This post may contain affiliate links to books or other resources I personally recommended.
Newtonilaisessa fysiikassa on yleensä kahdenlaisia voimia; konservatiivisia voimia ja ei-konservatiivisia voimia. Tämä luokittelu kahden voimatyypin välillä tehdään, koska niiden välillä on muutamia keskeisiä eroja.
lyhyesti sanottuna konservatiiviset voimat johdetaan potentiaalista, kun taas ei-konservatiiviset voimat eivät. Konservatiiviset voimat ovat myös polusta riippumattomia ja säästävät mekaanista energiaa (tästä nimitys konservatiivinen voima), kun taas ei-konservatiiviset voimat ovat polusta riippuvaisia eivätkä säästä mekaanista energiaa.
tässä pieni vertailutaulukko kahdesta voimasta:
| konservatiiviset voimat | Ei-konservatiiviset voimat |
|---|---|
| johdettu potentiaalista | ei johdettu mistään erityisestä määrästä |
| Säästä mekaanista energiaa | älä säästä mekaanista energiaa |
| Polkuriippumaton | Polkuriippuvainen |
| esimerkkejä: gravitaatiovoimat, magneettiset voimat | esimerkit: kitka, ilmanvastus, viskoosit voimat |
seuraavissa jaksoissa kukin näistä eroista selitetään paljon yksityiskohtaisemmin.
johtaminen potentiaalienergian avulla
yksi keskeisistä eroista konservatiivisten ja ei-konservatiivisten voimien välillä on niiden määrittelytapa, erityisesti niiden matemaattiset merkitykset.
konservatiivinen voima voi aina liittyä potentiaalienergiaan, tietenkin potentiaalienergian ominaismuotoon aina tilanteesta riippuen.
erityisesti konservatiiviset voimat määritellään potentiaalin negatiivisiksi gradienteiksi. Gradientti kirjoitetaan yleensä eräänlaisena ylösalaisin olevana delta-symbolina ja potentiaali merkitään V(x): llä, koska se riippuu sijainnista:
)
vaikka tämä saattaa näyttää hieman edistyneeltä, gradientti tarkoittaa yksinkertaisesti osittaisderivaataa kunkin kyseessä olevan suureen komponentin suhteen.
meidän tapauksessamme Suure on jokin potentiaalienergiafunktio ja potentiaalienergiat ovat yleensä riippuvaisia sijainnista. Lyhyesti sanottuna konservatiiviset voimat ovat siis yksinkertaisesti negatiivisen derivaatan potentiaali kannan suhteen:
)
intuitiivisesti, saatat nähdä, miten tämä määritelmä on järkevä. Ajattele tilannetta, jossa olet jossain tilanteessa, jossa sinulla on tietty määrä potentiaalienergiaa.
esimerkiksi tämä voisi olla maan gravitaatiokentässä, joka leijuu jossain avaruudessa maan yläpuolella. Ajattele nyt, mitä tapahtuu, kun maan painovoima vaikuttaa sinuun.
asentosi tulee ilmeisesti muuttumaan, ja niin muuttuu myös potentiaalienergiasi, kun sinut vedetään lähemmäs Maata. Tämä tarkoittaa, että sinuun vaikuttava voima on yhteydessä sijaintisi ja potentiaalienergiasi muutokseen, mikä on täysin järkevää.
vastaavasti potentiaalienergia voidaan määritellä yksinkertaisesti laskemalla yhteen kaikki kappaleeseen kussakin pisteessä vaikuttavat konservatiiviset voimat tietyn polun aikana.
matemaattisesti tämä tarkoittaa, että potentiaalienergian kokonaisarvo on integraali (ts. jatkuva summa tai summa todella todella pieniä lisäyksiä) kyseessä olevan konservatiivisen voiman suhteen polulle.
tämäkin on helppo selvittää konservatiivisen voiman määritelmästä yksinkertaisesti kiertämällä termejä ja integroimalla molemmat puolet:
%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D)
%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7DFdx)
%3D-%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7DFdx)
näiden määritelmien avulla voidaan helposti löytää konservatiivisia voimia ja potentiaalienergiafunktioita, jotka vastaavat toisiaan.
käytetään jälleen gravitaatiokentän esimerkkiä. Jos tiedämme joko voiman tai potentiaalienergian, voimme johtaa vastaavan voiman tai potentiaalin kyseiseen tapaukseen.
sanotaan, että tiedämme gravitaatiopotentiaalienergian olevan (korvaa x R: llä, koska r on tässä tapauksessa kanta):
%3D-%5Cfrac%7BGmM%7D%7Br%7D)
gravitaatiovoima on tällöin yksinkertaisesti negatiivinen derivaatta this:
)
)
%3D-%5Cfrac%7BGmM%7D%7Br%5E2%7D)
ja päinvastoin, jos tiedämme painovoiman olevan:
sitten voisimme löytää potentiaalienergian integroimalla tämän:
%3D-%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D-%5Cfrac%7BGmM%7D%7Br%5E2%7Ddr)
%3DGmM%5Ccdot%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5E2%7Ddr)
%3DGmM%5Ccdot%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7BGmM%7D%7Br%7D)
nämä yhtälöt toimivat, koska gravitaatiovoimat ovat konservatiivisia voimia, eli ne voidaan yhdistää potentiaalienergiaan.
toisaalta voidaan ajatella jotain sellaista kuin viskoosinen vastusvoima, joka on voima, joka vaikuttaa jonkinlaisen nesteen läpi liikkuvaan kappaleeseen. Vastusvoima on itse asiassa nopeudesta riippuva voima, mikä tarkoittaa, että suuremmalla nopeudella liikkuvaan kappaleeseen kohdistuu suurempi voima.
tässä on tietysti järkeä, jos ajattelee objektia, joka liikkuu nesteen läpi. Vetovoiman matemaattinen määritelmä on seuraava:
tässä C on vastuskerroin, joka riippuu kyseisestä fluidista, A on läpi kulkevan fluidin pinta-ala, ρ on fluidin tiheys ja v kappaleen nopeus.
tämä vastusvoima on kuitenkin huomionarvoinen, koska siihen ei liity mitään erityistä potentiaalienergiaa. Se ei siis ole konservatiivinen voima.
sama ajatus pätee myös esimerkiksi kitkaan ja ilmanvastukseen (on myös syytä huomata, että vastusvoima ja ilmanvastus ovat vain kitkan eri muotoja).
kaikki kitkavoimat ovat ei-konservatiivisia voimia, koska ne eivät johdu potentiaalista. Lopulta kuitenkin, tämä määritelmä tulee siitä, miten nämä voimat säästää energiaa.
tällä ajatuksella on erityistä merkitystä Lagrangilaisessa mekaniikassa, joka nojaa konservatiivisten voimien käsitteeseen. Menen tarkemmin tästä käsitteestä tässä artikkelissa.
mekaanisen energian säästäminen
toinen keskeinen ominaisuus konservatiivisille voimille on se, että ne säästävät systeemin tai kappaleen mekaanista energiaa. Mekaaninen energia tarkoittaa yksinkertaisesti liike-ja potentiaalienergian kokonaismäärää.
Ei-konservatiiviset voimat sen sijaan eivät. Sen sijaan ne haihduttavat energiaa pois systeemistä (muuttavat energian lämmöksi/muiksi energiamuodoiksi, joita yleensä pidetään epäolennaisina ongelmassa, eli energia on ”menetetty”).
itse asiassa tästä energiansäästön ominaisuudesta juontuvat konservatiivisten ja ei-konservatiivisten voimien nimet.
tässä on järkeä, jos ajattelee esimerkiksi painovoimaa uudelleen. Painovoiman takia avaruuteen putoava kappale, jossa ei ole ilmanvastusta tai mitään muutakaan, ei menetä energiaa kulkiessaan tyhjässä avaruudessa.
kuitenkin heti kun kappale putoaa esimerkiksi planeetan kaasukehään, se alkaa kokea ilmanvastusvoimia ja menettää energiaa ja siten myös hidastuu.
tämä mekaanisen energian säilyminen johtaa myös konservatiivisten voimien tärkeään ominaisuuteen, jota kutsutaan polkujen itsenäisyydeksi.
on myös syytä huomata, että energia ei oikeastaan ”häviä” millään tavalla, jos otetaan huomioon jokainen mahdollinen muuttuja systeemissä. Energia yksinkertaisesti vain muuttuu toisiksi muodoiksi, esimerkiksi liike-energia muuttuu lämpöenergiaksi.
esimerkiksi planeetan ilmakehään putoavan kappaleen tapauksessa saattaa näyttää siltä, että prosessissa menetetään jonkin verran energiaa kappaleen hidastuessa, mutta näin on vain, jos otetaan huomioon vain kappale itse.
todellisuudessa, jos pitäisi ottaa huomioon koko järjestelmä, joka sisältäisi myös kaikki ilmamolekyylit, silloin mitään energiaa ei menetettäisi.
”kadonneelta” näyttänyt energia muuttuisi todellisuudessa vain ilmamolekyylien liike-energiaksi, joka suuremmassa mittakaavassa näyttäytyisi lämpönä.
Polkuriippuvuus ja riippumattomuus
vielä yksi tekijä, jossa konservatiiviset voimat eroavat ei-konservatiivisista, on polku, jonka kappale valitsee ja miten voima vaikuttaa polun valintaan.
tällä tarkoitan sitä, että konservatiivisten voimien tapauksessa kappaleen kulkemalla tiellä ei ole merkitystä mekaanisen kokonaisenergian kannalta.
tämä käsite voidaan parhaiten selittää esimerkin kautta. Harkitse tätä skenaariota; olet avaruudessa maan yläpuolella etäisyydellä r1 maan keskipisteestä.
kun maan gravitaatiovoima alkaa vetää sinua kohti Maata, kuljet luonnollisesti suoraa polkua ja gravitaatiopotentiaalienergiasi on erilainen jossain muussa polun kohdassa, Kun tulet lähemmäksi maata (nyt etäisyydellä r2 maan keskipisteestä). Tätä minä tarkoitan.:
tässä gravitaatiopotentiaalienergian muutos on yksinkertaisesti:
koska painovoima on pohjimmiltaan konservatiivinen voima, jos ilmanvastusta tai muita voimia ei oteta huomioon, koko mekaaninen energia ei häviä tämän polun aikana. Mekaanisen energian kokonaismuutos on siis yksinkertaisesti (ΔT on mikä tahansa liike-energian muutos on):
kuvittele, ettei painovoima vetänyt sinua suoraan. Mitä jos se vetäisi sinut johonkin outoon kaarteeseen, mutta päädyt silti samaan päätepisteeseen? Näin kävisi:
on selvää, että jos lähtöpiste ja päätepiste ovat samat, niin valitsemallasi polulla ei ole väliä. Mekaanisen energian kokonaismuutos on edelleen sama. Tätä ajatusta kutsutaan path Independenceksi, ja konservatiiviset voimat ovat path independent forces.
polkujen riippumattomuus on suora seuraus konservatiivisista voimista, jotka säästävät mekaanisen kokonaisenergian.
ajattele sitä. Jos tietyn polun aikana et” menetä ” mitään energiaa, niin konservatiivisen voiman tekemä työ (tuon voiman aiheuttama mekaanisen energian muutos) voidaan määrittää täysin pelkästään kyseisen polun alku-ja päätepisteiden perusteella. Sillä, mitä tapahtuu alku-ja päätepisteen välillä, ei ole väliä, kunhan energiaa ei katoa reitin aikana.
jos nyt ajattelisi päinvastaista skenaariota, jossa konservatiivisen voiman sijaan sinuun vaikuttaa Ei-Konservatiivinen voima.
esimerkiksi kuvittele lentäväsi ilman läpi (maassa, joten voimme käyttää V=mgh) ja niin ilmanvastuksen voima ilmeisesti vaikuttaa sinuun.
nyt mieti ensin suoralla lentämistä:
tässä potentiaalienergian muutos on yksinkertaisesti:
)
ei mitään yllättävää. Saalis tässä on, että koska ilmanvastus on ei-konservatiivinen voima, jonkin verran liike-energiaa menetetään reitin aikana, mikä tarkoittaa, että mekaanisen energian kokonaismuutos ei ole vain ΔT + ΔV.
mekaanisen energian muutosta ei siis voida määrittää pelkästään polun alku-ja päätepisteiden perusteella. Sinun on otettava huomioon myös itse polku, ja Tätä kutsutaan polkuriippuvuudeksi.
tässä on se, mitä tarkoitan; ota sama skenaario (lennät ilmassa) ja muuta kulkemaasi polkua johonkin muuhun. Voit pitää alku-ja loppupisteet samoina, jos haluat:
kun polkusi muuttuu, muuttuu myös ilmanvastus, joka vaikuttaa sinuun polun aikana. Tällöin polkusi on pidempi, joten ilmanvastuksen voima vaikuttaa sinuun pidemmän aikaa ja siksi menetät enemmän liike-energiaa.
tämä tarkoittaa sitä, että myös mekaanisen energian kokonaismuutos on erilainen polun muuttuessa, eli ei-konservatiivisen voiman tekemä työ on erilainen kuin suoran polun tapauksessa.
nyt, jos pidit siitä, mitä luit täällä, niin harkitse tutustumista joihinkin muihin artikkeleihini, erityisesti klassiseen mekaniikkaan.
näitä ovat esimerkiksi johdatus Lagrangilaiseen mekaniikkaan, Johdatus Hamiltonin mekaniikkaan (tiivistetty versio löytyy täältä) sekä näiden kahden formulaation vertailu.
minulla on myös melko kattava newtonilaista ja Lagrangilaista mekaniikkaa vertaileva artikkeli, joka löytyy täältä.