Conservative vs Non-Conservative Forces: the Key Differences

Geschreven door op in Articles

dit artikel kan affiliate links bevatten naar boeken of andere bronnen die ik persoonlijk aanraad.

in de Newtoniaanse fysica zijn er over het algemeen twee soorten krachten: conservatieve en niet-conservatieve krachten. Deze classificatie tussen de twee soorten krachten wordt gemaakt vanwege een paar belangrijke verschillen tussen hen.

kortom, conservatieve krachten zijn afgeleid van een potentieel, terwijl niet-conservatieve krachten dat niet zijn. Conservatieve krachten zijn ook padonafhankelijk en besparen mechanische energie (vandaar de naam conservatieve kracht), terwijl niet-conservatieve krachten padafhankelijk zijn en geen mechanische energie besparen.

hier is een kleine vergelijkingstabel van de twee krachten:

Conservatieve Krachten Niet-Conservatieve Krachten
Afgeleid van een potentiële Niet afgeleid van een bepaalde hoeveelheid
Behoud van mechanische energie geen mechanische energie besparen
Pad onafhankelijke route-afhankelijk
Voorbeelden: de zwaartekracht, magnetische krachten Voorbeelden: wrijving, luchtweerstand, viskeuze krachten

in de volgende paragrafen zal elk van deze verschillen veel gedetailleerder worden uitgelegd.

afleiding door een potentiële energie

een van de belangrijkste verschillen tussen conservatieve en niet-conservatieve krachten is de manier waarop ze worden gedefinieerd, in het bijzonder hun wiskundige betekenis.

een conservatieve kracht kan altijd worden geassocieerd met een potentiële energie, uiteraard is de specifieke vorm van de potentiële energie altijd afhankelijk van de situatie.Met name conservatieve krachten worden gedefinieerd als negatieve gradiënten van een potentiaal. De gradiënt wordt meestal geschreven als een soort ondersteboven deltasymbool en de potentie die we aanduiden met V (x), omdat het afhangt van positie:

F=- \ nabla v \ left (x \ right))

hoewel dit misschien een beetje geavanceerd lijkt, betekent een gradiënt gewoon de gedeeltelijke afgeleide met betrekking tot elk van de componenten van de specifieke hoeveelheid in kwestie.

in ons geval is de kwantiteit een potentiële energiefunctie en zijn de potentiële energieën in het algemeen afhankelijk van de positie. Dus, kortom, conservatieve krachten zijn gewoon negatieve derivaten van een potentiaal met betrekking tot positie:

F=-\frac{d}{dx}V\left(x\right))

intuïtief kun je zien hoe deze definitie zinvol is. Denk aan een situatie waarin je in een bepaalde positie bent waar je een bepaalde hoeveelheid potentiële energie hebt.

dit kan bijvoorbeeld in het zwaartekrachtveld van de aarde zijn dat ergens in de ruimte boven de aarde zweeft. Denk nu na over wat er gebeurt als de zwaartekracht van de aarde op je inwerkt.

uw positie zal duidelijk veranderen, en uw potentiële energie ook als u dichter naar de Aarde wordt getrokken. Dit betekent dat de kracht die op je inwerkt verbonden is met de verandering van je positie en potentiële energie, wat volkomen logisch is.Op equivalente wijze kan potentiële energie worden gedefinieerd door simpelweg alle conservatieve krachten op te tellen die op elk punt van een bepaald pad op een object inwerken.

wiskundig betekent dit dat de totale potentiële energie de integraal is (d.w.z. een continue som of een som van echt heel kleine stappen) van de conservatieve kracht in kwestie ten opzichte van het pad.

Dit is ook gemakkelijk te achterhalen uit de definitie van een conservatieve kracht door simpelweg rond de termen te bewegen en beide zijden te integreren:

F=-\frac{d}{dx}V\left(x\right)
Fdx=-dV\left(x\right)\ \ \ \ \parallel\int_{ }^{ }
-\int_{ }^{ }dV\left(x\right)=\int_{ }^{ }Fdx
V\left(x\right)=-\int_{ }^{ }Fdx

Deze definities kunnen gemakkelijk worden gebruikt voor het vinden van conservatieve krachten en potentiële energie functies die overeenkomen met elkaar.

laten we het voorbeeld van het gravitatieveld opnieuw gebruiken. Als we de kracht of de potentiële energie kennen, kunnen we de corresponderende kracht of potentiaal voor dat geval afleiden.

Laten we zeggen dat we weten dat de gravitationele potentiële energie (ter vervanging van x door r, want r is de positie in dit geval):

V\left(r\right)=-\frac{GmM}{r}

De zwaartekracht is dan de negatieve afgeleide van this:

F=-\frac{d}{dr}\left(-\frac{GmM}{r}\right)
F=GmM\cdot\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)
F=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)=-\frac{GmM}{r^2}

En vice versa, als we weten dat de zwaartekracht te worden:

F=-\frac{GmM}{r^2}

Dan kunnen we het vinden van de potentiële energie door het integreren van deze:

V\left(r\right)=-\int_{ }^{ }-\frac{GmM}{r^2}dr
V\left(r\right)=GmM\cdot\int_ { } ^ { }\frac{1}{r^2}dr
V\left(r\right)=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=-\frac{GmM}{r}

Nu, deze vergelijkingen werken, omdat de zwaartekracht zijn conservatieve krachten, wat betekent dat ze kunnen worden gekoppeld aan een potentiële energie.

aan de andere kant, overweeg iets als de viskeuze trekkracht, die een kracht is die inwerkt op een object dat door een bepaalde vloeistof beweegt. De trekkracht is eigenlijk een snelheidsafhankelijke kracht, wat betekent dat er een grotere kracht is op een object dat met hogere snelheid beweegt.

dit is natuurlijk logisch als je denkt aan een object dat door een vloeistof beweegt. De wiskundige definitie van de trekkracht is als volgt::

F= \ frac{1}{2}CA \ rho v^2

hier is C de luchtweerstandscoëfficiënt die afhankelijk is van de vloeistof in kwestie, A is de oppervlakte van de vloeistof die wordt verplaatst, ρ is de dichtheid van de vloeistof en v is de snelheid van het object.

echter, de reden dat deze trekkracht opmerkelijk is, is omdat er geen specifieke potentiële energie aan verbonden is. Het is dus geen conservatieve kracht.

dit zelfde idee geldt ook voor dingen als wrijving en luchtweerstand (het is ook vermeldenswaard dat de weerstand en luchtweerstand gewoon verschillende vormen van wrijving zijn).

alle wrijvingskrachten zijn niet-conservatieve krachten, omdat ze niet zijn afgeleid van een potentiaal. Uiteindelijk komt deze definitie echter voort uit hoe deze krachten energie besparen.

dit idee heeft een bijzondere betekenis in de Lagrangiaanse mechanica, die steunt op de notie van conservatieve krachten. Ik ga in meer detail over dit concept in dit artikel.

behoud van mechanische energie

een ander belangrijk kenmerk voor conservatieve krachten is dat ze de mechanische energie van een systeem of een object besparen. Mechanische energie betekent simpelweg het totaal van kinetische en potentiële energie.

niet-conservatieve krachten daarentegen doen dat niet. In plaats daarvan verdrijven ze energie uit het systeem (energie omzetten in warmte/andere vormen van energie die meestal niet relevant worden geacht in een probleem, wat betekent dat energie “verloren”gaat).

in feite is deze eigenschap van energiebesparing waar de namen van conservatieve en niet-conservatieve krachten vandaan komen.

dit is logisch als je weer nadenkt over bijvoorbeeld de zwaartekracht. Een object dat door de zwaartekracht in de ruimte valt, waar geen luchtweerstand of iets anders is, verliest geen energie als het door de lege ruimte reist.

echter, zodra het object in bijvoorbeeld de atmosfeer van een planeet valt, zal het luchtweerstandskrachten gaan ervaren en energie verliezen en dus ook vertragen.

deze besparing van mechanische energie leidt ook tot een belangrijke eigenschap van conservatieve krachten die padonafhankelijkheid wordt genoemd.

het is misschien ook de moeite waard om op te merken dat energie niet echt “verloren” gaat als je rekening houdt met elke mogelijke variabele in een systeem. Energie verandert gewoon in andere vormen, bijvoorbeeld kinetische energie verandert in warmte-energie.

bijvoorbeeld, in het geval van een object dat in de atmosfeer van een planeet valt, kan het lijken dat er enige energie verloren gaat in het proces als het object vertraagt, maar dat is alleen als je alleen het object zelf verklaart.

in werkelijkheid, als je echt het hele systeem zou verklaren, zou dat ook alle luchtmoleculen omvatten, dan zou er geen energie verloren gaan.

de energie die “verloren” leek te gaan zou eigenlijk gewoon veranderen in de kinetische energie van de luchtmoleculen, die op grotere schaal als warmte zou verschijnen.

afhankelijkheid en onafhankelijkheid van het pad

een andere factor waar conservatieve krachten verschillen van niet-conservatieve is het pad dat een object neemt en hoe de kracht wordt beïnvloed door die keuze van het pad.

wat ik hiermee bedoel is dat in het geval van conservatieve krachten, het pad dat een object neemt niet van belang is in termen van de totale mechanische energie.

dit concept kan het best worden uitgelegd aan de hand van een voorbeeld. Overweeg dit scenario; Je bent in de ruimte boven de aarde op een afstand r1 van het centrum van de aarde.

als de zwaartekracht van de Aarde je naar de aarde trekt, volg je natuurlijk een recht pad en is je potentiële gravitatieenergie op een ander punt van het pad anders als je dichter bij de aarde komt (nu op een afstand r2 van het centrum van de aarde). Dit is wat ik bedoel:

hier is de verandering in je gravitatiepotentiaal gewoon:

\ Delta V= \ frac {- GmM} {\Delta r}=\frac {- GmM}{r_1-r_2}

omdat zwaartekracht fundamenteel een conservatieve kracht is als er geen rekening wordt gehouden met luchtweerstand of andere krachten, gaat er geen totale mechanische energie verloren tijdens dit pad. De totale verandering in mechanische energie is dus eenvoudig (ΔT is wat de verandering in kinetische energie ook is):

\ Delta E= \ Delta T+ \ Delta V

stel je voor dat de zwaartekracht je niet in een rechte lijn trok. Wat als het je in een raar gebogen pad trok, maar je toch in hetzelfde eindpunt belandde? Dit is wat er zou gebeuren:

het is duidelijk om te zien dat als het beginpunt en het eindpunt hetzelfde zijn, dan is het pad dat je neemt niet uit. De totale verandering in de mechanische energie is nog steeds hetzelfde. Dit idee heet pad onafhankelijkheid, en conservatieve krachten zijn pad onafhankelijke krachten.

Wegonafhankelijkheid is een direct gevolg van conservatieve krachten die de totale mechanische energie behouden.

denk er eens over na. Als je tijdens een bepaald pad geen energie “verliest”, dan kan het werk van de conservatieve kracht (verandering in mechanische energie door die kracht) volledig worden bepaald door alleen het begin-en eindpunt van dat pad. Wat er gebeurt tussen het begin – en eindpunt maakt niet uit zolang er geen energie verloren gaat tijdens het pad.

als je nu zou denken aan het tegenovergestelde scenario, waar in plaats van een conservatieve kracht, je een niet-conservatieve kracht hebt die op je inwerkt.

bijvoorbeeld, stel je voor dat je door de lucht vliegt (op aarde, dus we kunnen V=mgh gebruiken) en dus werkt de kracht van luchtweerstand duidelijk op je in.

nu, denk eerst na over vliegen in een rechte lijn:

hier is de verandering in potentiële energie eenvoudig:

\ Delta V = mg \ Delta h=mg \ left (h_1-h_2 \ right)

tot nu toe niets verrassends hier. De vangst is dat, omdat luchtweerstand een niet-conservatieve kracht is, enige kinetische energie verloren gaat tijdens het pad, wat betekent dat de totale verandering in mechanische energie niet gewoon ΔT + ΔV is.

daarom kan de verandering in mechanische energie niet alleen worden bepaald door het begin-en eindpunt van het pad. Je moet ook rekening houden met het pad zelf, en dit wordt padafhankelijkheid genoemd.

hier is wat ik bedoel; neem hetzelfde scenario (Je vliegt door de lucht) en verander het pad dat je reist naar iets anders. U kunt de begin-en eindpunten hetzelfde houden als u wilt:

nu, als je pad verandert, verandert ook de luchtweerstand die op je inwerkt tijdens het pad. In dit geval is je pad langer, dus de kracht van luchtweerstand werkt op je voor een langere periode en daardoor verlies je meer kinetische energie.

dit betekent dat de totale verandering in mechanische energie ook anders is als we het pad veranderen, wat betekent dat het werk van de niet-conservatieve kracht anders is dan in het geval van het rechte pad.

nu, als je vond wat je hier leest, overweeg dan het bekijken van een aantal van mijn andere artikelen, vooral die over klassieke mechanica.

deze omvatten bijvoorbeeld een inleiding tot de Lagrangiaanse mechanica, een inleiding tot de Hamiltoniaanse mechanica (een gecondenseerde versie kan hier worden gevonden) en een vergelijking van deze twee formuleringen.

ik heb ook een vrij uitgebreid artikel waarin de Newtoniaanse en Lagrangiaanse mechanica worden vergeleken.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.