Escape velocity

in de hemelmechanica is ontsnappingssnelheid of ontsnappingssnelheid de minimumsnelheid die nodig is om een vrij, niet-voortbewogen object te laten ontsnappen aan de zwaartekracht van een primair lichaam, waardoor het een oneindige afstand ervan bereikt. Het wordt meestal genoemd als een ideale snelheid, het negeren van atmosferische wrijving. Hoewel de term “ontsnappingssnelheid” gebruikelijk is, wordt het nauwkeuriger omschreven als een snelheid dan een snelheid omdat het onafhankelijk is van de richting; de ontsnappingssnelheid neemt toe met de massa van het primaire lichaam en neemt af met de afstand tot het primaire lichaam. De ontsnappingssnelheid hangt dus af van hoe ver het object al heeft gereisd, en zijn berekening op een bepaalde afstand houdt rekening met het feit dat het zonder nieuwe versnelling zal vertragen terwijl het reist—door de zwaartekracht van het massieve lichaam—maar het zal nooit helemaal vertragen tot een stop.

een raket, die continu wordt versneld door zijn uitlaat, kan ontsnappen zonder ooit de ontsnappingssnelheid te bereiken, omdat hij nog steeds kinetische energie uit zijn motoren toevoegt. Het kan ontsnappen met elke snelheid, met voldoende stuwstof om nieuwe acceleratie aan de raket te leveren om de vertraging van de zwaartekracht tegen te gaan en zo zijn snelheid te behouden.

meer in het algemeen is de ontsnappingssnelheid de snelheid waarbij de som van de kinetische energie van een object en zijn gravitatiepotentiaal-energie gelijk is aan nul; een object dat ontsnappingssnelheid heeft bereikt bevindt zich noch op het oppervlak, noch in een gesloten baan (met een straal). Met ontsnappingssnelheid in een richting die weg wijst van de grond van een massief lichaam, zal het object weg bewegen van het lichaam, voor altijd vertraagt en nadert, maar nooit bereikt, nul snelheid. Zodra de ontsnappingssnelheid is bereikt, hoeft er geen verdere impuls te worden toegepast om te blijven ontsnappen. Met andere woorden, als de ontsnappingssnelheid wordt gegeven, zal het object zich van het andere lichaam af bewegen, voortdurend vertragen, en zal asymptotisch de nulsnelheid benaderen als de afstand van het object oneindig nadert, nooit meer terug te komen. Snelheden hoger dan ontsnappingssnelheid behouden een positieve snelheid op oneindige afstand. Merk op dat de minimale ontsnappingssnelheid ervan uitgaat dat er geen wrijving is (bijvoorbeeld atmosferische weerstand), die de vereiste momentane snelheid zou verhogen om aan de invloed van de zwaartekracht te ontsnappen, en dat er geen toekomstige versnelling of externe vertraging zal zijn (bijvoorbeeld door stuwkracht of zwaartekracht van andere lichamen), die de vereiste momentane snelheid zou veranderen.

ontsnappingssnelheid op een afstand d van het centrum van een sferisch symmetrisch primair lichaam (zoals een ster of een planeet) met massa M wordt gegeven door de formule

v e = 2 G M D {\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}

waarbij G de universele zwaartekrachtconstante is (g ≈ 6,67×10-11 m3 * kg-1 * s-2). De ontsnappingssnelheid is onafhankelijk van de massa van het ontsnappende object. Bijvoorbeeld, de ontsnappingssnelheid van het aardoppervlak is ongeveer 11,186 km/s (40,270 km/h; 25,020 mph; 36,700 ft / s).

bij een initiële snelheid v {\displaystyle V} groter dan de ontsnappingssnelheid v e , {\displaystyle v_{e},} zal het object asymptotisch de hyperbolische overtollige snelheid v ∞ , {\displaystyle v_{\infty },} {\displaystyle v_{\infty },} {\displaystyle V_ {\infty},} voldoen aan de vergelijking:

v ∞ 2 = v 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_ {\infty }}^{2}=v^{2} – {v_{e}}^{2}.}

in deze vergelijkingen wordt geen rekening gehouden met atmosferische wrijving (luchtweerstand).

overzicht

Loena 1, gelanceerd in 1959, was het eerste door de mens gemaakte object dat ontsnappingssnelheid bereikte vanaf de aarde (zie onderstaande tabel).

het bestaan van ontsnappingssnelheid is een gevolg van behoud van energie en een energieveld van eindige diepte. Voor een object met een gegeven totale energie, dat beweegt onder voorbehoud van conservatieve krachten (zoals een statisch zwaartekrachtveld) is het alleen mogelijk voor het object om combinaties van locaties en snelheden te bereiken die die totale energie hebben; en plaatsen die een hogere potentiële energie dan dit hebben, kunnen helemaal niet worden bereikt. Door snelheid (kinetische energie) toe te voegen aan het object vergroot het de mogelijke locaties die kunnen worden bereikt, totdat ze met voldoende energie oneindig worden.

voor een bepaalde potentiële gravitatieenergie op een bepaalde positie is de ontsnappingssnelheid de minimumsnelheid die een object zonder voortstuwing nodig heeft om uit de zwaartekracht te kunnen “ontsnappen” (zodat de zwaartekracht het nooit meer terug kan trekken). Ontsnappingssnelheid is eigenlijk een snelheid (Geen snelheid) omdat het geen richting aangeeft: het maakt niet uit wat de rijrichting is, het object kan ontsnappen aan het gravitatieveld (op voorwaarde dat zijn pad de planeet niet snijdt).

een elegante manier om de formule voor ontsnappingssnelheid af te leiden is door gebruik te maken van het principe van energiebesparing (voor een andere manier, gebaseerd op werk, zie hieronder). Omwille van de eenvoud, tenzij anders vermeld, gaan we ervan uit dat een object het zwaartekrachtveld van een uniforme bolvormige planeet zal ontsnappen door zich ervan af te bewegen en dat de enige significante kracht die op het bewegende object werkt de zwaartekracht van de planeet is. Stel je voor dat een ruimteschip met massa m zich aanvankelijk op een afstand r bevindt van het massacentrum van de planeet, waarvan de massa M is, en zijn beginsnelheid gelijk is aan zijn ontsnappingssnelheid, v e {\displaystyle v_{e}} . In zijn uiteindelijke staat, zal het een oneindige afstand van de planeet zijn, en zijn snelheid zal verwaarloosbaar klein zijn. De kinetische energie K en gravitationele potentiële energie-Ug zijn de enige soorten energie die we zullen behandelen (we negeren het slepen van de atmosfeer), dus door het behoud van energie,

( K + g ) initiële = ( K + g ) definitieve {\displaystyle (K+U_{g})_{\text{eerste}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}

Wij kunnen Kfinal = 0 omdat de uiteindelijke snelheid is willekeurig klein worden, en Ugfinal = 0 omdat de laatste afstand is oneindig, dus

⇒ 1 2 m v e 2 + − G M m r = 0 + 0 ⇒ v e = 2 G M r = 2 μ r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}}

hierbij is μ de standaard zwaartekracht parameter.

hetzelfde resultaat wordt verkregen door een relativistische berekening, waarbij de variabele r de radiale coördinaat of de gereduceerde omtrek van de Schwarzschild-metriek vertegenwoordigt.

iets formeler gedefinieerd is “ontsnappingssnelheid” de beginsnelheid die nodig is om van een beginpunt in een gravitatiepotentiaalveld naar oneindig te gaan en met een restsnelheid van nul op oneindig te eindigen, zonder extra versnelling. Alle snelheden en snelheden worden gemeten ten opzichte van het veld. Bovendien is de ontsnappingssnelheid op een punt in de ruimte gelijk aan de snelheid die een object zou hebben als het in rust zou beginnen vanaf een oneindige afstand en door de zwaartekracht tot dat punt werd getrokken.

het beginpunt ligt meestal op het oppervlak van een planeet of maan. Op het aardoppervlak is de ontsnappingssnelheid ongeveer 11,2 km/s, wat ongeveer 33 keer de geluidssnelheid is (Mach 33) en meerdere malen de muilkorfsnelheid van een geweerkogel (tot 1,7 km/s). Echter, op 9.000 km hoogte in “ruimte”, is het iets minder dan 7,1 km/s. Merk op dat deze ontsnappingssnelheid relatief is ten opzichte van een niet-roterend referentiekader, niet ten opzichte van het bewegende oppervlak van de planeet of de maan (zie hieronder).

de ontsnappingssnelheid is onafhankelijk van de massa van het ontsnappende object. Het maakt niet uit of de massa 1 kg of 1.000 kg is; wat verschilt is de hoeveelheid energie die nodig is. Voor een object met massa m {\displaystyle M} is de energie die nodig is om aan het zwaartekrachtveld van de aarde te ontsnappen GMm / r, een functie van de massa van het object (waarbij r de straal van de aarde is, nominaal 6,371 kilometer, G de zwaartekrachtconstante is, en M de massa van de aarde, M = 5,9736 × 1024 kg). Een verwante hoeveelheid is de specifieke orbitale energie die in wezen de som is van de kinetische en potentiële energie gedeeld door de massa. Een object heeft ontsnappingssnelheid bereikt wanneer de specifieke orbitale energie groter is dan of gelijk is aan nul.

Scenario ‘ s

van het oppervlak van een lichaam

Een alternatieve uitdrukking voor de escape velocity v e {\displaystyle v_{e}} vooral handig op het oppervlak van het lichaam is:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e}={\sqrt {2gr\,}}}

waar is r de afstand tussen het midden van het lichaam en het punt waar de ontsnappingssnelheid wordt berekend en g is de versnelling van de zwaartekracht op die afstand (d.w.z. de zwaartekracht).

voor een lichaam met een sferisch-symmetrische massaverdeling is de ontsnappingssnelheid v e {\displaystyle v_{e}} van het oppervlak proportioneel met de straal, uitgaande van een constante dichtheid, en evenredig met de vierkantswortel van de gemiddelde dichtheid ρ.

v E = K R ρ {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}

waarbij K = 8 3 π g ≈ 2,364 × 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s − 1 {\textyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5} {\text{ s}}^{-1}}

merk op dat deze ontsnappingssnelheid gerelateerd is aan een niet-roterend referentiekader, niet gerelateerd aan het bewegende oppervlak van de planeet of de maan, zoals we nu uitleggen.

van een roterend lichaam

hangt de ontsnappingssnelheid ten opzichte van het oppervlak van een roterend lichaam af van de richting waarin het ontsnappende lichaam zich verplaatst. Bijvoorbeeld, omdat de rotatiesnelheid van de aarde 465 m/s is op de evenaar, vereist een raket die tangentieel wordt gelanceerd vanaf de evenaar van de aarde naar het Oosten een beginsnelheid van ongeveer 10.735 km/s ten opzichte van het bewegende oppervlak op het punt van lancering om te ontsnappen, terwijl een raket die tangentieel wordt gelanceerd vanaf de evenaar van de aarde naar het Westen een beginsnelheid van ongeveer 11.665 km/s ten opzichte van dat bewegende oppervlak vereist. De oppervlaktesnelheid neemt af met de cosinus van de geografische breedtegraad, dus ruimtelanceerfaciliteiten liggen vaak zo dicht mogelijk bij de evenaar, bijv. de Amerikaanse Cape Canaveral (28 ° 28 ‘noorderbreedte) en het Frans-Guyana ruimtecentrum (5°14’ noorderbreedte).

praktische overwegingen

in de meeste situaties is het onpraktisch om de ontsnappingssnelheid vrijwel onmiddellijk te bereiken, vanwege de versnelling die wordt verwacht, en ook omdat, als er een atmosfeer is, de hypersonische snelheden (op aarde een snelheid van 11,2 km/s, of 40.320 km/h) de meeste objecten zouden doen opbranden door aërodynamische verhitting of door atmosferische weerstand zouden worden verscheurd. Voor een werkelijke ontsnappingsbaan zal een ruimtevaartuig gestaag uit de atmosfeer versnellen totdat het de ontsnappingssnelheid bereikt die geschikt is voor zijn hoogte (die minder zal zijn dan op het oppervlak). In veel gevallen kan het ruimtevaartuig eerst in een parkeerbaan worden geplaatst (bijvoorbeeld een lage baan om de aarde bij 160-2.000 km) en vervolgens worden versneld tot de ontsnappingssnelheid op die hoogte,die iets lager zal zijn (ongeveer 11,0 km/s bij een lage baan om de aarde van 200 km). De vereiste extra verandering in snelheid is echter veel minder omdat het ruimtevaartuig al een aanzienlijke baansnelheid heeft (in lage baan om de aarde is de snelheid ongeveer 7,8 km/s, of 28.080 km/h).

vanuit een baanlichaam

is de ontsnappingssnelheid op een gegeven hoogte 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} maal de snelheid in een cirkelbaan op dezelfde hoogte (vergelijk dit met de snelheidsvergelijking in een cirkelbaan). Dit komt overeen met het feit dat de potentiële energie met betrekking tot oneindigheid van een object in een dergelijke baan min twee keer zijn kinetische energie is, terwijl om te ontsnappen aan de som van potentiële en kinetische energie ten minste nul moet zijn. De snelheid die overeenkomt met de cirkelbaan wordt soms de eerste kosmische snelheid genoemd, terwijl in deze context de ontsnappingssnelheid wordt aangeduid als de tweede kosmische snelheid.

voor een lichaam in een elliptische baan dat wil versnellen naar een ontsnappingsbaan zal de vereiste snelheid variëren, en zal het grootst zijn bij periapsis wanneer het lichaam het dichtst bij het centrale lichaam is. Echter, de baansnelheid van het lichaam zal ook op zijn hoogste op dit punt, en de verandering in snelheid nodig zal zijn op zijn laagste, zoals verklaard door het Oberth effect.

Barycentrische ontsnappingssnelheid

technisch gezien kan de ontsnappingssnelheid worden gemeten ten opzichte van het andere, centrale lichaam of ten opzichte van het massacentrum of barycentrum van het lichaamssysteem. Voor systemen van twee lichamen kan de term ontsnappingssnelheid dus dubbelzinnig zijn, maar het is meestal bedoeld om de barycentrische ontsnappingssnelheid van het minder massieve lichaam te betekenen. In zwaartekrachtvelden verwijst de ontsnappingssnelheid naar de ontsnappingssnelheid van nulmassa-testdeeltjes ten opzichte van het barycenter van de massa ‘ s die het veld genereren. In de meeste situaties waarbij ruimtevaartuigen het verschil is te verwaarlozen. Voor een massa gelijk aan een Saturnus V-raket is de ontsnappingssnelheid ten opzichte van het lanceerplatform 253,5 am/s (8 nanometer per jaar) sneller dan de ontsnappingssnelheid ten opzichte van het gezamenlijke massacentrum.

Hoogte van de onderste snelheid trajecten

het Negeren van alle andere factoren dan de gravitatiekracht tussen het lichaam en het object, een object verticaal geprojecteerd op snelheid v {\displaystyle v} van het oppervlak van een bolvormig lichaam met escape velocity v e {\displaystyle v_{e}} en straal R {\displaystyle R} zal het bereiken van een maximale hoogte h {\displaystyle i} voldoen aan de vergelijking

v = v e h R + h , {\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}

die, oplossen naar h resulteert in

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}

waarbij x = v / v e {\textyle x=v/v_{e}} is de verhouding tussen de oorspronkelijke snelheid v {\displaystyle v} en de ontsnappingssnelheid v e . {\displaystyle v_{e}.}

in tegenstelling tot ontsnappingssnelheid is de richting (verticaal omhoog) belangrijk om maximale hoogte te bereiken.

Baan

als een object precies ontsnappingssnelheid bereikt, maar niet direct van de planeet af wordt geleid, dan volgt het een gebogen pad of baan. Hoewel dit traject geen gesloten vorm vormt, kan het worden aangeduid als een baan. Aangenomen dat de zwaartekracht de enige significante kracht in het systeem is, zal de snelheid van dit object op elk punt in de baan gelijk zijn aan de ontsnappingssnelheid op dat punt vanwege het behoud van energie, zijn totale energie moet altijd 0 zijn, wat impliceert dat het altijd ontsnappingssnelheid heeft; zie de afleiding hierboven. De vorm van het traject zal een parabool zijn waarvan de focus zich in het middelpunt van de massa van de planeet bevindt. Een werkelijke ontsnapping vereist een koers met een baan die niet kruist met de planeet, of zijn atmosfeer, omdat dit zou leiden tot het object te crashen. Wanneer je van de bron af beweegt, wordt dit pad een ontsnappingsbaan genoemd. Ontsnappingsbanen staan bekend als C3 = 0 banen. C3 is de karakteristieke energie, = – GM / 2a, waarbij a de semi-hoofdas is, die oneindig is voor parabolische trajecten.

als het lichaam een snelheid heeft die groter is dan de ontsnappingssnelheid, zal zijn pad een hyperbolische Baan vormen en zal het een overmatige hyperbolische snelheid hebben, gelijk aan de extra energie die het lichaam heeft. Een relatief kleine extra delta-v boven die nodig is om te versnellen naar de ontsnappingssnelheid kan resulteren in een relatief grote snelheid op oneindig. Sommige orbitale manoeuvres maken gebruik van dit feit. Bijvoorbeeld, op een plaats waar de ontsnappingssnelheid 11,2 km/s is, levert de toevoeging van 0,4 km/s een hyperbolische oversnelheid op van 3,02 km/s:

v ∞ = V 2 − v e 2 = ( 11,6 km/s ) 2 − ( 11,2 km/s ) 2 ≈ 3.02 km / s . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {v^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6 {\text{ km / s}})^{2}-(11.2{\tekst{ km / s}})^{2}}}\ongeveer 3,02 {\text{ km / s}}.}

als een lichaam in een cirkelbaan (of aan de periapsis van een elliptische baan) versnelt langs zijn rijrichting naar de ontsnappingssnelheid, zal het acceleratiepunt de periapsis van het ontsnappingstraject vormen. De uiteindelijke rijrichting is 90 graden ten opzichte van de richting op het acceleratiepunt. Als het lichaam versnelt tot voorbij de ontsnappingssnelheid zal de uiteindelijke richting van de reis in een kleinere hoek zijn, en aangegeven door een van de asymptoten van de hyperbolische baan die het nu neemt. Dit betekent dat de timing van de acceleratie van cruciaal belang is als het de bedoeling is om in een bepaalde richting te ontsnappen.

als de snelheid bij periapsis v is, wordt de excentriciteit van het traject gegeven door:

e = 2 (v / v e ) 2 − 1 {\displaystyle e=2 (v / v_{e})^{2}-1}

dit geldt voor elliptische, parabolische en hyperbolische trajecten. Als het traject hyperbolisch of parabolisch is, zal het asymptotisch een hoek θ benaderen {\displaystyle \ theta } vanuit de richting bij periapsis, met

sin θ θ = 1 / e . {\displaystyle \ sin \ theta = 1 / e.}

de snelheid zal asymptotisch

v 2 − v e 2 benaderen . {\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}

lijst van ontsnappingssnelheden

in deze tabel geeft de linkerhelft de ontsnappingssnelheid aan vanaf het zichtbare oppervlak (dat gasvormig kan zijn zoals bij Jupiter bijvoorbeeld), ten opzichte van het centrum van de planeet of de maan (dat wil zeggen, niet ten opzichte van het bewegende oppervlak). In de rechterhelft verwijst Ve naar de snelheid ten opzichte van het centrale lichaam (bijvoorbeeld de zon), terwijl Vte de snelheid is (aan het zichtbare oppervlak van het kleinere lichaam) ten opzichte van het kleinere lichaam (planeet of maan).

de laatste twee kolommen hangen precies af waar de ontsnappingssnelheid in de baan wordt bereikt, omdat de banen niet precies cirkelvormig zijn (met name Mercurius en Pluto).

uitgaande van de ontsnappingssnelheid met behulp van de calculus

laat G de zwaartekrachtconstante zijn en laat M de massa van de aarde (of een ander zwaartekrachtlichaam) zijn en m de massa van het ontsnappende lichaam of projectiel. Op een afstand r van het zwaartepunt voelt het lichaam een aantrekkelijke kracht

F = G M m R 2 . {\displaystyle F = G {\frac {Mm}{r^{2}}}.}

het werk dat nodig is om het lichaam over een kleine afstand dr tegen deze kracht te bewegen wordt daarom gegeven door

d W = F d r = G M m r 2 d r . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr}

het totale werk dat nodig is om het lichaam van het oppervlak r0 van het graviterende lichaam naar oneindig te verplaatsen is dan

W = ∫ r 0 ∞ G M M R 2 d R = G M M r 0 = m g r 0. {\displaystyle W = \ int _{r_{0}}^{\infty }G {\frac {Mm}{r^{2}}}\, dr=G {\frac {Mm}{r_{0}}} = mgr_{0}.}

om dit werk te bereiken oneindig, het lichaam van de minimale kinetische energie bij vertrek moet overeenkomen met dit werk, dus is de ontsnappingssnelheid v0 voldoet aan

1 2 m v 0 2 = G M m r 0 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}

die resultaten in

v 0 = 2 G M r 0 = 2 g r 0 . {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.}

zie ook

Opmerkingen

• Calculator voor ontsnappingssnelheid
• numerieke calculator voor ontsnappingssnelheid