Escape velocity

i celestial mechanics är escape velocity eller escape speed den minsta hastighet som behövs för ett fritt, icke-framdrivet föremål för att fly från gravitationspåverkan av en primär kropp och därmed nå ett oändligt avstånd från det. Det anges vanligtvis som en idealisk hastighet och ignorerar atmosfärisk friktion. Även om termen ”flykthastighet” är vanlig, beskrivs den mer exakt som en hastighet än en hastighet eftersom den är oberoende av riktning; flykthastigheten ökar med primärkroppens massa och minskar med avståndet från primärkroppen. Flykthastigheten beror således på hur långt objektet redan har rest, och dess beräkning på ett visst avstånd tar hänsyn till det faktum att det utan ny acceleration kommer att sakta ner när det reser—på grund av den massiva kroppens gravitation—men det kommer aldrig att sakta ner till ett stopp.

en raket, kontinuerligt accelererad av dess avgaser, kan fly utan att någonsin nå flykthastighet, eftersom den fortsätter att lägga till kinetisk energi från sina motorer. Det kan uppnå flykt vid vilken hastighet som helst, givet tillräckligt med drivmedel för att ge ny acceleration till raketen för att motverka gravitationens retardation och därmed bibehålla sin hastighet.

mer allmänt är flyghastighet den hastighet med vilken summan av ett objekts kinetiska energi och dess gravitationspotentialenergi är lika med noll; ett objekt som har uppnått flyghastighet är varken på ytan eller i en sluten bana (av någon radie). Med flyghastighet i en riktning som pekar bort från marken av en massiv kropp, kommer objektet att röra sig bort från kroppen, sakta för alltid och närma sig, men aldrig nå, nollhastighet. När flykthastigheten har uppnåtts behöver ingen ytterligare impuls tillämpas för att den ska fortsätta i sin flykt. Med andra ord, om det ges flykthastighet, kommer objektet att röra sig bort från den andra kroppen, ständigt saktar och kommer asymptotiskt att närma sig nollhastighet när objektets avstånd närmar sig oändligheten, för att aldrig komma tillbaka. Hastigheter högre än flykthastigheten behåller en positiv hastighet på oändligt avstånd. Observera att den minsta flykthastigheten förutsätter att det inte finns någon friktion (t.ex. Atmosfäriskt drag), vilket skulle öka den nödvändiga momentana hastigheten för att undkomma gravitationspåverkan, och att det inte kommer att finnas någon framtida acceleration eller främmande retardation (till exempel från dragkraft eller från gravitation av andra kroppar), vilket skulle ändra den nödvändiga momentana hastigheten.

flykthastighet på avstånd d från mitten av en sfäriskt symmetrisk primärkropp (t. ex. en stjärna eller en planet) med massa m ges med formeln

v e = 2 G m d {\displaystyle v_{e} = {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}

där G är den universella gravitationskonstanten(g 6,67 60-11 m 10-11 m3·kg−1·s−2). Flykthastigheten är oberoende av massan av det flyktande objektet. Till exempel är flykthastigheten från jordens yta cirka 11.186 km/s (40.270 km/h; 25.020 mph; 36.700 ft/s).

när den ges en initialhastighet V {\displaystyle V} större än flykthastigheten v e , {\displaystyle v_{e},} objektet kommer asymptotiskt att närma sig den hyperboliska överskottshastigheten v sekund , {\displaystyle v_{\infty },} uppfyller ekvationen:

V 2 = V 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_ {\infty }}^{2}=v^{2} – {v_{e}}^{2}.}

i dessa ekvationer beaktas inte atmosfärisk friktion (luftmotstånd).

översikt

Luna 1, som lanserades 1959, var det första konstgjorda objektet som uppnådde flyghastighet från jorden (se tabellen nedan).

förekomsten av flykthastighet är en följd av bevarande av energi och ett energifält med ändligt djup. För ett objekt med en given total energi, som rör sig föremål för konservativa krafter (såsom ett statiskt gravitationsfält) är det bara möjligt för objektet att nå kombinationer av platser och hastigheter som har den totala energin; och platser som har en högre potentiell energi än detta kan inte nås alls. Genom att lägga till hastighet (kinetisk energi) till objektet expanderar den möjliga platser som kan nås tills de med tillräckligt med energi blir oändliga.

för en given gravitationspotentialenergi vid en given position är flykthastigheten den minsta hastighet som ett objekt utan framdrivning behöver kunna” fly ” från tyngdkraften (dvs så att tyngdkraften aldrig kommer att lyckas dra tillbaka den). Escape velocity är faktiskt en hastighet (inte en hastighet) eftersom den inte anger en riktning: oavsett färdriktningen kan objektet fly från gravitationsfältet (förutsatt att dess väg inte korsar planeten).

ett elegant sätt att härleda formeln för flykthastighet är att använda principen om bevarande av energi (för ett annat sätt, baserat på arbete, se nedan). För enkelhetens skull, om inte annat anges, antar vi att ett objekt kommer att undkomma gravitationsfältet på en enhetlig sfärisk planet genom att flytta bort från den och att den enda signifikanta kraften som verkar på det rörliga objektet är planetens gravitation. Föreställ dig att ett rymdskepp med massa m ursprungligen Ligger på ett avstånd r från planetens masscentrum, vars massa är M, och dess initialhastighet är lika med dess flykthastighet, v e {\displaystyle v_{e}} . I sitt slutliga tillstånd kommer det att vara ett oändligt avstånd från planeten, och dess hastighet kommer att vara försumbar liten. Kinetisk energi K och gravitationspotential energi Ug är de enda typerna av energi som vi kommer att hantera (vi kommer att ignorera atmosfärens drag), så genom att bevara energi,

( K + U G ) initial = ( K + U g ) final {\displaystyle (K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}

vi kan ställa in kfinal = 0 eftersom sluthastigheten är godtyckligt liten, och ugfinal = 0 eftersom sista avståndet är oändlighet, så

1 2 m v e 2 + − g m m r = 0 + 0 kg V E = 2 g m r = 2 kg r {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}}

där Taiwan är standardparametern för gravitation.

samma resultat erhålls genom en relativistisk beräkning, i vilket fall variabeln r representerar den radiella koordinaten eller den reducerade omkretsen av Schwarzschild-metriska.

definierad lite mer formellt är” escape velocity ” den initiala hastigheten som krävs för att gå från en initial punkt i ett gravitationspotentialfält till oändlighet och sluta i oändlighet med en resthastighet på noll, utan någon ytterligare acceleration. Alla hastigheter och hastigheter mäts i förhållande till fältet. Dessutom är flyghastigheten vid en punkt i rymden lika med den hastighet som ett objekt skulle ha om det började vila från ett oändligt avstånd och drogs av tyngdkraften till den punkten.

i vanlig användning är den ursprungliga punkten på ytan av en planet eller måne. På jordens yta är flyghastigheten cirka 11,2 km/s, vilket är ungefär 33 gånger ljudets hastighet (Mach 33) och flera gånger munstyckshastigheten för en gevärskula (upp till 1,7 km/s). Men vid 9000 km Höjd i ”rymden” är det något mindre än 7,1 km/s. Observera att denna flykthastighet är relativt en icke-roterande referensram, inte i förhållande till planetens eller månens rörliga yta (se nedan).

flykthastigheten är oberoende av massan av det utströmmande objektet. Det spelar ingen roll om massan är 1 kg eller 1000 kg; det som skiljer sig är den mängd energi som krävs. För ett objekt med massa m {\displaystyle m} är den energi som krävs för att undkomma jordens gravitationsfält GMm / r, en funktion av objektets massa (där r är jordens radie, nominellt 6 371 Kilometer (3 959 mi), G är gravitationskonstanten och M är jordens massa, M = 5,9736 1024 kg). En relaterad kvantitet är den specifika orbitalenergin som i huvudsak är summan av den kinetiska och potentiella energin dividerad med massan. Ett objekt har nått flykthastighet när den specifika orbitalenergin är större än eller lika med noll.

scenarier

från ytan av en kropp

ett alternativt uttryck för flykthastigheten v e {\displaystyle v_{e}} särskilt användbart vid ytan på kroppen är:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e} = {\sqrt {2gr\,}}}

där r är avståndet mellan kroppens centrum och den punkt vid vilken flykthastigheten beräknas och g är gravitationsaccelerationen på det avståndet (dvs. ytgravitationen).

för en kropp med en sfäriskt symmetrisk massfördelning är flykthastigheten v e {\displaystyle v_{e}} från ytan proportionell mot radien förutsatt konstant densitet och proportionell mot kvadratroten av medeltätheten 20.

v E = K R 0 {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}

där K = 8 3 kg G 2,364 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s − 1 {\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi g}}\ca 2.364\gånger 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5} {\text{ s}}^{-1}}

Observera att denna flykthastighet är relativt en icke-roterande referensram, inte i förhållande till planetens eller månens rörliga yta, som vi nu förklarar.

från en roterande kropp

utrymningshastigheten i förhållande till ytan av en roterande kropp beror på riktningen i vilken den flyende kroppen färdas. Till exempel, eftersom jordens rotationshastighet är 465 m/s vid ekvatorn, kräver en raket som lanseras tangentiellt från jordens ekvator i öster en initialhastighet på cirka 10,735 km/s i förhållande till den rörliga ytan vid lanseringspunkten för att fly medan en raket som lanseras tangentiellt från jordens ekvator i väster kräver en initialhastighet på cirka 11,665 km/s i förhållande till den rörliga ytan. Ythastigheten minskar med cosinus för den geografiska latituden, så rymdlanseringsanläggningar ligger ofta så nära ekvatorn som möjligt, t. ex. den amerikanska Cape Canaveral (latitud 28 28 28 ’ n) och Franska Guyanas Rymdcentrum(latitud 5 14 14 1).

praktiska överväganden

i de flesta situationer är det opraktiskt att uppnå flyghastighet nästan omedelbart på grund av den implicita accelerationen, och också för att om det finns en atmosfär, skulle de hypersoniska hastigheterna (på jorden en hastighet på 11,2 km/s eller 40 320 km/h) orsaka att de flesta föremål brinner upp på grund av aerodynamisk uppvärmning eller rivs sönder av atmosfäriskt drag. För en verklig flyktbana kommer en rymdfarkost att accelerera stadigt ur atmosfären tills den når den flykthastighet som är lämplig för dess höjd (som kommer att vara mindre än på ytan). I många fall kan rymdfarkosten först placeras i en parkeringsbana (t.ex. en låg jordbana vid 160-2 000 km) och sedan accelereras till flyghastigheten vid den höjden,som kommer att vara något lägre (cirka 11, 0 km/s vid en låg jordbana på 200 km). Den erforderliga ytterligare hastighetsförändringen är dock mycket mindre eftersom rymdfarkosten redan har en betydande omloppshastighet (i låg jordbana är hastigheten cirka 7,8 km/s eller 28 080 km/h).

från en kretsande kropp

flyghastigheten vid en given höjd är 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} gånger hastigheten i en cirkulär bana i samma höjd, (jämför detta med hastighetsekvationen i cirkulär bana). Detta motsvarar det faktum att den potentiella energin med avseende på oändligheten hos ett objekt i en sådan omlopp är minus två gånger sin kinetiska energi, medan för att undkomma summan av potentiell och kinetisk energi måste vara minst noll. Hastigheten som motsvarar den cirkulära banan kallas ibland den första kosmiska hastigheten, medan i detta sammanhang kallas flykthastigheten som den andra kosmiska hastigheten.

för en kropp i en elliptisk bana som vill accelerera till en flyktbana kommer den erforderliga hastigheten att variera och kommer att vara störst vid periapsis när kroppen är närmast den centrala kroppen. Emellertid kommer kroppens omloppshastighet också att vara högst vid denna tidpunkt, och förändringen i hastighet som krävs kommer att vara lägst, vilket förklaras av Oberth-effekten.

Barycentrisk flykthastighet

Tekniskt kan flykthastigheten antingen mätas som en relativ till den andra, centrala kroppen eller i förhållande till masscentrum eller barycenter i kroppssystemet. Således för system av två kroppar kan termen flykthastighet vara tvetydig, men det är vanligtvis avsett att betyda den barycentriska flykthastigheten hos den mindre massiva kroppen. I gravitationsfält hänvisar flyghastighet till flyghastigheten för nollmasstestpartiklar i förhållande till barycentret för massorna som genererar fältet. I de flesta situationer med rymdfarkoster är skillnaden försumbar. För en massa som är lika med en Saturn V-raket är flyghastigheten i förhållande till startplattan 253,5 am/s (8 nanometer per år) snabbare än flyghastigheten i förhållande till det ömsesidiga masscentret.

höjd av lägre hastighetsbanor

ignorera alla andra faktorer än gravitationskraften mellan kroppen och objektet, ett objekt som projiceras vertikalt med hastighet v {\displaystyle v} från ytan av en sfärisk kropp med flykthastighet v e {\displaystyle v_{e}} och radie R {\displaystyle r} kommer att uppnå en maximal höjd H {\displaystyle H} som uppfyller ekvationen

v = v e h r + H , {\displaystyle v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{r+h}}}\ ,}

vilket, lösning för h resulterar i

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ r\ ,}

där x = v / v e {\textstyle x=v/v_{e}} är förhållandet mellan den ursprungliga hastigheten V {\displaystyle v} och flykthastigheten v e . {\displaystyle v_{e}.}

till skillnad från flyghastighet är riktningen (vertikalt uppåt) viktig för att uppnå maximal höjd.

bana

om ett objekt uppnår exakt flykthastighet, men inte riktas direkt från planeten, kommer det att följa en krökt väg eller bana. Även om denna bana inte bildar en sluten form kan den kallas en bana. Förutsatt att tyngdkraften är den enda signifikanta kraften i systemet, kommer detta objekts hastighet vid vilken punkt som helst i banan att vara lika med flykthastigheten vid den punkten på grund av energibesparing, dess totala energi måste alltid vara 0, vilket innebär att den alltid har flykthastighet; se härledningen ovan. Banans form kommer att vara en parabola vars fokus ligger i mitten av planetens massa. En verklig flykt kräver en kurs med en bana som inte korsar planeten eller dess atmosfär, eftersom detta skulle få objektet att krascha. När du flyttar bort från källan kallas denna väg en flyktbana. Escape banor är kända som C3 = 0 banor. C3 är den karakteristiska energin, = – GM / 2a, där A är halvhuvudaxeln, som är oändlig för paraboliska banor.

om kroppen har en hastighet som är större än flykthastigheten kommer dess väg att bilda en hyperbolisk bana och den kommer att ha en överskott av hyperbolisk hastighet, vilket motsvarar den extra energi kroppen har. En relativt liten extra delta-v ovanför som behövs för att accelerera till flykthastigheten kan resultera i en relativt stor hastighet vid oändligheten. Vissa orbitalmanövrer använder sig av detta faktum. Till exempel, på en plats där flykthastigheten är 11,2 km/s, ger tillsatsen av 0,4 km/s en hyperbolisk överhastighet på 3,02 km/s:

v 0BK = v 2 − v 2 = ( 11,6 km/s ) 2 − ( 11,2 km/s ) 2 2BK 3.02 km / s . {\displaystyle v_ {\infty } ={\sqrt {v^{2} – {v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6 {\text{ km / s}})^{2}-(11.2{\text{ km / s}})^{2}}}\ca 3,02 {\text{ km / s}}.}

om en kropp i cirkulär bana (eller vid periapsis av en elliptisk bana) accelererar längs sin färdriktning till flykthastighet, kommer accelerationspunkten att bilda periapsis av flyktbanan. Den slutliga färdriktningen kommer att vara 90 grader till riktningen vid accelerationspunkten. Om kroppen accelererar till bortom flykthastigheten kommer den slutliga körriktningen att vara i en mindre vinkel och indikeras av en av asymptoterna i den hyperboliska banan som den nu tar. Detta innebär att tidpunkten för accelerationen är kritisk om avsikten är att fly i en viss riktning.

om hastigheten vid periapsis är v, ges banans excentricitet av:

e = 2 (v / v e ) 2 – 1 {\displaystyle e=2 (v / v_{e})^{2}-1}

detta gäller för elliptiska, paraboliska och hyperboliska banor. Om banan är hyperbolisk eller parabolisk, kommer den asymptotiskt att närma sig en vinkel Bisexuell {\displaystyle \theta } från riktningen vid periapsis, med

sin bisexuell = 1 / e . {\displaystyle \ sin \ theta =1/e.}

hastigheten kommer asymptotiskt att närma sig

v 2 − v e 2. {\displaystyle {\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.}

lista över flykthastigheter

i denna tabell ger den vänstra halvan flykthastigheten från den synliga ytan (som kan vara gasformig som med Jupiter till exempel), i förhållande till planetens eller månens centrum (det vill säga inte i förhållande till dess rörliga yta). I den högra halvan hänvisar Ve till hastigheten i förhållande till den centrala kroppen (till exempel solen), medan Vte är hastigheten (vid den synliga ytan på den mindre kroppen) i förhållande till den mindre kroppen (planet eller måne).

de två sista kolumnerna beror exakt var i omloppshastighet uppnås, eftersom banorna inte är exakt cirkulära (särskilt kvicksilver och Pluto).

härleda flyghastighet med hjälp av kalkyl

låt G vara gravitationskonstanten och låt M vara jordens massa (eller annan graviterande kropp) och m vara massan av den flyktande kroppen eller projektilen. På ett avstånd r från tyngdpunkten känner kroppen en attraktiv kraft

F = G M M r 2 . {\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.}

det arbete som behövs för att flytta kroppen över ett litet avstånd dr mot denna kraft ges därför av

d W = F d R = G M m r 2 d r . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {mm}{r^{2}}}\,dr.}

det totala arbetet som behövs för att flytta kroppen från ytan r0 av den graviterande kroppen till oändlighet är då

W = 2BG r 0BG m r 2 d r = g m m r 0 = m g r 0 . {\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G {\frac {Mm}{r^{2}}}\, dr = G {\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}

för att göra detta arbete för att nå oändlighet måste kroppens minimala kinetiska energi vid avgång matcha detta arbete, så flykthastigheten v0 uppfyller

1 2 m v 0 2 = G M M R 0, {\displaystyle {\frac {1}{2}}MV_{0}^{2}=G {\frac {Mm}{r_{0}}},}

vilket resulterar i

v 0 = 2 G m r 0 = 2 g r 0 . {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}} = {\sqrt {2gr_{0}}}.}

Se även

anteckningar

• Escape velocity calculator
• webbaserad numerisk escape velocity calculator