den minimale flugthastighed antager, at der ikke er nogen friktion (f.eks. atmosfærisk træk), hvilket ville øge den krævede øjeblikkelige hastighed for at undslippe gravitationspåvirkningen, og at der ikke vil være nogen fremtidig acceleration eller ekstern deceleration (for eksempel fra tryk eller fra andre legemers tyngdekraft), hvilket ville ændre den krævede øjeblikkelige hastighed.

flugthastighed i en afstand d fra midten af en sfærisk symmetrisk primær krop (såsom en stjerne eller en planet) med masse M er givet ved formlen

v e = 2 G M D {\displaystyle v_{E}={\frac {2GM} {d}}}}

hvor G er den universelle gravitationskonstant (g liter 6,67 liter 10-11 m3·kg−1·s−2). Flugthastigheden er uafhængig af massen af det undslippende objekt. For eksempel er flugthastigheden fra jordens overflade omkring 11,186 km/s (40.270 km/t; 25.020 mph; 36.700 ft/s).

når der gives en starthastighed V {\displaystyle V} større end flugthastigheden v e , {\displaystyle v_{e},} objektet vil asymptotisk nærme sig den hyperbolske overskudshastighed v displaystyle v_ {\infty},} tilfredsstillelse af ligningen:

V 2 = V 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_ {\infty }} ^{2}=V^{2} – {v_{e}}^{2}.}

i disse ligninger tages der ikke hensyn til atmosfærisk friktion (luftmodstand).

oversigt

Luna 1, der blev lanceret i 1959, var det første menneskeskabte objekt, der opnåede flugthastighed fra Jorden (se nedenstående tabel).

eksistensen af flugthastighed er en konsekvens af bevarelse af energi og et energifelt med endelig dybde. For et objekt med en given total energi, som bevæger sig underlagt konservative kræfter (såsom et statisk tyngdefelt) er det kun muligt for objektet at nå kombinationer af placeringer og hastigheder, der har den samlede energi; og steder, der har en højere potentiel energi end dette, kan slet ikke nås. Ved at tilføje hastighed (kinetisk energi) til objektet udvider den de mulige placeringer, der kan nås, indtil de med tilstrækkelig energi bliver uendelige.

for en given gravitationspotentialenergi i en given position er flugthastigheden den mindste hastighed, som et objekt uden fremdrift skal være i stand til at “flygte” fra tyngdekraften (dvs.så tyngdekraften aldrig formår at trække den tilbage). Flugthastighed er faktisk en hastighed (ikke en hastighed), fordi den ikke angiver en retning: uanset hvad kørselsretningen er, kan objektet undslippe gravitationsfeltet (forudsat at dets vej ikke skærer planeten).

en elegant måde at udlede formlen for flugthastighed er at bruge princippet om bevarelse af energi (for en anden måde, baseret på arbejde, Se nedenfor). For enkelhedens skyld antager vi, medmindre andet er angivet, at et objekt vil undslippe gravitationsfeltet på en ensartet sfærisk planet ved at bevæge sig væk fra den, og at den eneste signifikante kraft, der virker på det bevægelige objekt, er planetens tyngdekraft. Forestil dig, at et rumskib af masse m oprindeligt er i en afstand r fra planetens massecenter, hvis masse er M, og dens indledende hastighed er lig med dens flugthastighed, v e {\displaystyle v_{e}} . Ved sin endelige tilstand vil det være en uendelig afstand væk fra planeten, og dens hastighed vil være ubetydelig lille. Kinetisk energi K og gravitationel potentiel energi Ug er de eneste typer energi, som vi vil håndtere (vi vil ignorere atmosfærens træk), så ved bevarelse af energi,

( K + U G ) initial = ( K + U g ) final {\displaystyle (K+U_{g})_{\tekst{initial}}=(K+u_{g})_{\tekst{final}}} {\displaystyle (K+U_{g})_{\tekst{final}}} {\displaystyle(K+U_ {g})_{\tekst {initial}}=(k + U_ {g}) _ {\tekst {final}}}

vi kan indstille kfinal = 0, fordi den endelige hastighed er vilkårligt lille, og ugfinal = 0, fordi den endelige afstand er uendelig, så

liter 1 2 m v e 2 + − g M M R = 0 + 0 liter v e = 2 g m r = 2 liter r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightar {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightar {}&v_{E}={\frac {2GM} {r}}}={\frac {2\mu} {r}} \end {aligned}}}

hvor kur er standard gravitationsparameteren.

det samme resultat opnås ved en relativistisk beregning, i hvilket tilfælde variablen r repræsenterer den radiale koordinat eller den reducerede omkreds af Chvartschild-metrikken.

defineret lidt mere formelt, “flugthastighed” er den indledende hastighed, der kræves for at gå fra et indledende punkt i et tyngdepotentialefelt til uendelig og slutte ved uendelig med en resthastighed på nul uden yderligere acceleration. Alle hastigheder og hastigheder måles i forhold til feltet. Derudover er flugthastigheden på et punkt i rummet lig med den hastighed, som et objekt ville have, hvis det startede i hvile fra en uendelig afstand og blev trukket af tyngdekraften til det punkt.

i almindelig brug er det oprindelige punkt på overfladen af en planet eller måne. På jordens overflade er flugthastigheden omkring 11,2 km/s, hvilket er cirka 33 gange lydens hastighed (Mach 33) og flere gange mundhastigheden af en riffelkugle (op til 1,7 km / s). Men i 9.000 km højde i” rum ” er det lidt mindre end 7,1 km/s. Bemærk, at denne flugthastighed er i forhold til en ikke-roterende referenceramme, ikke i forhold til planetens eller månens bevægelige overflade (se nedenfor).

flugthastigheden er uafhængig af massen af det undslippende objekt. Det betyder ikke noget, om massen er 1 kg eller 1.000 kg; hvad der adskiller sig er den krævede mængde energi. For et objekt med masse m {\displaystyle m} den energi, der kræves for at undslippe Jordens tyngdefelt, er GMm / r, en funktion af objektets masse (hvor r er radius af jorden, nominelt 6.371 kilometer (3.959 mi), G er gravitationskonstanten, og M er Jordens masse, m = 5.9736 til 1024 kg). En relateret mængde er den specifikke orbitalenergi, som i det væsentlige er summen af den kinetiske og potentielle energi divideret med massen. Et objekt har nået flugthastighed, når den specifikke orbitalenergi er større end eller lig med nul.

scenarier

fra overfladen af et legeme

et alternativt udtryk for flugthastigheden v e {\displaystyle v_{e}} særligt nyttigt på overfladen på kroppen er:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\kvm {2gr\,}}}

hvor r er afstanden mellem kroppens centrum og det punkt, hvor flugthastigheden beregnes, og g er gravitationsaccelerationen i den afstand (dvs.overfladens tyngdekraft).

for et legeme med en sfærisk symmetrisk fordeling af masse er flugthastigheden v e {\displaystyle v_{e}} fra overfladen proportional med radius, der antager konstant densitet, og proportional med kvadratroden af gennemsnitsdensiteten.

v E = K R L {\displaystyle v_{e}=Kr{\KVRT {\rho }}}

hvor K = 8 3 Kvr G Kvr 2.364 Kvr 10 − 5 m 1.5 kg − 0.5 s − 1 {\tekststil K={\KVRT {{\frac {8}{3}}\pi g}}\ca 2.364\gange 10^{-5}{\tekst{ m}}^{1.5}{\tekst{ kg}}^{-0.5} {\tekst{ s}}^{-1}}

Bemærk, at denne flugthastighed er i forhold til en ikke-roterende referenceramme, ikke i forhold til planetens eller månens bevægelige overflade, som vi nu forklarer.

fra et roterende legeme

flugthastigheden i forhold til overfladen af et roterende legeme afhænger af den retning, i hvilken det undslippende legeme bevæger sig. For eksempel, da Jordens rotationshastighed er 465 m/s ved ækvator, kræver en raket, der lanceres tangentielt fra jordens ækvator mod øst, en starthastighed på ca.10,735 km/s i forhold til den bevægelige overflade ved lanceringspunktet for at undslippe, mens en raket, der lanceres tangentielt fra jordens ækvator mod vest, kræver en starthastighed på ca. 11,665 km/s i forhold til den bevægelige overflade. Overfladehastigheden falder med cosinus af den geografiske breddegrad, så rumlanceringsfaciliteter er ofte placeret så tæt på ækvator som muligt, f. eks. den amerikanske Cape Canaveral (breddegrad 28 Til 28 ‘N) og det franske Guyana Rumcenter (breddegrad 5 til 14’ N).

praktiske overvejelser

i de fleste situationer er det upraktisk at opnå flugthastighed næsten øjeblikkeligt på grund af den underforståede acceleration, og også fordi hvis der er en atmosfære, vil de involverede hypersoniske hastigheder (på jorden en hastighed på 11,2 km/s eller 40.320 km/t) få de fleste genstande til at brænde op på grund af aerodynamisk opvarmning eller blive revet fra hinanden ved atmosfærisk træk. For en faktisk flugtbane vil et rumfartøj accelerere støt ud af atmosfæren, indtil det når den flugthastighed, der passer til dens højde (som vil være mindre end på overfladen). I mange tilfælde kan rumfartøjet først placeres i en parkeringsbane (f.eks. en lav jordbane ved 160-2. 000 km) og derefter accelereres til flugthastigheden i den højde,som vil være lidt lavere (ca. 11,0 km/s ved en lav jordbane på 200 km). Den krævede yderligere hastighedsændring er imidlertid langt mindre, fordi rumfartøjet allerede har en betydelig orbitalhastighed (i lav jordbanehastighed er cirka 7,8 km/s eller 28.080 km/t).

fra en kredsende krop

flugthastigheden i en given højde er 2 {\displaystyle {2}}} gange hastigheden i en cirkulær bane i samme højde (Sammenlign dette med hastighedsligningen i cirkulær bane). Dette svarer til det faktum, at den potentielle energi med hensyn til uendelighed af et objekt i en sådan bane er minus to gange dens kinetiske energi, mens for at undslippe summen af potentiel og kinetisk energi skal være mindst nul. Den hastighed, der svarer til den cirkulære bane, kaldes undertiden den første kosmiske hastighed, hvorimod i denne sammenhæng kaldes flugthastigheden den anden kosmiske hastighed.

for en krop i en elliptisk bane, der ønsker at accelerere til en flugtbane, vil den krævede hastighed variere og vil være størst ved periapsis, når kroppen er tættest på det centrale legeme. Imidlertid vil kroppens orbitalhastighed også være på sit højeste på dette tidspunkt, og den krævede ændring i hastighed vil være på sit laveste, som forklaret af Oberth-effekten.

Barycentrisk flugthastighed

teknisk flugthastighed kan enten måles som en relativ til den anden, centrale krop eller i forhold til massens centrum eller barycenter af legemets system. Således for systemer af to kroppe kan udtrykket flugthastighed være tvetydigt, men det er normalt beregnet til at betyde den barycentriske flugthastighed for den mindre massive krop. I gravitationsfelter henviser flugthastighed til flugthastigheden af nulmassetestpartikler i forhold til barycenteret af masserne, der genererer feltet. I de fleste situationer, der involverer rumfartøjer, er forskellen ubetydelig. For en masse svarende til en Saturn V-raket er flugthastigheden i forhold til affyringsrampen 253,5 am/s (8 nanometer om året) hurtigere end flugthastigheden i forhold til det gensidige massecenter.

højde af baner med lavere hastighed

ignorerer alle andre faktorer end tyngdekraften mellem kroppen og objektet, et objekt projiceret lodret ved hastighed v {\displaystyle v} fra overfladen af et sfærisk legeme med flugthastighed v e {\displaystyle v_{e}} og radius R {\displaystyle R} opnår en maksimal højde H {\displaystyle h} opfylder ligningen

V = V E H R + H , {\displaystyle v=v_{E}{\frac {H} {R+H}}}\ ,}

hvilken, løsning for h resulterer i

h = 2 1 − 2 R , {\displaystyle h={\frac {2}} {1-^{2}}}\ R\ ,}

hvor h = v / v e {\tekststil h=v/v_ {e}} er forholdet mellem den oprindelige hastighed v {\displaystyle v} og flugthastigheden v e . {\displaystyle v_{e}.}

i modsætning til flugthastighed er retningen (lodret op) vigtig for at opnå maksimal højde.

bane

hvis et objekt opnår nøjagtigt flugthastighed, men ikke rettes direkte væk fra planeten, vil det følge en buet sti eller bane. Selvom denne bane ikke danner en lukket form, kan den betegnes som en bane. Forudsat at tyngdekraften er den eneste signifikante kraft i systemet, vil dette objekts hastighed på ethvert tidspunkt i banen være lig med flugthastigheden på det tidspunkt på grund af energibesparelsen, dens samlede energi skal altid være 0, hvilket indebærer, at den altid har flugthastighed; se afledningen ovenfor. Banens form vil være en parabola, hvis fokus er placeret i centrum af planetens masse. En faktisk flugt kræver et kursus med en bane, der ikke krydser planeten eller dens atmosfære, da dette ville få objektet til at gå ned. Når du bevæger dig væk fra kilden, kaldes denne sti en flugtbane. Escape baner er kendt som C3 = 0 baner. C3 er den karakteristiske energi, = −GM/2a, hvor A er semi-hovedaksen, som er uendelig for parabolske baner.

hvis kroppen har en hastighed, der er større end flugthastigheden, vil dens sti danne en hyperbolsk bane, og den vil have en overskydende hyperbolsk hastighed svarende til den ekstra energi, kroppen har. En relativt lille ekstra delta-v over det, der er nødvendigt for at accelerere til flugthastigheden, kan resultere i en relativt stor hastighed ved uendelig. Nogle orbitale manøvrer gør brug af denne kendsgerning. For eksempel på et sted, hvor flugthastigheden er 11,2 km/s, giver tilsætningen af 0,4 km/s en hyperbolsk overskudshastighed på 3,02 km/s:

v − kr = v 2 − v e 2 = ( 11,6 km/s ) 2 – (11,2 km/s ) 2-kr 3.02 km / s . {\displaystyle v_ {\infty } ={\kvm {v^{2} – {v_{e}}^{2}}}={\(11,6 {\tekst{ km/s}})^{2}-(11.2{\tekst{ km/s}})^{2}}}\3.02 {\tekst{ km/s}}.}

hvis et legeme i cirkulær bane (eller ved periapsis af en elliptisk bane) accelererer langs sin kørselsretning for at undslippe hastighed, vil accelerationspunktet danne periapsis af flugtbanen. Den endelige kørselsretning vil være 90 grader i retning ved accelerationspunktet. Hvis kroppen accelererer til ud over flugthastigheden, vil den endelige kørselsretning være i en mindre vinkel og angivet med en af asymptoterne i den hyperbolske bane, den nu tager. Dette betyder, at tidspunktet for accelerationen er kritisk, hvis hensigten er at flygte i en bestemt retning.

hvis hastigheden ved periapsis er v, er banens ekscentricitet givet af:

e = 2 (v / v e) 2-1 {\displaystyle e=2 (v/v_{e})^{2}-1}

dette gælder for elliptiske, parabolske og hyperbolske baner. Hvis banen er hyperbolsk eller parabolisk, vil den asymptotisk nærme sig en vinkel, der er lig med en vinkel på {\displaystyle \theta } fra retningen ved periapsis, med

synden = 1 / e . {\displaystyle \ sin \ theta =1/e.}

hastigheden nærmer sig asymptotisk

v 2 − v e 2 . {\displaystyle {\SV {v^{2} – v_{e}^{2}}}.}

liste over flugthastigheder

i denne tabel giver den venstre halvdel flugthastigheden fra den synlige overflade (som f.eks. I højre halvdel henviser Ve til hastigheden i forhold til det centrale legeme (for eksempel solen), mens Vte er hastigheden (på den synlige overflade af den mindre krop) i forhold til den mindre krop (planet eller måne).

de sidste to kolonner afhænger nøjagtigt, hvor i kredsløb undslippe hastighed er nået, da banerne ikke er nøjagtigt cirkulære (især kviksølv og Pluto).

udledning af flugthastighed ved hjælp af calculus

lad G være gravitationskonstanten og lad M være Jordens masse (eller andet graviterende legeme) og m være massen af det undslippende legeme eller projektil. I en afstand r fra tyngdepunktet føles kroppen en tiltrækkende kraft

F = G M m r 2 . {\displaystyle F=G {\frac {Mm}{r^{2}}}.}

det arbejde, der er nødvendigt for at bevæge kroppen over en lille afstand dr mod denne kraft, gives derfor af

d V = F d r = G M m r 2 d r . {\displaystyle dv=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

det samlede arbejde, der er nødvendigt for at bevæge kroppen fra overfladen r0 af den graviterende krop til uendelig, er derefter

B = LR 0 LR G M m r 2 D R = G M M R 0 = m g r 0 . {\displaystyle V= \ int _{r_{0}}^{\infty }G {\frac {Mm}{r^{2}}}\, dr=G {\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}

for at gøre dette arbejde for at nå uendelig skal kroppens minimale kinetiske energi ved afgang matche dette arbejde, så flugthastigheden v0 opfylder

1 2 m v 0 2 = G M M R 0, {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2} = G {\frac {Mm}{r_{0}}},}

hvilket resulterer i

v 0 = 2 G M R 0 = 2 g r 0 . {\displaystyle v_{0}={\frac {2GM}{r_{0}}}}={\frat {2gr_{0}}}.}

Se også

noter

• Escape velocity calculator
• internetbaseret numerisk escape velocity calculator