konservativa vs icke-konservativa krafter: de viktigaste skillnaderna

Skriven av den i Articles

detta inlägg kan innehålla affiliate länkar till böcker eller andra resurser jag personligen rekommenderar.

i newtonsk fysik finns det i allmänhet två typer av krafter; konservativa krafter och icke-konservativa krafter. Denna klassificering mellan de två typerna av krafter görs på grund av några viktiga skillnader mellan dem.

kort sagt, konservativa krafter härrör från en potential, medan icke-konservativa krafter inte är det. Konservativa krafter är också vägoberoende och sparar mekanisk energi (alltså namnet konservativ kraft), medan icke-konservativa krafter är vägberoende och inte sparar mekanisk energi.

här är en liten jämförelsetabell över de två krafterna:

konservativa krafter icke-konservativa krafter
härledd från en potential inte härledd från någon särskild kvantitet
spara mekanisk energi spara inte mekanisk energi
sökväg oberoende sökväg beroende
exempel: gravitationskrafter, magnetiska krafter exempel: friktion, luftmotstånd, viskösa krafter

i följande avsnitt kommer var och en av dessa skillnader att förklaras mycket mer detaljerat.

Derivation genom en potentiell energi

en av de viktigaste skillnaderna mellan konservativa och icke-konservativa krafter är hur de definieras, särskilt deras matematiska betydelser.

en konservativ kraft kan alltid associeras med en potentiell energi, naturligtvis den specifika formen av den potentiella energin alltid beroende på situationen.

i synnerhet definieras konservativa krafter som negativa gradienter av en potential. Lutningen skrivs vanligtvis som en slags upp och ner delta-symbol och potentialen vi kommer att beteckna med V (x), eftersom det beror på position:

F=- \ nabla V \ left (x \ right)

även om detta kan se lite avancerat ut, betyder en gradient helt enkelt det partiella derivatet med avseende på var och en av komponenterna i den aktuella kvantiteten.

i vårt fall är kvantiteten någon potentiell energifunktion och potentiella energier är i allmänhet beroende av position. Så kort sagt är konservativa krafter helt enkelt negativa derivat av en potential med avseende på position:

F=- \ frac{d}{dx}V \ left (x \ right)

intuitivt kan du se hur denna definition är meningsfull. Tänk på en situation där du befinner dig i en position där du har en viss mängd potentiell energi.

till exempel kan detta vara i jordens gravitationsfält som flyter någonstans i rymden ovanför jorden. Tänk nu på vad som händer när jordens gravitationskraft verkar på dig.

din position kommer uppenbarligen att förändras, och det gör också din potentiella energi när du dras närmare jorden. Det betyder att kraften som verkar på dig är kopplad till förändringen av din position och potentiell energi, vilket är perfekt.

likvärdigt kan potentiell energi definieras genom att helt enkelt lägga till alla konservativa krafter som verkar på ett objekt vid varje punkt under en viss väg.

matematiskt betyder detta att den totala potentiella energin är integralen (dvs. en kontinuerlig summa eller en summa av riktigt riktigt små steg) av den konservativa kraften i fråga med avseende på vägen.

Detta är också lätt att räkna ut från definitionen av en konservativ kraft genom att helt enkelt flytta runt termerna och integrera båda sidor:

F=- \ frac{d}{dx}V \ vänster (x \ höger)
Fdx= - DV \ vänster (x \ höger) \ \ \ \ \ parallell \ int_{ }^{ }
-\int_{ }^{ }dV \ vänster (x \ höger)= \ int_{ }^{ }Fdx
V \ vänster (x \ höger)=- \ int_{ }^{ }Fdx

dessa definitioner kan enkelt användas för att hitta konservativa krafter och potentiella energifunktioner som matchar varandra.

Låt oss använda exemplet på gravitationsfältet igen. Om vi känner till antingen kraften eller den potentiella energin kan vi härleda motsvarande kraft eller potential för det fallet.

låt oss säga att vi vet att gravitationspotentialenergin är (ersätter x med r, eftersom r är positionen i detta fall):

V \ vänster (r \ höger)=- \ frac{GmM}{r}

gravitationskraften är då helt enkelt det negativa derivatet av this:

F=-\frac{d}{dr}\left(-\frac{GmM}{r}\right)
F=GmM\cdot\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{r}\right)
F=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)=-\frac{GmM}{r^2}

och vice versa, om vi vet gravitationskraften att vara:

F = - \ frac{GmM}{r^2}

då kunde vi hitta den potentiella energin genom att integrera detta:

V \ left (r \ right)=- \ int_ { } ^ { }- \ frac{GmM}{r^2}dr
V \ vänster (r\höger)=GmM\cdot \ int_ { } ^ { }\frac{1}{r^2}dr
V\left(r\right)=GmM\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=-\frac{GmM}{r}

nu fungerar dessa ekvationer eftersom gravitationskrafter är konservativa krafter, vilket innebär att de kan associeras med en potentiell energi.

å andra sidan, överväga något som den viskösa dragkraften, som är en kraft som verkar på ett föremål som rör sig genom en vätska av vissa slag. Dragkraften är faktiskt en hastighetsberoende kraft, vilket innebär att det finns en större kraft på ett objekt som rör sig med högre hastighet.

detta är naturligtvis meningsfullt om du tänker på ett objekt som rör sig genom en vätska. Den matematiska definitionen för dragkraften är som följer:

F= \ frac{1}{2}ca \ rho v^2

här är C dragkoefficienten som beror på vätskan i fråga, A är ytarean för vätskan som förflyttas genom, Xiaomi är vätskans densitet och v är objektets hastighet.

men anledningen till att denna dragkraft är anmärkningsvärd är att den inte har någon speciell potentiell energi associerad med den. Således är det inte en konservativ kraft.

samma ide gäller också för saker som friktion och luftmotstånd också (det är också värt att notera att dragkraften och luftmotståndet bara är olika former av friktion).

alla friktionskrafter är icke-konservativa krafter, eftersom de inte härrör från en potential. I slutändan kommer dock denna definition från hur dessa krafter sparar energi.

denna ide har särskild betydelse i Lagrangian mekanik, som bygger på begreppet konservativa krafter. Jag går in mer i detalj om detta koncept i den här artikeln.

bevarande av mekanisk energi

en annan viktig egenskap för konservativa krafter är att de sparar den mekaniska energin i ett system eller ett objekt. Mekanisk energi betyder helt enkelt summan av kinetisk och potentiell energi.

icke-konservativa krafter, å andra sidan, gör det inte. Snarare släpper de energi ut ur systemet (omvandlar energi till värme/andra former av energi som vanligtvis anses vara irrelevanta i ett problem, vilket innebär att energi är ”förlorad”).

faktum är att denna egenskap av energibesparing är där namnen på konservativa och icke-konservativa krafter kommer ifrån.

detta är vettigt om du tänker på, till exempel gravitationskraften igen. Ett föremål som faller i rymden på grund av tyngdkraften, där det inte finns något luftmotstånd eller något annat, kommer inte att förlora någon energi när den reser i tomt utrymme.

men så snart objektet faller in i till exempel atmosfären på en planet, kommer det att börja uppleva luftmotståndskrafter och förlora energi och därför också sakta ner.

denna bevarande av mekanisk energi leder också till en viktig egenskap hos konservativa krafter som kallas vägoberoende.

det kan också vara värt att notera att energi inte är ”förlorad” på något sätt om du redogör för alla möjliga variabler i ett system. Energi förvandlas helt enkelt till andra former, till exempel kinetisk energi som förvandlas till värmeenergi.

till exempel, om ett objekt faller i atmosfären på en planet, kan det tyckas att viss energi går förlorad i processen när objektet saktar ner, men det är bara om du bara redogör för själva objektet.

i verkligheten, om du verkligen skulle redogöra för hela systemet, skulle det också inkludera alla luftmolekyler, då skulle ingen energi gå förlorad.

den energi som tycktes vara ”förlorad” skulle faktiskt bara förvandlas till luftmolekylernas kinetiska energi, som i större skala skulle framstå som värme.

Path beroende och oberoende

en ytterligare faktor där konservativa krafter skiljer sig från icke-konservativa är den väg ett objekt tar och hur kraften påverkas av det valet av vägen.

vad jag menar med detta är att när det gäller konservativa krafter spelar vägen ett objekt ingen roll när det gäller den totala mekaniska energin.

detta koncept kan bäst förklaras genom ett exempel. Tänk på detta scenario; du befinner dig i rymden ovanför jorden på ett avstånd r1 från jordens centrum.

när jordens gravitationskraft börjar dra dig mot jorden följer du naturligtvis en rak väg och din gravitationspotential energi är annorlunda vid någon annan punkt på vägen när du kommer närmare jorden (nu på avstånd r2 från jordens centrum). Här är vad jag menar:

här är förändringen i din gravitationspotential energi helt enkelt:

\ Delta V= \ frac {- GmM} {\Delta r}=\frac {- GmM}{r_1-r_2}

eftersom tyngdkraften i grunden är en konservativ kraft om luftmotstånd eller andra krafter inte beaktas, förloras ingen Total mekanisk energi under denna väg. Så, den totala förändringen i mekanisk energi är helt enkelt (det är oavsett vilken förändring i kinetisk energi som är):

\Delta E=\Delta T+ \ Delta V

föreställ dig nu att tyngdkraften inte drog dig i en rak linje. Vad händer om det drog dig i någon konstig böjd väg, men du hamnade fortfarande i samma slutpunkt? Här är vad som skulle hända:

det är tydligt att se att om startpunkten och slutpunkten är desamma, spelar den väg du tar ingen roll. Den totala förändringen i den mekaniska energin är fortfarande densamma. Den här tanken kallas vägoberoende, och konservativa krafter är vägoberoende styrkor.

Path independence är ett direkt resultat av konservativa krafter som bevarar den totala mekaniska energin.

Tänk på det. Om du under en viss väg inte ”förlorar” någon energi, kan det arbete som utförs av den konservativa kraften (förändring i mekanisk energi på grund av den kraften) helt bestämmas av bara start-och slutpunkterna på den vägen. Vad som händer mellan start – och slutpunkten spelar ingen roll så länge ingen energi går förlorad under vägen.

om du nu skulle tänka på det motsatta scenariot, där du istället för en konservativ kraft har en icke-konservativ kraft som verkar på dig.

Tänk dig till exempel att du flyger genom luften (på jorden, så vi kan använda V=mgh) och så verkar luftmotståndets kraft uppenbarligen på dig.

Tänk nu först på att flyga i en rak linje:

här är förändringen i potentiell energi helt enkelt:

\Delta V=mg\Delta h=mg \ vänster (h_1-h_2 \ höger)

hittills inget överraskande här. Fångsten här är att eftersom luftmotståndet är en icke-konservativ kraft, förloras en del kinetisk energi under vägen, vilket innebär att den totala förändringen i mekanisk energi inte bara är Accord + ACC.

därför kan förändringen i mekanisk energi inte bestämmas helt enkelt av banans start-och slutpunkter. Du måste också redogöra för själva vägen, och detta kallas vägberoende.

här är vad jag menar; ta samma scenario (du flyger genom luften) och ändra vägen du reser till något annat. Du kan hålla start – och slutpunkterna desamma om du vill:

nu, när din väg ändras, ändras också luftmotståndet som verkar på dig under vägen. I det här fallet är din väg längre, så kraften av luftmotstånd verkar på dig under en längre period och därför förlorar du mer kinetisk energi.

detta innebär att den totala förändringen i mekanisk energi också är annorlunda när vi ändrar vägen, vilket innebär att arbetet som utförs av den icke-konservativa kraften är annorlunda som i fallet med den raka linjen.

nu, om du gillade vad du läste här, överväg att kolla in några av mina andra artiklar, särskilt de på klassisk mekanik.

dessa inkluderar till exempel en introduktion till Lagrangian mechanics, en introduktion till Hamiltonian mechanics (en kondenserad version finns här) samt en jämförelse av dessa två formuleringar.

jag har också en ganska omfattande artikel som jämför newtonsk och Lagrangisk mekanik, som finns här.

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.