konservative vs ikke-konservative kræfter: de vigtigste forskelle

dette indlæg kan indeholde tilknyttede links til bøger eller andre ressourcer, som jeg personligt anbefaler.

i Nytonisk fysik er der generelt to typer kræfter; konservative kræfter og ikke-konservative kræfter. Denne klassificering mellem de to typer kræfter er lavet på grund af nogle få vigtige forskelle mellem dem.

kort sagt er konservative kræfter afledt af et potentiale, mens ikke-konservative kræfter ikke er det. Konservative kræfter er også stiuafhængige og bevarer mekanisk energi (dermed navnet konservativ kraft), mens ikke-konservative kræfter er stiafhængige og ikke sparer mekanisk energi.

her er en lille sammenligningstabel af de to kræfter:

i de følgende afsnit vil hver af disse forskelle blive forklaret meget mere detaljeret.

afledning gennem en potentiel energi

en af de vigtigste forskelle mellem konservative og ikke-konservative kræfter er den måde, de defineres på, især deres matematiske betydninger.

en konservativ kraft kan altid være forbundet med en potentiel energi, selvfølgelig den specifikke form for den potentielle energi altid afhængigt af situationen.

især er konservative kræfter defineret som negative gradienter af et potentiale. Gradienten er normalt skrevet som en slags opadvendt delta-symbol og det potentiale, vi vil betegne med V(H), da det afhænger af position:

selvom dette måske ser lidt avanceret ud, betyder en gradient simpelthen det delvise derivat med hensyn til hver af komponenterne i den pågældende mængde.

i vores tilfælde er mængden en potentiel energifunktion, og potentielle energier er generelt afhængige af position. Så kort sagt er konservative kræfter simpelthen negative derivater af et potentiale med hensyn til position:

intuitivt kan du se, hvordan denne definition giver mening. Tænk på en situation, hvor du er i en position, hvor du har en vis mængde potentiel energi.

for eksempel kan dette være i Jordens tyngdefelt, der flyder et sted i rummet over jorden. Tænk nu på, hvad der sker, når jordens tyngdekraft virker på dig.

din position vil naturligvis ændre sig, og det gør også din potentielle energi, når du bliver trukket tættere mod Jorden. Dette betyder, at den kraft, der virker på dig, er forbundet med ændringen af din position og potentielle energi, hvilket giver perfekt mening.

Tilsvarende kan potentiel energi defineres ved blot at tilføje alle de konservative kræfter, der virker på et objekt på hvert punkt under en bestemt sti.

matematisk betyder det, at den samlede potentielle energi er integralet (dvs. en kontinuerlig sum eller en sum af virkelig virkelig små trin) af den pågældende konservative styrke med hensyn til stien.

dette er også let at finde ud af definitionen af en konservativ kraft ved blot at bevæge sig rundt i Vilkårene og integrere begge sider:

disse definitioner kan let bruges til at finde konservative kræfter og potentielle energifunktioner, der matcher hinanden.

lad os bruge eksemplet på gravitationsfeltet igen. Hvis vi kender enten kraften eller den potentielle energi, kan vi udlede den tilsvarende kraft eller potentiale for den sag.

lad os sige, at vi kender gravitationspotentialenergien til at være (erstatter r med r, da r er positionen i dette tilfælde):

gravitationsstyrken er så simpelthen det negative derivat af this:

og omvendt, hvis vi kender tyngdekraften til at være:

så kunne vi finde den potentielle energi ved at integrere dette:

nu fungerer disse ligninger, fordi gravitationskræfter er konservative kræfter, hvilket betyder, at de kan være forbundet med en potentiel energi.

på den anden side overveje noget som den viskøse trækstyrke, som er en kraft, der virker på et objekt, der bevæger sig gennem en væske af nogle slags. Trækkraften er faktisk en hastighedsafhængig kraft, hvilket betyder, at der er en større kraft på et objekt, der bevæger sig med højere hastighed.

dette giver selvfølgelig mening, hvis du tænker på et objekt, der bevæger sig gennem en væske. Den matematiske definition for trækstyrken er som følger:

her er C den trækkoefficient, der afhænger af den pågældende væske, A er overfladearealet af væsken, der bevæges igennem, pri er væskens densitet og v er objektets hastighed.

årsagen til, at denne trækstyrke er bemærkelsesværdig, er imidlertid, at den ikke har nogen særlig potentiel energi forbundet med den. Det er ikke en konservativ kraft.

den samme ide gælder også for ting som friktion og luftmodstand (det er også værd at bemærke, at trækkraften og luftmodstanden kun er forskellige former for friktion).

alle friktionskræfter er ikke-konservative kræfter, fordi de ikke stammer fra et potentiale. I sidste ende kommer denne definition fra, hvordan disse kræfter sparer energi.

denne ide har særlig betydning i Lagrangian mekanik, som er afhængig af begrebet konservative kræfter. Jeg går nærmere ind på dette koncept i denne artikel.

bevarelse af mekanisk energi

en anden nøgleegenskab for konservative kræfter er, at de bevarer den mekaniske energi i et system eller et objekt. Mekanisk energi betyder simpelthen summen af kinetisk og potentiel energi.

ikke-konservative kræfter gør det derimod ikke. Snarere spreder de energi ud af systemet (omdanner energi til varme/andre former for energi, der normalt betragtes som irrelevante i et problem, hvilket betyder, at energi er “tabt”).

faktisk er denne egenskab ved energibesparelse, hvor navnene på konservative og ikke-konservative kræfter kommer fra.

dette giver mening, hvis du tænker på for eksempel tyngdekraften igen. Et objekt, der falder i rummet på grund af tyngdekraften, hvor der ikke er nogen luftmodstand eller noget andet, mister ikke energi, når det bevæger sig i tomt rum.

men så snart objektet falder ind i for eksempel atmosfæren på en planet, vil det begynde at opleve luftmodstandskræfter og miste energi og derfor også bremse.

denne bevarelse af mekanisk energi fører også til en vigtig egenskab af konservative kræfter kaldet stiuafhængighed.

det kan også være værd at bemærke, at energi ikke er rigtig “tabt” på nogen måde, hvis du tegner sig for alle mulige variabler i et system. Energi bliver simpelthen bare til andre former, for eksempel kinetisk energi, der bliver til varmeenergi.

for eksempel i tilfælde af et objekt, der falder ind i atmosfæren på en planet, kan det se ud til, at noget energi går tabt i processen, når objektet Sænkes, men det er kun hvis du kun tegner sig for selve objektet.

i virkeligheden, hvis du skulle redegøre for virkelig hele systemet, ville det også omfatte alle luftmolekylerne, så ville enhver energi ikke gå tabt.

den energi, der syntes at være “tabt”, ville faktisk bare blive til den kinetiske energi af luftmolekylerne, som i større skala ville fremstå som varme.

sti afhængighed og uafhængighed

en yderligere faktor, hvor konservative kræfter adskiller sig fra ikke-konservative, er den sti, et objekt tager, og hvordan kraften påvirkes af dette valg af stien.

hvad jeg mener med dette er, at i tilfælde af konservative kræfter betyder den sti, et objekt tager, ikke noget med hensyn til den samlede mekaniske energi.

dette koncept kan bedst forklares gennem et eksempel. Overvej dette scenario; du er i rummet over jorden i en afstand r1 fra Jordens centrum.

når jordens tyngdekraft begynder at trække dig mod jorden, følger du naturligvis en lige sti, og din tyngdepotentielle energi er anderledes på et andet punkt på stien, når du kommer tættere på jorden (nu i en afstand r2 fra Jordens centrum). Her er hvad jeg mener:

her er ændringen i din gravitationelle potentielle energi simpelthen:

fordi tyngdekraften grundlæggende er en konservativ kraft, hvis luftmodstand eller andre kræfter ikke tages i betragtning, går der ingen total mekanisk energi tabt under denne vej. Så den samlede ændring i mekanisk energi er simpelthen (lart er uanset ændringen i kinetisk energi er):

forestil dig nu, at tyngdekraften ikke trak dig i en lige linje. Hvad hvis det trak dig i en underlig buet sti, men du endte stadig i samme slutpunkt? Her er hvad der ville ske:

det er klart at se, at hvis startpunktet og slutpunktet er de samme, betyder den sti, du tager, ikke noget. Den samlede ændring i den mekaniske energi er stadig den samme. Denne ide kaldes stiuafhængighed, og konservative kræfter er stiuafhængige kræfter.

Stiuafhængighed er et direkte resultat af konservative kræfter, der bevarer den samlede mekaniske energi.

tænk over det. Hvis du under en bestemt sti ikke “mister” nogen energi, kan det arbejde, der udføres af den konservative kraft (ændring i mekanisk energi på grund af denne kraft), bestemmes fuldstændigt af bare start-og slutpunkterne på den sti. Hvad der sker mellem start-og slutpunktet betyder ikke noget, så længe der ikke går energi tabt under stien.

hvis du nu skulle tænke på det modsatte scenario, hvor du i stedet for en konservativ kraft har en ikke-konservativ kraft, der virker på dig.

forestil dig for eksempel, at du flyver gennem luften (på jorden, så vi kan bruge V=mgh), og så virker luftmodstandskraften naturligvis på dig.

tænk først på at flyve i en lige linje:

her er ændringen i potentiel energi simpelthen:

indtil videre intet overraskende her. Fangsten her er, at fordi luftmodstand er en ikke-konservativ kraft, går en vis kinetisk energi tabt under stien, hvilket betyder, at den samlede ændring i mekanisk energi ikke blot er Kvit + kvit.

derfor kan ændringen i mekanisk energi ikke bestemmes ved blot start-og slutpunkterne på stien. Du skal også redegøre for selve stien, og dette kaldes stiafhængighed.

her er hvad jeg mener; tag det samme scenario (du flyver gennem luften) og skift den sti, du rejser til noget andet. Du kan holde start – og slutpunkterne de samme, hvis du ønsker det:

nu, når din sti ændres, ændres luftmodstanden, der virker på dig under stien, også. I dette tilfælde er din vej længere, så luftmodstandens kraft virker på dig i længere tid, og derfor mister du mere kinetisk energi.

dette betyder, at den samlede ændring i mekanisk energi også er forskellig, når vi ændrer stien, hvilket betyder, at det arbejde, der udføres af den ikke-konservative kraft, er anderledes som i tilfældet med den lige linjebane.

nu, hvis du kunne lide det, du læser her, så overvej at tjekke nogle af mine andre artikler, især dem om klassisk mekanik.

disse inkluderer for eksempel en introduktion til Lagrangian mekanik, en introduktion til Hamiltonian mekanik (en kondenseret version kan findes her) samt en sammenligning af disse to formuleringer.

jeg har også en temmelig omfattende artikel, der sammenligner Nytonian og Lagrangian mekanik, som kan findes her.