Fluchtgeschwindigkeit

In der Himmelsmechanik ist die Fluchtgeschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit die Mindestgeschwindigkeit, die ein freies, nicht angetriebenes Objekt benötigt, um dem Gravitationseinfluss eines Primärkörpers zu entkommen und somit eine unendliche Entfernung von ihm zu erreichen. Es wird typischerweise als ideale Geschwindigkeit angegeben, wobei die atmosphärische Reibung ignoriert wird. Obwohl der Begriff „Fluchtgeschwindigkeit“ üblich ist, wird er genauer als Geschwindigkeit als Geschwindigkeit beschrieben, da er richtungsunabhängig ist; die Fluchtgeschwindigkeit nimmt mit der Masse des Primärkörpers zu und nimmt mit dem Abstand vom Primärkörper ab. Die Fluchtgeschwindigkeit hängt also davon ab, wie weit das Objekt bereits gereist ist, und seine Berechnung in einer bestimmten Entfernung berücksichtigt die Tatsache, dass es ohne neue Beschleunigung langsamer wird — aufgrund der Schwerkraft des massiven Körpers —, aber es wird nie ganz langsam zum Stillstand kommen.

Eine Rakete, die kontinuierlich durch ihren Auspuff beschleunigt wird, kann entkommen, ohne jemals die Fluchtgeschwindigkeit zu erreichen, da sie weiterhin kinetische Energie aus ihren Triebwerken hinzufügt. Es kann bei jeder Geschwindigkeit entkommen, wenn genügend Treibmittel vorhanden ist, um der Rakete eine neue Beschleunigung zu verleihen, um der Verlangsamung der Schwerkraft entgegenzuwirken und somit ihre Geschwindigkeit aufrechtzuerhalten.

Allgemeiner ist die Fluchtgeschwindigkeit die Geschwindigkeit, bei der die Summe der kinetischen Energie eines Objekts und seiner potentiellen Gravitationsenergie gleich Null ist; Ein Objekt, das eine Fluchtgeschwindigkeit erreicht hat, befindet sich weder auf der Oberfläche noch in einer geschlossenen Umlaufbahn (eines beliebigen Radius). Mit Fluchtgeschwindigkeit in eine Richtung, die vom Boden eines massiven Körpers weg zeigt, bewegt sich das Objekt vom Körper weg, verlangsamt sich für immer und nähert sich, erreicht aber nie die Geschwindigkeit Null. Sobald die Fluchtgeschwindigkeit erreicht ist, braucht kein weiterer Impuls aufgebracht zu werden, damit es in seiner Flucht fortfährt. Mit anderen Worten, wenn die Fluchtgeschwindigkeit gegeben ist, bewegt sich das Objekt vom anderen Körper weg, verlangsamt sich kontinuierlich und nähert sich asymptotisch der Geschwindigkeit Null, wenn sich die Entfernung des Objekts der Unendlichkeit nähert, um niemals zurückzukehren. Höhere Geschwindigkeiten als die Fluchtgeschwindigkeit behalten eine positive Geschwindigkeit in unendlicher Entfernung bei. Beachten Sie, dass die minimale Fluchtgeschwindigkeit davon ausgeht, dass es keine Reibung (z. B. atmosphärischer Widerstand) gibt, die die erforderliche momentane Geschwindigkeit erhöhen würde, um dem Gravitationseinfluss zu entkommen, und dass es keine zukünftige Beschleunigung oder Fremdverzögerung (z. B. von Schub oder von Schwerkraft anderer Körper), die die erforderliche momentane Geschwindigkeit ändern würde.

Die Fluchtgeschwindigkeit in einem Abstand d vom Zentrum eines kugelsymmetrischen Primärkörpers (z. B. eines Sterns oder eines Planeten) mit der Masse M ist gegeben durch die Formel

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}

wobei G die universelle Gravitationskonstante ist (G ≈ 6,67 × 10-11 m3 · kg−1 · s−2). Die Fluchtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Masse des entweichenden Objekts. Zum Beispiel beträgt die Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche etwa 11,186 km / s (40,270 km / h; 25,020 mph; 36,700 ft / s).

Bei einer Anfangsgeschwindigkeit V {\displaystyle V} größer als die Fluchtgeschwindigkeit v e , {\displaystyle v_{e},} nähert sich das Objekt asymptotisch der hyperbolischen Übergeschwindigkeit v ∞ , {\displaystyle v_{\infty },} Erfüllung der Gleichung:

v ∞ 2 = V 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.}

In diesen Gleichungen wird die atmosphärische Reibung (Luftwiderstand) nicht berücksichtigt.

Übersicht

Luna 1, 1959 gestartet, war das erste künstliche Objekt, das eine Fluchtgeschwindigkeit von der Erde erreichte (siehe Tabelle unten).

Die Existenz der Fluchtgeschwindigkeit ist eine Folge der Energieerhaltung und eines Energiefeldes endlicher Tiefe. Für ein Objekt mit einer gegebenen Gesamtenergie, das sich unter konservativen Kräften (wie einem statischen Schwerefeld) bewegt, ist es nur möglich, dass das Objekt Kombinationen von Orten und Geschwindigkeiten erreicht, die diese Gesamtenergie haben; und Orte, die eine höhere potentielle Energie haben, können überhaupt nicht erreicht werden. Indem es dem Objekt Geschwindigkeit (kinetische Energie) hinzufügt, erweitert es die möglichen Orte, die erreicht werden können, bis sie mit genügend Energie unendlich werden.

Für eine gegebene potentielle Gravitationsenergie an einer gegebenen Position ist die Fluchtgeschwindigkeit die Mindestgeschwindigkeit, die ein Objekt ohne Antrieb benötigt, um der Schwerkraft „entkommen“ zu können (d. H. Damit die Schwerkraft es niemals schafft, es zurückzuziehen). Die Fluchtgeschwindigkeit ist eigentlich eine Geschwindigkeit (keine Geschwindigkeit), da sie keine Richtung angibt: unabhängig von der Fahrtrichtung kann das Objekt dem Gravitationsfeld entkommen (vorausgesetzt, sein Weg schneidet den Planeten nicht).

Eine elegante Möglichkeit, die Formel für die Fluchtgeschwindigkeit abzuleiten, besteht darin, das Prinzip der Energieeinsparung zu verwenden (für einen anderen Weg, basierend auf der Arbeit, siehe unten). Der Einfachheit halber gehen wir, sofern nicht anders angegeben, davon aus, dass ein Objekt dem Gravitationsfeld eines einheitlichen kugelförmigen Planeten entkommt, indem es sich von ihm wegbewegt, und dass die einzige signifikante Kraft, die auf das sich bewegende Objekt wirkt, die Schwerkraft des Planeten ist. Stellen Sie sich vor, ein Raumschiff der Masse m befindet sich anfänglich in einem Abstand r vom Massenmittelpunkt des Planeten, dessen Masse M ist, und seine Anfangsgeschwindigkeit ist gleich seiner Fluchtgeschwindigkeit, v e {\displaystyle v_{e}} . In seinem Endzustand wird es unendlich weit vom Planeten entfernt sein und seine Geschwindigkeit wird vernachlässigbar klein sein. Kinetische Energie K und potentielle Gravitationsenergie Ug sind die einzigen Energiearten, mit denen wir uns befassen werden (wir werden den Widerstand der Atmosphäre ignorieren), also durch die Erhaltung der Energie,

( K + U g ) initial = ( K + U g ) final {\displaystyle (K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}

Wir können Kfinal = 0 setzen, weil die Endgeschwindigkeit beliebig klein ist, und Ugfinal = 0, weil die Endentfernung unendlich ist, also

⇒ 1 2 m v e 2 + − G M m r = 0 + 0 ⇒ v e = 2 G M r = 2 μ r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\ 5197>{\displaystyle{\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}}

wobei μ der Standardgravitationsparameter ist.

Das gleiche Ergebnis wird durch eine relativistische Berechnung erhalten, wobei die Variable r die radiale Koordinate oder den reduzierten Umfang der Schwarzschild-Metrik darstellt.

Etwas formeller definiert, ist „Fluchtgeschwindigkeit“ die Anfangsgeschwindigkeit, die erforderlich ist, um von einem Anfangspunkt in einem Gravitationspotentialfeld bis unendlich zu gehen und bei unendlich mit einer Restgeschwindigkeit von Null ohne zusätzliche Beschleunigung zu enden. Alle Geschwindigkeiten und Geschwindigkeiten werden in Bezug auf das Feld gemessen. Darüber hinaus ist die Fluchtgeschwindigkeit an einem Punkt im Raum gleich der Geschwindigkeit, die ein Objekt haben würde, wenn es aus unendlicher Entfernung in Ruhe beginnen würde und von der Schwerkraft zu diesem Punkt gezogen würde.

Im allgemeinen Sprachgebrauch befindet sich der Anfangspunkt auf der Oberfläche eines Planeten oder Mondes. Auf der Erdoberfläche beträgt die Fluchtgeschwindigkeit etwa 11,2 km / s, was ungefähr dem 33-fachen der Schallgeschwindigkeit (Mach 33) und dem Mehrfachen der Mündungsgeschwindigkeit einer Gewehrkugel (bis zu 1,7 km / s) entspricht. In 9.000 km Höhe im „Weltraum“ sind es jedoch etwas weniger als 7,1 km / s. Beachten Sie, dass diese Fluchtgeschwindigkeit relativ zu einem nicht rotierenden Bezugsrahmen ist, nicht relativ zur sich bewegenden Oberfläche des Planeten oder Mondes (siehe unten).

Die Fluchtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Masse des entweichenden Objekts. Es spielt keine Rolle, ob die Masse 1 kg oder 1.000 kg beträgt; was unterscheidet, ist die Menge an Energie, die benötigt wird. Für ein Objekt der Masse m {\displaystyle m} ist die Energie, die benötigt wird, um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen, GMm / r, eine Funktion der Masse des Objekts (wobei r der Radius der Erde ist, nominell 6.371 Kilometer (3.959 Meilen), G ist die Gravitationskonstante und M ist die Masse der Erde, M = 5,9736 × 1024 kg). Eine verwandte Größe ist die spezifische Orbitalenergie, die im Wesentlichen die Summe der kinetischen und potentiellen Energie geteilt durch die Masse ist. Ein Objekt hat eine Fluchtgeschwindigkeit erreicht, wenn die spezifische Orbitalenergie größer oder gleich Null ist.

Von der Oberfläche eines Körpers

Ein alternativer Ausdruck für die Fluchtgeschwindigkeit v e {\displaystyle v_{e}} besonders nützlich an der Oberfläche des Körpers ist:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}

wobei r der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Körpers und dem Punkt ist, an dem die Fluchtgeschwindigkeit berechnet wird, und g die Gravitationsbeschleunigung in diesem Abstand (d. H. Die Oberflächengravitation) ist.

Für einen Körper mit kugelsymmetrischer Massenverteilung ist die Fluchtgeschwindigkeit v e {\displaystyle v_{e}} von der Oberfläche proportional zum Radius bei konstanter Dichte und proportional zur Quadratwurzel der mittleren Dichte ρ.

v e = K r ρ {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}

wobei K = 8 3 π G ≈ 2,364 × 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s − 1 {\textstyle K={\sqrt {{\frac {8 }{3}}\pi G}}\ungefähr 2,364\mal 10^{-5}{\text{m}}^{1,5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}

Beachten Sie, dass diese Fluchtgeschwindigkeit relativ zu einem nicht rotierenden Referenzrahmen ist, nicht relativ zur sich bewegenden Oberfläche des Planeten oder Mondes, wie wir jetzt erklären.

Von einem rotierenden Körper

Die Fluchtgeschwindigkeit relativ zur Oberfläche eines rotierenden Körpers hängt von der Richtung ab, in der sich der entweichende Körper bewegt. Da beispielsweise die Rotationsgeschwindigkeit der Erde am Äquator 465 m / s beträgt, benötigt eine Rakete, die tangential vom Äquator der Erde nach Osten gestartet wird, eine Anfangsgeschwindigkeit von etwa 10,735 km / s relativ zur sich bewegenden Oberfläche am Startpunkt, um zu entkommen, während eine Rakete, die tangential vom Äquator der Erde nach Westen gestartet wird, eine Anfangsgeschwindigkeit von etwa 11,665 km / s relativ zu dieser sich bewegenden Oberfläche benötigt. Die Oberflächengeschwindigkeit nimmt mit dem Kosinus der geographischen Breite ab, so dass Raumstarteinrichtungen oft so nahe wie möglich am Äquator liegen, z. das amerikanische Cape Canaveral (Breitengrad 28 ° 28’N) und das Französisch-Guayana Space Centre (Breitengrad 5 ° 14’N).

Praktische Überlegungen

In den meisten Situationen ist es aufgrund der damit verbundenen Beschleunigung unpraktisch, die Fluchtgeschwindigkeit fast sofort zu erreichen, und auch, weil bei einer Atmosphäre die Hyperschallgeschwindigkeiten (auf der Erde eine Geschwindigkeit von 11,2 km / s oder 40.320 km / h) dazu führen würden, dass die meisten Objekte aufgrund aerodynamischer Erwärmung verbrennen oder durch atmosphärischen Widerstand auseinandergerissen werden. Für eine tatsächliche Fluchtbahn beschleunigt ein Raumfahrzeug stetig aus der Atmosphäre heraus, bis es die Fluchtgeschwindigkeit erreicht, die für seine Höhe angemessen ist (die geringer ist als auf der Oberfläche). In vielen Fällen kann das Raumfahrzeug zuerst in eine Parkbahn gebracht werden (z. B. eine niedrige Erdumlaufbahn bei 160-2.000 km) und dann auf die Fluchtgeschwindigkeit in dieser Höhe beschleunigt werden, die etwas niedriger sein wird (etwa 11,0 km / s bei einer niedrigen Erdumlaufbahn von 200 km). Die erforderliche zusätzliche Geschwindigkeitsänderung ist jedoch weitaus geringer, da das Raumfahrzeug bereits eine signifikante Umlaufgeschwindigkeit aufweist (in einer niedrigen Erdumlaufbahn beträgt die Geschwindigkeit ungefähr 7,8 km / s oder 28.080 km / h).

Aus einem umlaufenden Körper

Die Fluchtgeschwindigkeit in einer gegebenen Höhe beträgt 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} mal die Geschwindigkeit in einer Kreisbahn auf derselben Höhe (vergleichen Sie dies mit der Geschwindigkeitsgleichung in einer Kreisbahn). Dies entspricht der Tatsache, dass die potentielle Energie in Bezug auf die Unendlichkeit eines Objekts in einer solchen Umlaufbahn minus dem Zweifachen seiner kinetischen Energie ist, während zur Flucht die Summe aus potentieller und kinetischer Energie mindestens Null sein muss. Die der Kreisbahn entsprechende Geschwindigkeit wird manchmal als erste kosmische Geschwindigkeit bezeichnet, während in diesem Zusammenhang die Fluchtgeschwindigkeit als zweite kosmische Geschwindigkeit bezeichnet wird.

Für einen Körper in einer elliptischen Umlaufbahn, der auf eine Fluchtbahn beschleunigen möchte, variiert die erforderliche Geschwindigkeit und ist bei Periapsis am größten, wenn der Körper dem Zentralkörper am nächsten ist. Die Orbitalgeschwindigkeit des Körpers wird jedoch auch an diesem Punkt am höchsten sein, und die erforderliche Geschwindigkeitsänderung wird am niedrigsten sein, wie durch den Oberth-Effekt erklärt.

Baryzentrische Fluchtgeschwindigkeit

Technisch gesehen kann die Fluchtgeschwindigkeit entweder relativ zum anderen zentralen Körper oder relativ zum Massenmittelpunkt oder Baryzentrum des Körpersystems gemessen werden. So kann für Systeme von zwei Körpern der Begriff Fluchtgeschwindigkeit mehrdeutig sein, aber es ist gewöhnlich beabsichtigt, die baryzentrische Fluchtgeschwindigkeit des weniger massiven Körpers zu bedeuten. In Gravitationsfeldern bezieht sich die Fluchtgeschwindigkeit auf die Fluchtgeschwindigkeit von Testpartikeln mit einer Masse von Null relativ zum Schwerpunkt der Massen, die das Feld erzeugen. In den meisten Situationen mit Raumfahrzeugen ist der Unterschied vernachlässigbar. Für eine Masse, die einer Saturn-V-Rakete entspricht, ist die Fluchtgeschwindigkeit relativ zur Startrampe 253,5 am / s (8 Nanometer pro Jahr) schneller als die Fluchtgeschwindigkeit relativ zum gegenseitigen Massenschwerpunkt.

Höhe der Trajektorien mit niedrigerer Geschwindigkeit

Ignoriert alle Faktoren außer der Gravitationskraft zwischen dem Körper und dem Objekt, ein Objekt projiziert vertikal mit der Geschwindigkeit v {\displaystyle v} von der Oberfläche eines kugelförmigen Körpers mit Fluchtgeschwindigkeit v e {\displaystyle v_{e}} und Radius R {\displaystyle R} wird eine maximale Höhe h {\displaystyle h} erreichen, die die Gleichung

v = v e h R + h erfüllt, {\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}

welche, lösen für h ergibt

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}

wobei x = v / v e {\displaystyle x=v/v_{e}} ist das Verhältnis der ursprünglichen Geschwindigkeit v {\displaystyle v} zur Fluchtgeschwindigkeit v e. {\displaystyle v_{e}.}

Im Gegensatz zur Fluchtgeschwindigkeit ist die Richtung (vertikal nach oben) wichtig, um eine maximale Höhe zu erreichen.

Flugbahn

Wenn ein Objekt eine Fluchtgeschwindigkeit erreicht, aber nicht direkt vom Planeten weg gerichtet ist, folgt es einer gekrümmten Bahn oder Flugbahn. Obwohl diese Flugbahn keine geschlossene Form bildet, kann sie als Umlaufbahn bezeichnet werden. Unter der Annahme, dass die Schwerkraft die einzige signifikante Kraft im System ist, ist die Geschwindigkeit dieses Objekts an jedem Punkt der Flugbahn aufgrund der Energieerhaltung gleich der Fluchtgeschwindigkeit an diesem Punkt, seine Gesamtenergie muss immer 0 sein, was bedeutet, dass es immer eine Fluchtgeschwindigkeit hat; siehe die Ableitung oben. Die Form der Flugbahn wird eine Parabel sein, deren Fokus sich im Massenmittelpunkt des Planeten befindet. Eine tatsächliche Flucht erfordert einen Kurs mit einer Flugbahn, die sich nicht mit dem Planeten oder seiner Atmosphäre schneidet, da dies zum Absturz des Objekts führen würde. Wenn man sich von der Quelle entfernt, wird dieser Pfad als Fluchtbahn bezeichnet. Fluchtbahnen sind als C3 = 0-Bahnen bekannt. C3 ist die charakteristische Energie, = -GM / 2a, wobei a die Semi-Major-Achse ist, die für parabolische Trajektorien unendlich ist.

Wenn der Körper eine Geschwindigkeit hat, die größer als die Fluchtgeschwindigkeit ist, bildet sein Weg eine hyperbolische Flugbahn und hat eine übermäßige hyperbolische Geschwindigkeit, die der zusätzlichen Energie entspricht, die der Körper hat. Ein relativ kleines zusätzliches Delta-v über dem, das benötigt wird, um auf die Fluchtgeschwindigkeit zu beschleunigen, kann zu einer relativ großen Geschwindigkeit im Unendlichen führen. Einige Orbitalmanöver machen sich diese Tatsache zunutze. Zum Beispiel ergibt die Addition von 0,4 km/s an einer Stelle mit einer Fluchtgeschwindigkeit von 11,2 km/s eine hyperbolische Übergeschwindigkeit von 3,02 km/s:

v ∞ = V 2 − v e 2 = (11,6 km/s) 2 − (11,2 km/s) 2 ≈ 3.02 km/s. {\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\ sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\ text { km/s}})^{2}}}\ 3,02{\text{ km/s}}.}

Wenn ein Körper in einer kreisförmigen Umlaufbahn (oder an der Periapsis einer elliptischen Umlaufbahn) entlang seiner Fahrtrichtung auf Fluchtgeschwindigkeit beschleunigt, bildet der Beschleunigungspunkt die Periapsis der Fluchttrajektorie. Die eventuelle Fahrtrichtung liegt bei 90 Grad zur Richtung am Beschleunigungspunkt. Wenn der Körper über die Fluchtgeschwindigkeit hinaus beschleunigt, wird die eventuelle Fahrtrichtung in einem kleineren Winkel liegen und durch eine der Asymptoten der hyperbolischen Flugbahn angezeigt, die er jetzt einnimmt. Dies bedeutet, dass der Zeitpunkt der Beschleunigung kritisch ist, wenn die Absicht besteht, in eine bestimmte Richtung zu entkommen.

Wenn die Geschwindigkeit bei Periapsis v ist, dann ist die Exzentrizität der Trajektorie gegeben durch:

e = 2 ( v / ve ) 2 – 1 {\displaystyle e=2(v/v_{e})^{2}-1}

Dies gilt für elliptische, parabolische und hyperbolische Trajektorien. Wenn die Trajektorie hyperbolisch oder parabolisch ist, nähert sie sich asymptotisch einem Winkel θ {\displaystyle \theta } aus der Richtung bei Periapsis mit

sin ⁡ θ = 1 / e. {\displaystyle \sin \theta =1/e.}

Die Geschwindigkeit nähert sich asymptotisch

v 2 − v e 2 . {\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}

Liste der Fluchtgeschwindigkeiten

In dieser Tabelle gibt die linke Hälfte die Fluchtgeschwindigkeit von der sichtbaren Oberfläche (die gasförmig sein kann, wie zum Beispiel bei Jupiter) relativ zum Zentrum des Planeten oder Mondes an (dh nicht relativ zu seiner beweglichen Oberfläche). In der rechten Hälfte bezieht sich Ve auf die Geschwindigkeit relativ zum zentralen Körper (zum Beispiel der Sonne), während Vte die Geschwindigkeit (an der sichtbaren Oberfläche des kleineren Körpers) relativ zum kleineren Körper (Planet oder Mond) ist.

Die letzten beiden Spalten hängen genau davon ab, wo in der Umlaufbahn die Fluchtgeschwindigkeit erreicht wird, da die Umlaufbahnen nicht genau kreisförmig sind (insbesondere Merkur und Pluto).

Fluchtgeschwindigkeit mit Kalkül ableiten

Sei G die Gravitationskonstante und sei M die Masse der Erde (oder eines anderen Gravitationskörpers) und m die Masse des entweichenden Körpers oder Projektils. In einem Abstand r vom Gravitationszentrum spürt der Körper eine Anziehungskraft

F = G M m r 2 . {\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}

Die Arbeit, die erforderlich ist, um den Körper über eine kleine Strecke dr gegen diese Kraft zu bewegen, ist daher gegeben durch

d W = F d r = G M m r 2 d r. {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

Die Gesamtarbeit, die erforderlich ist, um den Körper von der Oberfläche r0 des Gravitationskörpers ins Unendliche zu bewegen, beträgt dann

W = ∫ r 0 ∞ G M m r 2 d r = G M m r 0 = m g r 0 . {\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}

Um diese Arbeit bis ins Unendliche ausführen zu können, muss die minimale kinetische Energie des Körpers beim Abflug mit dieser Arbeit übereinstimmen, so dass die Fluchtgeschwindigkeit v0

1 2 m v 0 2 = G M m r 0 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}

was zu

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r 0 führt. {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}

Siehe auch

Anmerkungen

• Fluchtgeschwindigkeitsrechner
• Webbasierter numerischer Fluchtgeschwindigkeitsrechner