Konservative vs nicht-konservative Kräfte: Die Hauptunterschiede

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In der Newtonschen Physik gibt es im Allgemeinen zwei Arten von Kräften; konservative Kräfte und nicht-konservative Kräfte. Diese Klassifizierung zwischen den beiden Arten von Kräften wird aufgrund einiger wesentlicher Unterschiede zwischen ihnen vorgenommen.

Kurz gesagt, konservative Kräfte werden von einem Potential abgeleitet, nicht-konservative Kräfte nicht. Konservative Kräfte sind auch pfadunabhängig und sparen mechanische Energie (daher der Name konservative Kraft), während nicht-konservative Kräfte pfadabhängig sind und keine mechanische Energie sparen.

Hier ist eine kleine Vergleichstabelle der beiden Kräfte:

Konservative Kräfte Nichtkonservative Kräfte
Abgeleitet von einem Potential Nicht abgeleitet von einer bestimmten Größe
Mechanische Energie sparen Keine mechanische Energie sparen
Pfadunabhängig Pfadabhängig
Beispiele: Gravitationskräfte, magnetische Kräfte Beispiele: reibung, Luftwiderstand, viskose Kräfte

In den folgenden Abschnitten wird jeder dieser Unterschiede viel detaillierter erläutert.

Ableitung durch eine potentielle Energie

Einer der Hauptunterschiede zwischen konservativen und nicht-konservativen Kräften ist die Art und Weise, wie sie definiert werden, insbesondere ihre mathematische Bedeutung.

Eine konservative Kraft kann immer mit einer potentiellen Energie verbunden sein, natürlich hängt die spezifische Form der potentiellen Energie immer von der Situation ab.

Insbesondere werden konservative Kräfte als negative Gradienten eines Potentials definiert. Der Gradient wird normalerweise als eine Art umgedrehtes Delta-Symbol geschrieben und das Potential bezeichnen wir mit V(x) , da es von der Position abhängt:

F=-\nabla V\left(x\right)

Während dies ein wenig fortgeschritten aussehen mag, bedeutet ein Gradient einfach die partielle Ableitung in Bezug auf jede der Komponenten der jeweiligen Größe in Frage.

In unserem Fall ist die Menge eine potentielle Energiefunktion und potentielle Energien sind im Allgemeinen von der Position abhängig. Kurz gesagt, konservative Kräfte sind einfach negative Ableitungen eines Potentials in Bezug auf die Position:

F=-\frac{d}{dx}V\left(x\right)

Intuitiv können Sie sehen, wie diese Definition sinnvoll ist. Denken Sie an eine Situation, in der Sie sich in einer Position befinden, in der Sie eine bestimmte Menge potenzieller Energie haben.

Zum Beispiel könnte dies im Gravitationsfeld der Erde sein, das irgendwo im Weltraum über der Erde schwebt. Denken Sie jetzt darüber nach, was passiert, wenn die Gravitationskraft der Erde auf Sie einwirkt.

Eure Position wird sich offensichtlich ändern, ebenso wie eure potentielle Energie, wenn ihr näher an die Erde herangezogen werdet. Dies bedeutet, dass die auf Sie einwirkende Kraft mit der Änderung Ihrer Position und potentiellen Energie verbunden ist, was durchaus Sinn macht.

Äquivalent kann potentielle Energie definiert werden, indem einfach alle konservativen Kräfte addiert werden, die an jedem Punkt während eines bestimmten Pfades auf ein Objekt einwirken.

Mathematisch bedeutet dies, dass die gesamte potentielle Energie das Integral (d.h. eine kontinuierliche Summe oder eine Summe wirklich sehr kleiner Inkremente) der betreffenden konservativen Kraft in Bezug auf den Pfad.

Dies lässt sich auch leicht aus der Definition einer konservativen Kraft herausfinden, indem man sich einfach um die Begriffe bewegt und beide Seiten integriert:

F=-\frac{d}{dx} V\links (x\rechts)
Fdx =-dV \ links (x \ rechts) \ \ \ \ \ parallel \int_{ }^{ }
-\ int_{ }^{ }dV\links (x\rechts) =\int_{ }^{ }Fdx
V\links (x\rechts) =-\int_{ } ^{ }Fdx

Diese Definitionen können leicht verwendet werden, um konservative Kräfte und potentielle Energiefunktionen zu finden, die zueinander passen.

Nehmen wir noch einmal das Beispiel des Gravitationsfeldes. Wenn wir entweder die Kraft oder die potentielle Energie kennen, können wir die entsprechende Kraft oder das Potential für diesen Fall ableiten.

Nehmen wir an, wir kennen die potentielle Gravitationsenergie (Ersetzen von x durch r, da r in diesem Fall die Position ist):

V\left(r\right)=-\frac{GmM}{r}

Die Gravitationskraft ist dann einfach die negative Ableitung von this:

F=-\frac{d}{dr}\left(-\frac{GmM}{r}\right)
F=GmM\cdot\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)
F=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)=-\frac{GmM}{r^2}

Und umgekehrt, wenn wir wissen, dass die Gravitationskraft:

F=-\frac{GmM}{r^2}

Dann könnten wir die potentielle Energie finden, indem wir Folgendes integrieren:

V\left(r\right)=-\int_{ }^{ }-\frac{GmM}{r^2}dr
V \ links (r \ rechts) = GmM \cdot\ int_{ } ^{ }\frac{1}{r^2}dr
V\left(r\right)=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=-\frac{GmM}{r}

Nun, diese Gleichungen funktionieren, weil Gravitationskräfte konservative Kräfte sind, was bedeutet, dass sie mit einer potentiellen Energie assoziiert werden können.

Auf der anderen Seite betrachten wir so etwas wie die viskose Widerstandskraft, die eine Kraft ist, die auf ein Objekt wirkt, das sich durch eine Flüssigkeit bewegt. Die Schleppkraft ist eigentlich eine geschwindigkeitsabhängige Kraft, was bedeutet, dass es eine größere Kraft auf ein Objekt gibt, das sich mit höherer Geschwindigkeit bewegt.

Dies ist natürlich sinnvoll, wenn Sie an ein Objekt denken, das sich durch eine Flüssigkeit bewegt. Die mathematische Definition für die Schleppkraft lautet wie folgt:

F=\frac{1}{2}CA\rho v^2

Hier ist C der Luftwiderstandsbeiwert, der von der betreffenden Flüssigkeit abhängt, A ist die Oberfläche der durchbewegten Flüssigkeit, ρ ist die Dichte der Flüssigkeit und v ist die Geschwindigkeit des Objekts.

Der Grund, warum diese Widerstandskraft bemerkenswert ist, liegt jedoch darin, dass ihr keine besondere potentielle Energie zugeordnet ist. Es ist also keine konservative Kraft.

Dieselbe Idee gilt auch für Dinge wie Reibung und Luftwiderstand (es ist auch erwähnenswert, dass die Widerstandskraft und der Luftwiderstand nur verschiedene Formen der Reibung sind).

Alle Reibungskräfte sind nichtkonservative Kräfte, weil sie nicht von einem Potential abgeleitet sind. Letztendlich ergibt sich diese Definition jedoch daraus, wie diese Kräfte Energie sparen.

Diese Idee hat eine besondere Bedeutung in der Lagrange-Mechanik, die auf dem Begriff der konservativen Kräfte beruht. Ich gehe in diesem Artikel ausführlicher auf dieses Konzept ein.

Erhaltung der mechanischen Energie

Ein weiteres Schlüsselmerkmal für konservative Kräfte ist, dass sie die mechanische Energie eines Systems oder eines Objekts erhalten. Mechanische Energie bedeutet einfach die Summe der kinetischen und potentiellen Energie.

Nichtkonservative Kräfte dagegen nicht. Vielmehr leiten sie Energie aus dem System ab (Umwandlung von Energie in Wärme / andere Energieformen, die in einem Problem normalerweise als irrelevant angesehen werden, was bedeutet, dass Energie „verloren“ geht).

Tatsächlich stammen aus dieser Eigenschaft der Energieeinsparung die Namen konservativer und nicht konservativer Kräfte.

Das macht Sinn, wenn man zum Beispiel wieder an die Gravitationskraft denkt. Ein Objekt, das aufgrund der Schwerkraft in den Weltraum fällt, wo es keinen Luftwiderstand oder irgendetwas anderes gibt, verliert keine Energie, wenn es sich im leeren Raum bewegt.

Sobald das Objekt jedoch beispielsweise in die Atmosphäre eines Planeten fällt, erfährt es Luftwiderstandskräfte und verliert Energie und verlangsamt sich daher auch.

Diese Erhaltung der mechanischen Energie führt auch zu einer wichtigen Eigenschaft konservativer Kräfte, die als Pfadunabhängigkeit bezeichnet wird.

Es könnte auch erwähnenswert sein, dass Energie in keiner Weise „verloren“ geht, wenn Sie jede mögliche Variable in einem System berücksichtigen. Energie wird einfach in andere Formen umgewandelt, zum Beispiel kinetische Energie, die in Wärmeenergie umgewandelt wird.

Wenn beispielsweise ein Objekt in die Atmosphäre eines Planeten fällt, könnte es so aussehen, als ob dabei etwas Energie verloren geht, wenn sich das Objekt verlangsamt, aber das ist nur der Fall, wenn Sie nur das Objekt selbst berücksichtigen.

In Wirklichkeit, wenn Sie wirklich das ganze System erklären würden, das auch alle Luftmoleküle einschließen würde, dann würde keine Energie verloren gehen.

Die Energie, die „verloren“ zu sein schien, würde sich tatsächlich in die kinetische Energie der Luftmoleküle verwandeln, die im größeren Maßstab als Wärme erscheinen würde.

Pfadabhängigkeit und Unabhängigkeit

Ein weiterer Faktor, bei dem sich konservative Kräfte von nicht-konservativen unterscheiden, ist der Weg, den ein Objekt nimmt und wie die Kraft durch diese Wahl des Pfades beeinflusst wird.

Damit meine ich, dass bei konservativen Kräften der Weg, den ein Objekt nimmt, in Bezug auf die gesamte mechanische Energie keine Rolle spielt.

Dieses Konzept lässt sich am besten anhand eines Beispiels erklären. Betrachten Sie dieses Szenario; Sie befinden sich im Weltraum über der Erde in einer Entfernung r1 vom Erdmittelpunkt.

Wenn die Gravitationskraft der Erde beginnt, dich zur Erde zu ziehen, folgst du natürlich einem geraden Pfad und deine potentielle Gravitationsenergie ist an einem anderen Punkt des Pfades anders, wenn du dich der Erde näherst (jetzt in einem Abstand r2 vom Erdzentrum). Hier ist, was ich meine:

Hier ist die Änderung Ihrer potentiellen Gravitationsenergie einfach:

\Delta V=\frac{-GmM}{\Delta r}=\frac{-GmM}{r_1-r_2}

Da die Schwerkraft grundsätzlich eine konservative Kraft ist, wenn der Luftwiderstand oder andere Kräfte nicht berücksichtigt werden, geht auf diesem Weg keine mechanische Gesamtenergie verloren. Die Gesamtänderung der mechanischen Energie ist also einfach (ΔT ist, was auch immer die Änderung der kinetischen Energie ist):

\Delta E=\Delta T+\Delta V

Stellen Sie sich vor, die Schwerkraft würde Sie nicht in einer geraden Linie ziehen. Was wäre, wenn es dich in einen seltsamen gekrümmten Pfad zog, aber du bist immer noch am selben Endpunkt gelandet? Hier ist, was passieren würde:

Es ist klar zu sehen, dass, wenn der Startpunkt und der Endpunkt gleich sind, der Weg, den Sie nehmen, keine Rolle spielt. Die Gesamtänderung der mechanischen Energie ist immer noch gleich. Diese Idee wird Pfadunabhängigkeit genannt, und konservative Kräfte sind pfadunabhängige Kräfte.

Die Wegunabhängigkeit ist ein direktes Ergebnis konservativer Kräfte, die die gesamte mechanische Energie erhalten.

Denken Sie darüber nach. Wenn Sie während eines bestimmten Pfades keine Energie „verlieren“, kann die Arbeit der konservativen Kraft (Änderung der mechanischen Energie aufgrund dieser Kraft) vollständig nur durch den Start- und Endpunkt dieses Pfades bestimmt werden. Was zwischen Start- und Endpunkt passiert, spielt keine Rolle, solange auf dem Weg keine Energie verloren geht.

Wenn Sie jetzt über das umgekehrte Szenario nachdenken würden, in dem anstelle einer konservativen Kraft eine nicht konservative Kraft auf Sie einwirkt.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie fliegen durch die Luft (auf der Erde, also können wir V = mgh verwenden) und die Kraft des Luftwiderstands wirkt offensichtlich auf Sie.

Denken Sie nun zuerst daran, in einer geraden Linie zu fliegen:

Hier ist die Änderung der potentiellen Energie einfach:

\Delta V=mg\Delta h=mg\left(h_1-h_2\right)

Bisher nichts Überraschendes hier. Der Haken dabei ist, dass, da der Luftwiderstand eine nicht konservative Kraft ist, während des Pfades etwas kinetische Energie verloren geht, was bedeutet, dass die Gesamtänderung der mechanischen Energie nicht einfach ΔT + ΔV ist.

Daher kann die Änderung der mechanischen Energie nicht einfach durch den Start- und Endpunkt des Pfades bestimmt werden. Sie müssen auch den Pfad selbst berücksichtigen, und dies wird Pfadabhängigkeit genannt.

Hier ist, was ich meine; Nehmen Sie das gleiche Szenario (Sie fliegen durch die Luft) und ändern Sie den Weg, den Sie zu etwas anderem reisen. Sie können die Start- und Endpunkte gleich halten, wenn Sie möchten:

Wenn sich Ihr Pfad ändert, ändert sich auch der Luftwiderstand, der während des Pfades auf Sie einwirkt. In diesem Fall ist Ihr Weg länger, sodass die Luftwiderstandskraft länger auf Sie einwirkt und Sie daher mehr kinetische Energie verlieren.

Dies bedeutet, dass die Gesamtänderung der mechanischen Energie auch unterschiedlich ist, wenn wir den Pfad ändern, was bedeutet, dass die von der nicht konservativen Kraft geleistete Arbeit anders ist als im Fall des geraden Pfades.

Wenn Ihnen das, was Sie hier lesen, gefallen hat, sollten Sie sich einige meiner anderen Artikel ansehen, insbesondere die über klassische Mechanik.

Dazu gehören beispielsweise eine Einführung in die Lagrangesche Mechanik, eine Einführung in die Hamiltonsche Mechanik (eine komprimierte Version finden Sie hier) sowie ein Vergleich dieser beiden Formulierungen.

Ich habe auch einen ziemlich umfassenden Artikel, der Newtonsche und Lagrangesche Mechanik vergleicht, der hier gefunden werden kann .

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