Poistumisnopeus

taivaanmekaniikassa poistumisnopeus tai poistumisnopeus on vähimmäisnopeus, joka tarvitaan vapaan, liikkumattoman kappaleen poistumiseen primäärikappaleen gravitaatiovaikutuksesta ja siten äärettömän etäisyyden päähän siitä. Se on tyypillisesti ilmoitettu ihanteellinen nopeus, välittämättä ilmakehän kitka. Vaikka termi ”pakonopeus” on yleinen, se kuvataan tarkemmin nopeudeksi kuin nopeudeksi, koska se on riippumaton suunnasta; pakonopeus kasvaa primäärikappaleen massan mukana ja pienenee sitä mukaa, kun primäärikappaleesta on etäisyyttä. Pakonopeus riippuu siis siitä, kuinka pitkälle kappale on jo kulkenut, ja sen laskennassa tietyllä etäisyydellä otetaan huomioon se, että ilman uutta kiihtyvyyttä se hidastuu kulkiessaan—massiivisen kappaleen painovoiman vuoksi—mutta se ei koskaan aivan hidasta pysähtymään.

pakoputkensa jatkuvasti kiihdyttämä raketti voi paeta saavuttamatta koskaan pakonopeutta, sillä se lisää edelleen moottoriensa liike-energiaa. Se voi saavuttaa paon millä tahansa nopeudella, kun se saa riittävästi ponneainetta, joka antaa raketille uutta kiihtyvyyttä painovoiman hidastuvuuden vastapainoksi ja siten säilyttää nopeutensa.

yleisemmin, poistumisnopeus on nopeus, jolla kappaleen liike-energian ja sen gravitaatiopotentiaalienergian summa on nolla; kappale, joka on saavuttanut poistumisnopeuden, ei ole pinnalla eikä suljetulla kiertoradalla (minkään säteen). Pakonopeudella suunnassa, joka osoittaa poispäin massiivisen kappaleen maasta, kappale siirtyy poispäin kehosta, hidastuen ikuisesti ja lähestyen, mutta ei koskaan saavuttaen, nollanopeutta. Kun pakonopeus on saavutettu, sen ei tarvitse käyttää enää impulsseja jatkaakseen pakoaan. Toisin sanoen, jos annetaan pakonopeus, kappale liikkuu poispäin toisesta kappaleesta, jatkuvasti hidastuu, ja lähestyy asymptoottisesti nollanopeutta, kun kohteen etäisyys lähestyy ääretöntä, koskaan tulla takaisin. Pakonopeutta suuremmat nopeudet säilyttävät positiivisen nopeuden äärettömällä etäisyydellä. On huomattava, että vähimmäispoistumisnopeus edellyttää, ettei ole kitkaa (esim.ilmanvastus), joka lisäisi tarvittavaa hetkellistä nopeutta painovoiman vaikutuksen välttämiseksi, ja että tulevaisuudessa ei ole kiihtyvyyttä tai ulkopuolista hidastuvuutta (esimerkiksi työntövoiman tai muiden kappaleiden painovoiman vaikutuksesta), joka muuttaisi vaadittua hetkellistä nopeutta.

pakonopeus etäisyydellä d pallosymmetrisen primäärikappaleen (kuten tähden tai planeetan) keskipisteestä, jonka massa on M, saadaan kaavalla

v e = 2 G M d {\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2gm}{d}}}

missä G on universaali gravitaatiovakio (G ≈ 6,67×10-11 m3·kg−1·S−2). Pakonopeus on riippumaton pakenevan kappaleen massasta. Esimerkiksi pakonopeus maan pinnalta on noin 11,186 km/s (40 270 km/h; 25 020 mph; 36 700 ft/s).

kun alkunopeus V {\displaystyle V} on suurempi kuin pakonopeus v e , {\displaystyle v_{e},} kappale lähestyy asymptoottisesti hyperbolista ylinopeutta v ∞ , {\displaystyle v_{\infty },} täyttävä yhtälö:

V ∞ 2 = v 2 − v e 2 . {\displaystyle {v_ {\infty }}^{2}=v^{2}-{v_{e}}^{2}.}

näissä yhtälöissä ilmakehän kitkaa (ilmanvastusta) ei oteta huomioon.

yleiskatsaus

vuonna 1959 laukaistu Luna 1 oli ensimmäinen ihmisen tekemä kappale, joka saavutti maasta poistumisnopeuden (katso alla oleva taulukko).

pakonopeuden olemassaolo on seurausta energian ja äärellisen syvyyden energiakentän säilymisestä. Tietyn kokonaisenergian omaavalle kappaleelle, joka liikkuu konservatiivisten voimien (kuten staattisen gravitaatiokentän) vaikutuksesta, on vain mahdollista, että kappale saavuttaa sellaisten paikkojen ja nopeuksien yhdistelmiä, joilla on kyseinen kokonaisenergia; ja paikkoihin, joissa on tätä suurempi potentiaalienergia, ei päästä lainkaan. Lisäämällä kappaleeseen nopeutta (kineettistä energiaa) se laajentaa mahdollisia saavutettavia paikkoja, kunnes tarpeeksi suurella energialla niistä tulee äärettömiä.

tietyllä gravitaatiopotentiaalienergialla tietyssä asennossa poistumisnopeus on pienin nopeus, jolla kappale ilman työntövoimaa tarvitsee kyetäkseen ”pakenemaan” gravitaatiosta (eli niin, ettei painovoima koskaan onnistu vetämään sitä takaisin). Pakonopeus on itse asiassa nopeus (ei nopeus), koska se ei määritä suuntaa: kulkusuunnasta riippumatta kappale voi paeta gravitaatiokentästä (mikäli sen reitti ei leikkaa planeettaa).

tyylikäs tapa johtaa kaavaa poistumisnopeudelle on käyttää energian säilymisen periaatetta (toinen tapa, joka perustuu työhön, katso alla). Yksinkertaisuuden vuoksi, ellei toisin mainita, oletamme, että kappale pakenee tasaisen palloplaneetan gravitaatiokentästä liikkumalla siitä poispäin ja että ainoa merkittävä liikkuvaan kappaleeseen vaikuttava voima on planeetan painovoima. Kuvitelkaa, että avaruusalus, jonka massa on m, on aluksi etäisyydellä r planeetan massakeskipisteestä, jonka massa on M, ja sen alkunopeus on sama kuin sen pakonopeus, v e {\displaystyle v_{e}} . Lopullisessa tilassaan se on äärettömän kaukana planeetasta, ja sen nopeus on huolimattoman pieni. Kineettinen energia K ja gravitaatiopotentiaalienergia Ug ovat ainoat energiatyypit, joita käsittelemme (sivuutamme ilmakehän ilmanvastuksen), joten energian säilyessä

( K + U g ) initial = ( K + U g ) final {\displaystyle (K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}}

voidaan asettaa kfinaali = 0, koska loppunopeus on mielivaltaisen pieni, ja ugfinaali = 0, koska loppumatka on ääretön, joten

⇒ 1 2 m v e 2 + − g M M M R = 0 + 0 ⇒ V E = 2 g m r = 2 μ R {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2gm}{r}}}={\sqrt {\frac {2\mu }{r}}}\end{aligned}}

, jossa μ on vakio gravitaatioparametri.

sama tulos saadaan relativistisella laskutoimituksella, jolloin muuttuja r kuvaa Schwarzschildin metriikan säteittäistä koordinaatistoa eli pienennettyä kehää.

määritelty hieman muodollisemmin, ”pakonopeus” on alkunopeus, joka tarvitaan kulkemaan gravitaatiopotentiaalikentän alkupisteestä äärettömään ja päättymään äärettömyyteen jäännösnopeudella nolla, ilman lisäkiihtyvyyttä. Kaikki nopeudet ja nopeudet mitataan suhteessa kenttään. Lisäksi poistumisnopeus avaruudessa on yhtä suuri kuin nopeus, joka kappaleella olisi, jos se alkaisi levossa äärettömältä etäisyydeltä ja painovoima vetäisi sitä tähän pisteeseen.

yleiskäytössä alkupiste on planeetan tai kuun pinnalla. Maan pinnalla pakonopeus on noin 11,2 km/s, joka on noin 33-kertainen äänennopeus (Mach 33) ja moninkertainen kiväärin luodin lähtönopeus (jopa 1,7 km/s). 9 000 km: n korkeudessa ”avaruudessa” se on kuitenkin hieman alle 7,1 km/s. Huomaa, että tämä poistumisnopeus on suhteessa ei-pyörivään viitekehykseen, ei suhteessa planeetan tai kuun liikkuvaan pintaan (KS.jäljempänä).

pakonopeus on riippumaton pakenevan kappaleen massasta. Sillä ei ole väliä, onko massa 1 kg vai 1000 kg; mikä eroaa on tarvittava energiamäärä. Kappaleelle, jonka massa m {\displaystyle m} maan gravitaatiokentästä poistumiseen tarvittava energia on GMM / r, kappaleen massan funktio (jossa r on maan säde, nimellisesti 6,371 kilometriä (3,959 mi), G on gravitaatiovakio ja M on maan massa, m = 5,9736 × 1024 kg). Verrannollinen Suure on spesifinen orbitaalienergia, joka on oleellisesti liike-ja potentiaalienergian summa jaettuna massalla. Kappale on saavuttanut pakonopeuden, kun sen ominaisenergia on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.

skenaariot

kappaleen pinnalta

vaihtoehtoinen lauseke poistumisnopeudelle v e {\displaystyle v_{e}} erityisen hyödyllinen kappaleen pinnalla on:

v e = 2 g r {\displaystyle v_{e} = {\sqrt {2gr\,}}}

missä r on kappaleen keskipisteen ja sen pisteen välinen etäisyys, jossa pakonopeus lasketaan, ja g on gravitaatiokiihtyvyys kyseisellä etäisyydellä (eli pintagravitaatio).

kappaleelle, jolla on pallosymmetrinen massan jakauma, poistumisnopeus v e {\displaystyle v_{e}} pinnalta on verrannollinen säteen vakiotiheyteen ja verrannollinen keskimääräisen tiheyden ρ neliöjuureen.

v e = K R ρ {\displaystyle v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}}

jossa K = 8 3 π g ≈ 2,364 × 10 − 5 m 1,5 kg − 0,5 s − 1 {\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi g}}\approx 2,364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1,5}{\text{ kg}}^{-0.5} {\text{ s}}^{-1}}

huomaa, että tämä pakonopeus on suhteessa ei-pyörivään viitekehykseen, ei suhteessa planeetan tai kuun liikkuvaan pintaan, kuten nyt selitämme.

pyörivästä kappaleesta

pakonopeus suhteessa pyörivän kappaleen pintaan riippuu siitä, mihin suuntaan pakeneva kappale kulkee. Esimerkiksi, koska maan pyörimisnopeus on 465 m/s päiväntasaajalla, maan päiväntasaajalta itään tangentiaalisesti laukaistavan raketin lähtönopeus on noin 10,735 km/s suhteessa liikkuvaan pintaan laukaisukohdassa, kun taas maan päiväntasaajalta länteen tangentiaalisesti laukaistavan raketin lähtönopeus on noin 11,665 km/s liikkuvaan pintaan nähden. Pintanopeus laskee maantieteellisen leveysasteen kosinin myötä, joten avaruuteen laukaisupaikat sijaitsevat usein niin lähellä päiväntasaajaa kuin mahdollista, esim. Amerikan Cape Canaveral (leveyspiiri 28°28 ’pohjoista leveyttä) ja Ranskan Guayanan avaruuskeskus (leveyspiiri 5°14’ pohjoista leveyttä).

käytännön näkökohdat

useimmissa tilanteissa on epäkäytännöllistä saavuttaa poistumisnopeus lähes välittömästi, johtuen siihen sisältyvästä kiihtyvyydestä ja myös siitä, että jos ilmakehässä on kaasukehä, siihen liittyvät hypersooniset nopeudet (maassa nopeus 11,2 km/s eli 40,320 km/h) aiheuttaisivat useimpien kappaleiden palamisen aerodynaamisen kuumentumisen vuoksi tai ilmanvastuksen repimän kappaleiksi. Varsinaiselle poistumiskiertoradalle avaruusalus kiihdyttää tasaisesti pois ilmakehästä, kunnes se saavuttaa korkeudelleen sopivan poistumisnopeuden (joka on pienempi kuin pinnalla). Monissa tapauksissa avaruusalus voidaan ensin sijoittaa pysäköintiradalle (esim.matalalla maan kiertoradalla 160-2,000 km) ja sitten kiihdyttää pakonopeuteen kyseisessä korkeudessa, joka on hieman pienempi (noin 11,0 km/s matalalla maan kiertoradalla 200 km). Tarvittava lisämuutos nopeudessa on kuitenkin paljon pienempi, koska avaruusaluksella on jo merkittävä kiertoratanopeus (matalalla maan kiertoradalla nopeus on noin 7,8 km/s eli 28 080 km/h).

kiertävästä kappaleesta

pakonopeus tietyllä korkeudella on 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} kertaa nopeus ympyräradalla samalla korkeudella (vertaa tätä nopeusyhtälöön ympyräradalla). Tämä vastaa sitä, että tällaisella radalla olevan kappaleen potentiaalienergia suhteessa äärettömyyteen on miinus kaksi kertaa sen liike-energia, kun taas välttyäkseen potentiaalienergian ja liike-energian summan on oltava vähintään nolla. Ympyrärataa vastaavaa nopeutta kutsutaan joskus ensimmäiseksi kosmiseksi nopeudeksi, kun taas tässä yhteydessä pakonopeutta kutsutaan toiseksi kosmiseksi nopeudeksi.

elliptisellä radalla olevalle kappaleelle, joka haluaa kiihdyttää pakoradalle, vaadittu nopeus vaihtelee ja on suurin periapsiksessa, kun kappale on lähimpänä keskuskappaletta. Kuitenkin myös kappaleen kiertonopeus on tässä vaiheessa suurimmillaan, ja vaadittu nopeuden muutos on pienimmillään, kuten Oberthin ilmiö selittää.

Barysentrinen poistumisnopeus

teknisesti poistumisnopeus voidaan mitata joko suhteessa toiseen kappaleeseen, keskuskappaleeseen tai massakeskipisteeseen tai massakeskipisteeseen. Näin ollen kahden kappaleen systeemeille termi pakonopeus voi olla epäselvä, mutta sillä on yleensä tarkoitus tarkoittaa vähemmän massiivisen kappaleen barysentristä poistumisnopeutta. Gravitaatiokentissä poistumisnopeudella tarkoitetaan nollamassaisten testihiukkasten poistumisnopeutta suhteessa kentän tuottavien massojen barycenteriin. Useimmissa tilanteissa, joissa avaruusalus ero on häviävän pieni. Saturn V-rakettia vastaavan massan osalta pakonopeus suhteessa laukaisualustaan on 253,5 am/S (8 nanometriä vuodessa) nopeampi kuin pakonopeus suhteessa keskinäiseen massakeskittymään.

matalamman nopeuden liikeratojen korkeus

ottamatta huomioon kaikkia muita tekijöitä kuin kappaleen ja kappaleen välistä painovoimaa, kappale, joka projisoituu pystysuoraan nopeudella v {\displaystyle v} sellaisen pallomaisen kappaleen pinnalta, jonka poistumisnopeus v e {\displaystyle v_{e}} ja säde R {\displaystyle R} saavuttaa maksimikorkeuden H {\displaystyle h} , joka täyttää yhtälön

v = v e h r + h, {\displaystyle V=V_{e}{\sqrt {\frac {h}{r+h}}}\ ,}

joka, h: n ratkaiseminen johtaa tulokseen

h = x 2 1 − x 2 R , {\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ r\ ,}

where x = v / v e {\textstyle x=v/v_{e}} on alkuperäisen nopeuden V {\displaystyle v} suhde poistumisnopeuteen v e . {\displaystyle v_{e}.}

toisin kuin poistumisnopeus, suunta (pystysuoraan ylös) on tärkeä maksimikorkeuden saavuttamiseksi.

lentorata

jos kappale saavuttaa täsmälleen pakonopeuden, mutta sitä ei ohjata suoraan pois planeetalta, se seuraa käyrää rataa tai lentorataa. Vaikka tämä rata ei muodosta suljettua muotoa, sitä voidaan kutsua kiertoradaksi. Olettaen, että painovoima on ainoa merkittävä voima järjestelmässä, tämän kappaleen nopeus missä tahansa kohdassa liikerataa on yhtä suuri kuin poistumisnopeus kyseisessä pisteessä johtuen energian säilymisestä, sen kokonaisenergian on aina oltava 0, mikä merkitsee sitä, että sillä on aina poistumisnopeus; KS.derivointi edellä. Lentoradan muoto on paraabeli, jonka painopiste sijaitsee planeetan massakeskipisteessä. Varsinainen pako vaatii radan, jonka lentorata ei leikkaa planeettaa tai sen kaasukehää, koska tämä aiheuttaisi kappaleen putoamisen. Lähdettä poispäin siirryttäessä tätä polkua kutsutaan pakoradaksi. Pakoratoja kutsutaan C3 = 0-radoiksi. C3 on karakteristinen energia, = – GM / 2a, jossa A on parabolisille liikeradoille ääretön puolidivoriakseli.

jos kappaleen nopeus on suurempi kuin poistumisnopeus, sen reitti muodostaa hyperbolisen liikeradan ja sillä on ylimääräinen hyperbolinen nopeus, joka vastaa kappaleen ylimääräistä energiaa. Pakonopeuteen kiihdyttämiseen tarvittava suhteellisen pieni ylimääräinen Delta-v voi aiheuttaa äärettömyydessä suhteellisen suuren nopeuden. Jotkut kiertorataliikkeet hyödyntävät tätä tosiasiaa. Esimerkiksi paikassa, jossa pakonopeus on 11,2 km/s, lisäämällä 0,4 km/s saadaan hyperbolinen ylinopeus 3,02 km/s:

v ∞ = V 2 − v e 2 = ( 11,6 km/s ) 2 − ( 11,2 km/s ) 2 ≈ 3.02 km / s . {\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {v^{2} – {v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11. 6{\text{ km/S}})^{2}-(11.2{\teksti{ km/S}})^{2}}}\noin 3,02{\text{ km / s}}.}

jos ympyräradalla (tai elliptisen radan periapsiksessa) oleva kappale kiihtyy kulkusuuntaansa pitkin pakonopeuteen, kiihtyvyyspiste muodostaa pakoradan periapsiksen. Mahdollinen kulkusuunta on kiihdytyspisteessä 90 astetta suuntaansa nähden. Jos keho kiihdyttää pakonopeuteen, mahdollinen kulkusuunta on pienemmässä kulmassa, ja sen osoittaa jokin hyperbolisen liikeradan asymptooteista. Tämä tarkoittaa, että kiihdytyksen ajoitus on kriittinen, jos tarkoituksena on paeta tiettyyn suuntaan.

jos nopeus periapsiksessa on v, saadaan liikeradan eksentrisyys:

e = 2(v / v e ) 2 − 1 {\displaystyle e=2 (v/v_{e})^{2}-1}

tämä pätee elliptisille, parabolisille ja hyperbolisille liikeradoille. Jos liikerata on hyperbolinen tai parabolinen, se lähestyy asymptoottisesti kulmaa θ {\displaystyle \theta } periapsiksen suunnasta, jossa

sin θ θ = 1 / e . {\displaystyle \sin \theta =1/e.}

nopeus lähestyy asymptoottisesti

v 2 − v e 2. {\displaystyle {\sqrt {v^{2} – v_{e}^{2}}}.}

luettelo poistumisnopeuksista

tässä taulukossa vasemmanpuoleinen puolisko antaa poistumisnopeuden näkyvältä pinnalta (joka voi olla kaasumainen kuten esimerkiksi Jupiter) suhteessa planeetan tai kuun keskipisteeseen (eli ei suhteessa sen liikkuvaan pintaan). Oikeanpuoleisessa puoliskossa Ve tarkoittaa nopeutta suhteessa keskuskappaleeseen (esimerkiksi aurinkoon), kun taas Vte on nopeus (pienemmän kappaleen näkyvällä pinnalla) suhteessa pienempään kappaleeseen (planeetta tai kuu).

kaksi viimeistä saraketta riippuvat tarkasti siitä, missä kiertoradalla poistumisnopeus saavutetaan, sillä kiertoradat eivät ole aivan pyöreitä (erityisesti Merkurius ja Pluto).

poistumisnopeuden laskeminen laskutoimituksella

olkoon g gravitaatiovakio ja M Maan (tai muun gravitoivan kappaleen) massa ja m pakenevan kappaleen tai ammuksen massa. Etäisyydellä R vetovoimakeskipisteestä kappale tuntee vetovoiman

F =G M m r 2. {\displaystyle F=G{\frac {Mm}{R^{2}}}.}

työ, joka tarvitaan kappaleen liikuttamiseen pienen matkan dr: n yli tätä voimaa vastaan, saadaan näin ollen kaavalla

d W = F d r = G M M r 2 d r . {\displaystyle dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.}

koko työ, joka tarvitaan kappaleen siirtämiseksi gravitoituvan kappaleen pinnalta R0 äärettömyyteen, on silloin

W = ∫ R 0 ∞ G M M r 2 d r = g m m r 0 = M G R 0 . {\displaystyle W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{R^{2}}}\, dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.}

jotta tämä työ voitaisiin tehdä äärettömyyteen, kappaleen minimaalisen liike-energian lähdettäessä on vastattava tätä työtä, joten poistumisnopeus v0 täyttää

1 2 m V 0 2 = G M M r 0, {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},}

jolloin saadaan

v 0 = 2 G M R 0 = 2 g r 0 . {\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2gm}{r_{0}}} = {\sqrt {2gr_{0}}}.}

Katso myös

huomautukset

• Escape velocity calculator
• Web-pohjainen numeerinen escape velocity calculator